21.2 一元二次方程的解法（配方法）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

21.2 一元二次方程的解法(配方法) 题型一、用配方法将方程写成完全平方的形式 1．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，配方后所得的方程是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．使用配方法解一元二次方程时，方程两边应同时加上（   ） A． B． C． D． 5．把方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 题型二、用配方法解二次项系数是1的方程 6．解方程：． 7．解方程：． 8．解方程：． 9．解方程： 10．解方程：． 题型三、用配方法解二次项系数非1的方程 11．用配方法解方程：． 12．用配方法解方程：． 13．用配方法解方程； 14．解方程： 15．用配方法解方程：． 16．用配方法解方程：． 17．用配方法解方程：． 题型四、用配方法解特殊形式的一元二次方程 18．解方程：． 19．解关于x的方程 ． 20．解方程： 21．解方程：． 22． 解方程：． 题型一、利用配方法求参数的值 23．用配方法解方程，方程变形为，则（    ） A．25 B．24 C．23 D．22 24．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 25．把一元二次方程，配成的形式，则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 27．将一元二次方程配方后可得，那么 ． 28．将方程配方成的形式，则 ． 29．如果将关于的一元二次方程配方成，那 么 ． 题型二、在实数范围内分解因式 30．在实数范围内分解因式： ． 31．在实数范围内分解因式： ． 32．在实数范围内因式分解： ． 33．在实数范围内因式分解： ． 34．在实数范围内分解因式： ． 35．在实数范围内分解因式： ． 题型三、比大小问题 36．若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 37．已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 38．（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 题型四、最值问题 39．多项式的最小值为 ． 40．已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 41．已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．不论x为何值，的值总是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 44．已知x为全体实数，则的最大值为 ． 45．已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 题型五、新定义运算 46．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 47．定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 48．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 49．若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 50．若，，则 ． 51．在实数范围内分解因式： ． 52．用配方法解方程，方程可变形为，则 ， ． 53．把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 54．如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是 ． 55．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 56．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 57．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 试卷第1页，共3页 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 一元二次方程的解法(配方法) 题型一、用配方法将方程写成完全平方的形式 1．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键. 先把常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C. 2．用配方法解方程时，配方后所得的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到等号的右边，再把等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故选：C． 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 首先把常数项移到等号右边，然后方程两边都加上一次项系数的一半的平方，配方即可． 【详解】解：移项，得， 配方，， 则． 故选：B． 4．使用配方法解一元二次方程时，方程两边应同时加上（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法，只需给方程两边加上一次项系数一半的平方即可求解． 【详解】解：给方程两边应同时加上， 得， 故选：C． 5．把方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【详解】解：， ， 则，即， 故选：D． 题型二、用配方法解二次项系数是1的方程 6．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法解方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 7．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 8．配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，准确进行计算． 移项后两边同时加配方，再直接开方，进行求解． 【详解】解： 移项配方得：， 即， 开方得：， ∴． 9．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答的关键．利用配方法解方程即可． 【详解】解： ∴，． 10．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．首先将原方程配方成，然后直接开方求解即可． 【详解】解： ． 题型三、用配方法解二次项系数非1的方程 11．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 12．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为，再根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： 即 ∴ ∴ ∴ 解得： 13．用配方法解方程； 【答案】， 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可． 【详解】解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 14．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 16．用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 移项得， 整理得， 解得，． 17．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先方程两边同除以2，再利用完全平方公式进行配方，利用配方法解方程即可得． 【详解】解：， ， ， ，即， ， ， 所以方程的解为． 题型四、用配方法解特殊形式的一元二次方程 18．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 首先将方程整理成一般式，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 19．解关于x的方程 ． 【答案】 【分析】该题考查了解一元二次方程，变形后根据配方法求解即可． 【详解】解：， 变形为：， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题先化为一般式，再利用配方法求解． 【详解】解： ， 解得：． 21．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把方程左边配方成完全平方式，右边化为常数，解方程即可求解． 把方程整理得，进而得到，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 22．解方程：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型一、利用配方法求参数的值 23．用配方法解方程，方程变形为，则（    ） A．25 B．24 C．23 D．22 【答案】C 【分析】利用配方法求解即可． 本题考查了配方法，正确理解配方法是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故， ， 故选：C． 24．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 25．把一元二次方程，配成的形式，则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，将方程转化为完全平方式． 通过配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为完全平方式，从而得出和的值． 【详解】解：∵ ∴， ， 即， 则 故选：D． 26．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键； 先将原方程配方得到，即可得出p、q的值，进而可得答案. 【详解】解：方程即为， 所以， 即， ∴， ∴； 故选：A. 27．将一元二次方程配方后可得，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，关键是配方后求出m与n的值；方程两边加5，配方得，即可得m与n的值，再代入代数式中即可求解． 【详解】解：方程两边加5，得：， 配方得， ∴， ∴； 故答案为：． 28．将方程配方成的形式，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， 移项得， 配方得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：9 29．如果将关于的一元二次方程配方成，那 么 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式将方程配方成，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 题型二、在实数范围内分解因式 30．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 31．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 32．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，把y看做常数，解关于x的一元二次方程，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：当时， 令， ∴， ∴， 解得或， ∴， 故答案为：． 33．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，令，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：令， 解得或， ∴， 故答案为：． 34．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解一元二次方程，正确的解一元二次方程是解题的关键． 先解方程，再写成因式分解的形式即可． 【详解】解：令， ∴， 则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 35．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．先令，求出，然后写出结果即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴在实数范围内分解因式：． 故答案为：． 题型三、比大小问题 36．若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，关键是作差法和配方法的应用．利用作差法和配方法计算即可． 【详解】解：：， ， ， ， 故选：C 37．已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B 38．（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；；②，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质 ，熟练掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小是解题的关键； （1）①分别将m的值代入计算，再进行比较即可；②将两个式子作差得，根据完全平方的非负性，即可得出答案； （2）两个代数式作差，得到完全平方形式，比较大小，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：； （2），理由如下： ∵ ∴． 题型四、最值问题 39．多项式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程配方法的应用，运用配方法进行配方是解题的关键．根据配方法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，多项式的最小值为． 故答案为：． 40．已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 【答案】B 【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可． 【分析】解：∵，， ∴ ； ∴当时，有最小值； 当时，即：， ∴， ∴， ∴，即是非正数； 故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选B． 41．已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键． 【详解】解：∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 42．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 43．不论x为何值，的值总是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，把式子化成判断值的情况是解题的关键． 【详解】解：， ∴不论x为何值，的值总是正数， 故选A． 44．已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 45．已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了代数式的变式与二次函数最值，解题的关键是由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是3． 【详解】解：， ，， ， ， 当时，代数式有最小值等于3， 故答案为：3． 题型五、新定义运算 46．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，配方法的应用，解二元一次方程组的，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【详解】解：与为同族二次方程， ， ， ∴， 解得：， ， 当时，取最小值为2013． 故选：B． 47．定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 48．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据新定义得到，由得到，利用配方法解方程即可．此题考查了解一元二次方程，根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ， 开平方得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 49．若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值，先整理，以及把化为，再把，代入计算化简，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 则 把，代入上式，得 故选：A 50．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质和配方法的应用是解题的关键，利用作差法判断，的正负值，再根据二次根式的性质将化简为，代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 51．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、解一元二次方程，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用提取公因式法分解因式可得，然后利用公式法解一元二次方程，求出方程的两个根，由此即可得． 【详解】解： ， 令，则， ∴可转化为， ∴， 故答案为：． 52．用配方法解方程，方程可变形为，则 ， ． 【答案】 5 32 【分析】利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， ∴，． 故答案为：5，32 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 53．把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得，进而得出，即可求解． 【详解】解： 配方，得 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 54．如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元二次方程，用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：3． 55．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程—配方法即可解答； 准确熟练地进行计算及掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴，， 故答案为：，． 56．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 57．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 试卷第1页，共3页 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$