第57讲 找次品问题-【小学数学新思维】五年级全国通用版

216 小学数学新思维  五年级 第 57 讲  找次品问题 【知识要点】 在生活中，我们常常会遇到这样的情况，在一些外观看似相同的物品中，混着一 个质量或轻或重的物品，需要我们把它找出来，像这样的问题称为“找次品”。借助的 工具是“天平”。 【例题精讲】 【例题 1】有 10 瓶水，其中 9 瓶质量相同，另有 1 瓶略微重一些，至少称量 几次能保证找出这瓶水？ 【解析】平衡 3 次，将 10 瓶水分（3，3， 4），（1，1， 2），（1， 1）。 不平衡 2 次，将 10 瓶水分成（3， 3， 4），当天平一端 3 瓶重时，再分成（1，1， 1），再称量一次，若平衡，第三瓶是重的。 【例题 2】有 73 个零件，其中有一个零件比其他的稍重，如果只能用天平 来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢？ 找次品最优策略 1. 把待测物品分成 3 份 2. 能平均分 3 份就分 3 份 3. 不能平均分：多的与少的相差 1 217 【解析】平衡 4 次：（25，24，24），（9，8，8），（3，3，3），（1，1，1）。 不平衡 4 次：（25，24，24，），（8，8，8，），（3，3，2），（1，1，1）。 【例题 3】有 3 袋食盐，其中有 2 袋每袋是 500 克，第三袋比 500 克略轻或略 重，具体不清楚，用天平称至少要称几次，就可以找出这袋不一样的食盐？ 【解析】第一次：先取任意两袋放在天平两端，如果平衡，则剩下那袋就是要找 的。第二次：如果不平衡，换下下沉的那端的袋子，如果还下沉，说明翘起的那端中 的食盐就是要找的，如果平衡了，则刚换下的那袋就是要找的。 至少要称 2 次。 【例题 4】李叔叔买了 16 个相同的零件，到家后发现有一个是次品，它的质 量比其他的零件轻一些，现在有一台没有砝码的天平，至少称量几次就能找出次品呢？ 【解析】把 16 个零件分成 3 组，（5，5，6），然后在天平的两端各放 5 个零件，若 平衡，则次品在 6 个那里，再分成 3 组（2，2，2）。在天平两端各放 2 个。若平衡， 次品在剩下的 2 个里，若不平衡，在轻的 2 个里，都只需要再称一次。 （5，5，6），在天平的两端各放 5 个零件，若不平衡，5 个再分成（2，2，1），在 天平两端各放 2 个，若平衡，剩下一个次品，若不平衡，只需要再测一次就可以了。 所以至少称量 3 次。 第 57 讲  找次品问题 218 小学数学新思维  五年级 【例题 5】一台天平，有 2 克、3 克、6 克的砝码各一个，能称出哪些重量？ 请列举出来。（提示：天平左右两端都可以放砝码） 【解析】（1）单独一个砝码：2 克，3 克，6 克。 （2）由 2 个砝码称量：2+3=5（克），2+6=8（克），3+6=9（克）。 （3）用 3 个砝码称量：2+3+6=11（克）。 （4）2 克与 3 克砝码各一端 3-2=1（克）；6 克与 2 克砝码各一端 6-2=4（克）； （5）3 克与 6 克砝码在一端，2 克砝码在另一端：3+6-2=7（克）。 所以一共有 10 种重量。 【随堂练习】 1. 有 9 个外观一样的乒乓球，其中一个是次品，只知道它比其他的乒乓球略微轻 一些，用天平至少称几次就能找出次品？ 2. 有 15 盒饼干，其中 14 盒质量相同，另有一盒少了几块，如果用天平来称，至 少称几次可以找出这盒饼干？ 219 3. 有 27 个零件，其中有 1 个零件是次品，比其他零件轻一些。如果用天平来称， 至少称几次可以找出这个次品零件？ 4. 如果一台天平在称物时，只允许在天平的一端放砝码，现在有1克、2克、4克、 8 克的砝码各一个，可以称出多少种不同的重量？ 5. 有 3 袋饼干，其中有 2 袋质量相同，第三袋比其他两袋略轻或略重，用天平至 少要称几次，就可以找出这袋不一样的饼干？ 第 57 讲  找次品问题 随堂练习参考答案 319 第 57讲【随堂练习】 1. 把这 9 个乒乓球分成（3，3，3）三组，天平每边放一组，天平若平衡，次品在 未称的一组，若不平衡，在轻（上翘）的一边（称第一次）；把有次品一组的 3 个乒乓 球再分成（1，1，1）三组，天平每边放一组，天平若平衡，次品在未称的一组，若不 平衡，在轻（上翘）的一边。1+1=2（次）即可找出次品。 2. 把 15 分成（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再 把 5 分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如果平衡，则 1 个 1 组的 是次品，需要 2 次。如不平衡，可再把 2 分成（1，1），再放在天平上称，则需要 3 次， 可找出次品。所以至少称 3 次可找出这盒饼干。 3. 把 27 个零件分成（9，9，9）。第一次：把其中两份分别放在天平的两端，若天 平平衡，则次品在未取的 9个零件中（按照下面的方法继续操作）。若不平衡，第二次： 把天平较高端的 9 个零件分成（3，3，3）的三份，把其中两份分别放在天平两端，若 天平平衡，则次品在未取的 3个零件中（按照下面方法继续操作）。若不平衡，第三次： 从天平较高的一端的 3 个零件中任取 2 个，分别放在天平两端，若天平平衡，则未取 的那个零件为次品，若不平衡，则天平较高端的零件为次品。所以至少称 3 次可以找 出这个次品零件。 4. 1 克；2 克；4 克；8 克；1+2=3（克）；1+4=5（克）；1+8=9（克）；2+4=6（克）； 2+8=10（克）；1+2+4=7（克）；1+2+8=11（克）；4+8=12（克）；1+4+8=13（克）； 2+4+8=14（克）；1+2+4+8=15（克）。共 15 种。 5. 任意拿两袋称量：（1）若天平平衡，则第三袋是不一样的。（称一次）（2）若天 平不平衡（第一次称），把重（轻）的拿下来，换成第三袋（第二次称），若天平平衡， 拿下去的重量与另两袋不一样。若不平衡，肯定是第三袋重（轻），与另两袋重量是不 一样的。至少要称 2 次。