第46讲 容斥原理-【小学数学新思维】五年级全国通用版

随堂练习参考答案 313 4. 思路（1）：设原来两位数是 ab，两个三位数分别是 1ab 与 ab1。 即 100a+10b+1=100+10a+b+414。 即 10a+b=57。当 a=5 时，b=7。两位数是 57。 思路（2）：把原来两位数设为 x，（10x+1）-（100+x）=414，解得 x=57。 5.（3+9+3+6）×1000+（3+3+6+9）×100+（7+3+9+3）×10+6+3+3=23332。 第46讲【随堂练习】 1.（文氏图）（32+35）-52=67-52=15（人）。 2.（文氏图）方法（1）：只语文获优，26-12=14（人）；只数学获优，30-12= 18（人）；14+18+12+8=52（人）。 方法（2）：26+30-12=44（人）。44+8=52（人）。 3.（文氏图）83+86-25=144（人）；250-144=106（人）。 4. 5 的倍数：200÷5=40（个）；8 的倍数：200÷8=25（个）； 既是 5 又是 8 的倍数：200÷40=5（个）；40+25-5=60（个）；200-60=140（个）。 5.（文氏图）46-28-10-6=2（人）。 第47讲【随堂练习】 1. 把 20 千克苹果等价换成梨：20÷2×2.5=25（千克）； 132÷（25+30）=2.4（元 / 千克）；苹果：2.4×2.5÷2=3（元 / 千克）。 2. 把大水泵 8 小时抽水量换成小水泵：8÷2×5=20（小时）； 312÷（6+20）=12（立方米）； 12×5÷2=30（立方米）。 3. 2 支钢笔比 2 支圆珠笔贵 6×2=12（元）。一支圆珠笔：12÷（3-2）=12（元）； 一支钢笔：12+6=18（元）。 172 小学数学新思维  五年级 第 46 讲  容斥原理 【知识要点】 容斥问题涉及一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的 逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚， 因而容易进行计算。 【例题精讲】 【例题 1】五年级 96 名学生都订了报纸，有 64 人订了少年报，48 人订了小 学生报。两种报纸都订的有多少人？ 【解析】通过画文氏图，可以看出少年报与小学生报有重叠。64+48=112 人，这样 两种报纸都订的多算了一次。112-96=16（人）。 Na NbNab 173 【例题 2】第一小组的同学都在做两道数学思考题，做对第一题的有 15 人， 做对第二题的有 10 人，两题都做对的有 7 人，两题都做错的有 2 人。第一小组共有多 少人？ 【解析】只做对第一题的有 15-7=8（人），只做对第二题的有 10-7=3（人）。两 道题共分为四种情况：第一题对的，第二题对的，两题都对的，两题都错的。共有 8+3+7+2= 20（人）。 【例题 3】实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有 20 人获奖，在获奖者中有 16 人不是四年级的，有 12 人不是五年级的。该校书法比赛 获奖的总人数是多少人？ 【解析】由题意得一年级 + 二年级 + 三年级 + 五年级 + 六年级一共 16 人，一年 级+二年级+三年级+四年级+六年级一共 12人，五年级比四年级多：16-12=4（人）。 五年级：（20+4）÷2=12（人）；四年级：20-12=8（人）。其他年级：16-12=4（人）。 一共：12+8+4=24（人）。 【例题 4】五（2）班共有 42 名学生，其中少先队员有 33 人，这个班男生有 20 人，女生中有 4 人不是少先队员，男生中有多少人不是少先队员？ 【解析】不是少先队员的有 42-33=9（人），这 9 人包括不是少先队员的男生与女 生。男生中不是少先队员的有 9-4=5（人）。 第 46 讲  容斥原理 174 小学数学新思维  五年级 【例题 5】在 1 到 100 的自然数中，既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多 少个？ 【解析】先找出 1 ~ 100 中 5 的倍数，有 100÷5=20（个）。再找出 1 ~ 100 中是 6 的倍数，有 100÷6=16……4，有 16 个。再找出 5 与 6 的最小公倍数 30 的倍数个数。 100÷30=3……10， 有 3 个， 所 以 既 是 5 的 倍 数 又 是 6 的 倍 数 一 共 有 20+16-3= 33（个），既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有 100-33=67（个）。 【随堂练习】 1. 一个班级的 52 个学生都在做语文和数学作业。有 32 人做完了语文作业，有 35 人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？ 2. 某班在一次测验中有 26 人语文获优，有 30 人数学获优，其中语文、数学双优 的有 12 人，另外还有 8 人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？ 175 3. 五年级有 250 人，其中参加象棋组的有 83 人，参加乒乓球组的有 86 人，这两 个小组都参加的有 25 人。两个小组都不参加的有多少人？ 4. 在 1 ~ 200 自然数中，既不是 5 的倍数，也不是 8 的倍数的数有多少个？ 5. 全班 46 名同学，仅会打乒乓球的有 28 人，会打乒乓球又会打羽毛球的有 10 人， 不会打乒乓球又不会打羽毛球的有 6 人。仅会打羽毛球的有多少人？ 第 46 讲  容斥原理