学易金卷：高二数学上学期第一次月考02（人教A版2019选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线）

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章空间向量与立体几何~第二章2.3直线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即．故选：C. 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线可化为，则其斜率为，设其倾斜角为， 则，所以.故选：B. 3．已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】空间向量，，则，故以为单位正交基底时的坐标为.故选：B. 4．过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为，整理得，即直线的一般式方程为.故选：C. 5．已知空间向量，则在上的投影的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由向量，得，，则在上的投影向量为，所以在上的投影的模为．故选：A 6．已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 直线恒过定点，直线过点时，设直线的斜率为，所以， 直线过点时，设直线的斜率为，所以，要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为.故选：. 7．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为点，到直线l：的距离相等，所以，即，化简得，解得或。 8、在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由点在直线上运动，故可设，， 则，， 所以 ，故当时，取得最小值. 故选：D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由点分别为的中点，得，而，因此，A正确；对于B，，B错误；对于C，长度相等，方向不同，C错误；对于D，，D正确．故选：AD 10．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．直线l恒过点 D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【详解】对于A项，若，则，解得或，经检验，均符合，故A项正确； 对于B项，若，则，解得或，故B项不成立；对于C项，因为，则由得，所以l恒过点，故C项正确；对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点，则，得，所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立．故选：AC. 11．如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，，所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确；故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，若、、三向量共面，则实数等于 . 【答案】 【详解】因为、、三向量共面，所以存在唯一实数对，使得， 即，所以，解得. 13．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为 . 【答案】或 【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离．设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为，所以，解得．因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或． 14．在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【详解】（1）证明：由，，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面． （2）证明：由，，，得 ，． （3）证明：由（2）知，所以，． 即，又与有一个公共点，所以三点共线． 16．（15分）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 17．（15分）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 【详解】（1）由已知得．因为，所以可设， 所以，解得，所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以，由，，， 得，，所以，故． （3）由题可得，，所以，， 所以，又， 所以， 所以的面积． 18．（17分）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以，又，，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，，所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面． （2）因为底面，平面，所以， 因为，所以，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量．设为平面的一个法向量， 因为，，所以，即，令，可得． 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设，，则，， 设到直线的距离为，则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 19． （17分）已知是棱长为2的正方体表面上一动点，，分别是线段和的 中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形． (1)证明：为平行四边形； (2)是否存在，使得和底面的夹角为．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)证明：点和形成的多面体的体积为定值． 【详解】（1），截面，当在点处时，在平面内的射影为， 当在点时，在平面内的射影为，令分别为的中点，过的截面与和均垂直，即与垂直，即截面为，当在点处时，在平面内的射影为，在平面内的射影为，过的截面为与和均垂直，即与垂直，即截面为，当在上移动时，截面绕转动，当在点时，在面射影为， 由面面平等的性质可知截面总为平行四边形； （2）不存在 理由：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 过作于，由题意得平面，是平面的一个法向量， 为平面的一个法向量，为和底面的夹角，， 存在，使得和底面的夹角大于；不否存在，使得和底面的夹角为． （3）设截面与交于点，与交于，四棱锥被平面分成两个三棱锥为三棱锥，三棱锥，两个三棱锥底面无论截面变化，底面面积均不变，两个三棱锥的高均为正方体的棱长，三棱锥，三棱锥的体积为定值，点和形成的多面体为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 02 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章空间向量与立体几何~第二章2.3直线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，则在上的投影的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 6．已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 7．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ） A． B． C． D． 10．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．直线l恒过点 D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 11．如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，若、、三向量共面，则实数等于 . 13．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为 . 14．如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 16．（15分）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 17．（15分）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 18．（17分）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 19.（17分）已知是棱长为2的正方体表面上一动点，，分别是线段和的 中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形． (1)证明：为平行四边形； (2)是否存在，使得和底面的夹角为．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)证明：点和形成的多面体的体积为定值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章空间向量与立体几何~第二章2.3直线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，则在上的投影的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 6．已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 7．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ） A． B． C． D． 10．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．直线l恒过点 D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 11．如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，若、、三向量共面，则实数等于 . 13．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为 . 14．如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 16．（15分）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 17．（15分）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 18．（17分）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 19.（17分）已知是棱长为2的正方体表面上一动点，，分别是线段和的 中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形． (1)证明：为平行四边形； (2)是否存在，使得和底面的夹角为．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)证明：点和形成的多面体的体积为定值． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷02 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [ D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． _____ _______________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷02 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B C A D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）证明：由，，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．（3分） （2）证明：由，，，得 ，．（8分） （3）证明：由（2）知，所以，． 即，又与有一个公共点，所以三点共线．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得.（6分） （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时； （10分） 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 .（14分） 综上所述：所求直线方程为或．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由已知得．因为，所以可设，所以，解得，所以或．（5分） （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以，由，，， 得，，所以，故．（9分） （3）由题可得，，所以，， 所以，（12分） 又，所以， 所以的面积．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以，又，，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，，所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面．（6分） （2）因为底面，平面，所以， 因为，所以，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量．设为平面的一个法向量， 因为，，所以，即，令，可得． 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．（12分） （3）设，，则，， 设到直线的距离为，则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为．（17分） 19.（17分） 【详解】（1），截面，当在点处时，在平面内的射影为， 当在点时，在平面内的射影为，令分别为的中点，过的截面与和均垂直，即与垂直，即截面为，当在点处时，在平面内的射影为，在平面内的射影为，过的截面为与和均垂直，即与垂直，即截面为，当在上移动时，截面绕转动，当在点时，在面射影为， 由面面平等的性质可知截面总为平行四边形；（6分） （2）不存在 理由：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 过作于，由题意得平面，是平面的一个法向量， 为平面的一个法向量，为和底面的夹角，， 存在，使得和底面的夹角大于；不否存在，使得和底面的夹角为．（12分） （3）设截面与交于点，与交于，四棱锥被平面分成两个三棱锥为三棱锥，三棱锥，两个三棱锥底面无论截面变化，底面面积均不变，两个三棱锥的高均为正方体的棱长，三棱锥，三棱锥的体积为定值，点和形成的多面体为定值．（17分） 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$