第51讲 倍数问题(1)-【小学数学新思维】五年级全国通用版

192 小学数学新思维  五年级 第 51 讲  倍数问题（1） 【知识要点】 倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个 数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。 解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即 1 倍数， 再根据其他几个数与这个 1 倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最 后用除法求出 1 倍数。 【例题精讲】 【例题 1】两根同样长的铁丝，第一根剪去 18 厘米，第二根剪去 26 厘米，余 下的铁丝第一根的长度是第二根的 3 倍。原来两根铁丝各长多少厘米？ 【解析】余下的铁丝第一根的长度是第二根的 3 倍，根据线段图：26-18=8（厘米）， 就是第二根剩下的 2 倍。8÷（3-1）=4（厘米）。原来两根各长：26+4=30（厘米）。 【例题 2】甲组的图书是乙组的 3 倍，若乙组给甲组 6 本，则甲组的图书是乙 组的 5 倍。原来甲组有多少本图书？ 【解析】方法（1）：用方程的方法。原来乙组有 x 本，则甲组有 3x 本，3x+6= 5（x-6）。方法（2）：利用线段图方法。方法（3）：假设乙拿出 6 本，暂时不放在甲 193 组里，甲组再拿出 3×6=18（本），此时甲也是乙的 3 倍。把 6+3×6=24（本）放在甲 里，就是乙的 5 倍。说明 24 本是乙的 2 倍。现在乙：24÷2=12（本）。原来乙 12+6= 18（本），甲 18×3=54（本）。 【例题 3】幼儿园买来苹果的个数是梨的 2 倍。大班的同学每 7 人一组，每组 领 3 个梨和 4 个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下 16 个。大班共有同学多少人？ 【解析】因为苹果个数是梨的 2 倍，若每组有 3 个梨，6 个苹果，刚好领完所有 水果。剩下 16 个苹果，每组再领 6-4=2（个）。一共有：16÷2=8（个）。人数一共有 8×7=56（人）。 【例题 4】有两筐橘子，如果从甲筐拿出 8 个放进乙筐，两筐的橘子就同样 多；如果从乙筐拿出 13 个放到甲筐，此时甲筐的橘子是乙筐的 2 倍。甲、乙两筐原来 各有多少个橘子？ 【解析】由题意知：原来甲筐橘子比原来乙筐橘子多 8+8=16（个）。从乙筐拿出 13 个后，甲比乙就多 16+13×2=42（个）。现在乙筐就是 42÷（2-1）=42（个）。原来 乙筐：42+13=55（个）；原来甲筐：55+16=71（个）。 第 51 讲  倍数问题（1） 194 小学数学新思维  五年级 【例题 5】甲粮库的存粮是乙粮库的 2 倍，甲粮库每天运出粮食 40 吨，乙粮 库每天运出粮食 30 吨。若干天后，乙粮库的粮食全部运完，而甲粮库还有 80 吨。甲、 乙粮库原来各有粮食多少吨？ 【解析】因为甲的存粮是乙的 2 倍，若甲每天运出 30×2=60（吨），甲与乙刚好都 运完。现在甲每天运 40 吨，把甲剩下的 80 吨每天分给甲 20 吨，60-40=20（吨），刚好 分了 80÷20=4（天）。乙 4 天运完，原来乙：30×4=120（吨）；原来甲：40×4+80= 240（吨）。 【随堂练习】 1. 两根绳子一样长，第一根用去 6.5 米，第二根用去 0.9 米，剩下部分第二根是第 一根的 3 倍。两根绳子原来各长多少米？ 2. 原来小明的画片是小红的 3 倍，后来两人各买了 3 张，这样小明的画片就是小 红的 2 倍。原来两人各有多少张画片？ 195 3. 高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的 2 倍。如果每小组分到杉树 6 棵，杨树 8 棵，那么杉树正好分完，杨树还剩 20 棵。原来两种树各有多少棵？ 4. 甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取 31 吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多； 若从乙仓取 14 吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的 4 倍。原来两仓各存货物多少吨？ 5. 小朋友带着一篮橘子和苹果送给敬老院的老人们，每个老人各分 3 个苹果和 5 个橘子，最后苹果分完，篮子里还剩下 7个橘子。如果原来橘子的个数是苹果的 2倍， 那么分给了几个老人？原来有多少个苹果？ 第 51 讲  倍数问题（1） 随堂练习参考答案 315 宽 3 厘米：9×3=27（平方厘米）；（4）长 8 厘米，宽 4 厘米：8×4=32（平方厘米）； （5）长 7 厘米，宽 5 厘米：7×5=35（平方厘米）。（6）长 6 厘米，宽 6 厘米：6×6=36 （平方厘米）。 4.（1）1 在个位时：1 ~ 100，共有 10 个。（2）1 在十位时：10 ~ 19，共 10 个。 （3）1 在百位时：1 个。一共有：10+10+1=21（个）。 5. 因数2与5的积是2×5=10。积的末尾有1个0。1 ~ 50的乘积中，因数2有很多， 找因数 5 的个数：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50。其中 25 有 2 个因数 5， 50 中有 2 个因数 5，一共有 12 个因数 5，所以共有 12 个 0。 第 50讲【随堂练习】 1. 乘法原理：百位上可以选 1，2，3，有 3 种可能。除去百位数字，十位上有 3 种可能，个位上有 2 种可能，3×3×2=18（个）。 2. 分类：（1）当个位是0时，千位有3种可能，百位有2种可能，十位有1种可能， 3×2×1=6（个）；（2）当个位是 2 时，千位有 2 种可能，十位有 2 种可能，个位有 1 种可能；2×2×1=4（个）；6+4=10（个）。 3. 上衣有 5 种选择，任意选一件上衣，有 4 种裙子搭配；选一件上衣和一条裙子 搭配有 5×4=20（种）。 4.（1）加法原理：2+3=5（种）。 （2）乘法原理：巧克力有 2 种选择，水果糖有 3 种选择；2×3=6（种）。 5. 甲 — 乙 — 丙：2×4=8（种）；甲 — 丁 — 丙：3×3=9（种）；8+9=17（种）。 第 51讲【随堂练习】 1.（6.5-0.9）÷（3-1）=2.8（米）；2.8+6.5=9.3（米）。 316 小学数学新思维  五年级 2. 若小红买 3 张，小明买 3×3=9（张），还是 3 倍的关系。说明 3×2=6（张），是 小红现在画片的 1倍。（3×2）÷（3-2）=6（张）。原来：小红 6-3=3（张），小明 3×3= 9（张）。 3. 6×2=12（棵）；12-8=4（棵）；20÷4=5（组）。杉树：6×5=30（棵）。杨树：30× 2=60（棵）。 4. 甲比乙原来多 31+31=62（吨），后来甲比乙多 62+14+14=90（吨）。 90÷（4-1）=30（吨）；乙：30+14=44（吨）；甲：44+62=106（吨）。 5. 橘子个数是苹果的 2 倍，若每人分 3×2=6（个），橘子则刚好分完。7÷（6-5）= 7（人）；苹果：3×7=21（个）。 第 52讲【随堂练习】 1. 甲：14×3=42。乙：224÷（1+3+4×3）=14。丙：42×4=168。 2. 每次乙多给甲 4-2=2（张）；（42+48）÷（1+2）=30（张）； （48-30）÷2=9（次）。 3. 80÷（4-1-1）=40（千克）。 面粉：40+80=120（千克）。大米：120×2=240（千克）。 4. 90-6=84（人）。丙：84÷（1+2+2×2）=12（人）。 乙：12×2=24（人）； 甲：24×2+6=54（人）。 5. 若乙桶倒入 8 千克，甲桶倒入 8×5=40（千克），还是 5 倍的关系；说明 40- 8=32（千克），是现在乙桶的 5-3=2（倍）；现在乙桶（40-8）÷（5-3）=16（千克）。 原来乙：16-8=8（千克）；原来甲：8×5=40（千克）。 第 53讲【随堂练习】 1. 每条线上填：1-4-7；2-4-6；3-4-5。