专题4　勾股定理 训练 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

专题4　勾股定理 @考点归类 考点一　勾股定理的计算 　如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，则AB的长为　　. 　　 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为(　　　　) A.－1 B.＋1 C.－1 D.＋1 2.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. (1)若a∶b＝3∶4，c＝25，求a、b的值； (2)若c－a＝4，b＝12，求a、c的值. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 考点二　勾股定理的证明 　(1)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理.请根据图1证明：a2＋b2＝c2. (2)小贤将四个全等的直角三角形拼成如图2的形状，若AH＝3，BH＝4，请求出图2外围轮廓(实线)的周长. (3)如图3，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，连结EC、BG，若设S△EBC＝S1，S△BCG＝S2，＝S3，求S1、S2、S3之间的关系，并证明. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 3.如图1是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为1. (1)如图1，若用a、b表示直角三角形的两条直角边(a＜b)，则ab＝　　； (2)如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连结AC，交BG于点P，交DE于点M，求S△AFP－S△CGP的值. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 考点三　勾股定理的实际应用 　[2024秋·招远市期中]某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.6m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.一名身高1.6m的学生走到D处，门铃恰好自动响起.求此时该学生头顶C到门铃A的距离. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 4.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为600m和800m，已知AB＝1 000m，飞机中心周围500m以内可以受到灭火剂影响. (1)着火点C受灭火剂影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13s，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 考点四　勾股定理的逆定理 　如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为　　. 5.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛.若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向. 　　 　　 　　 　　 　　 考点五　勾股定理的探索性问题 　如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”.如图，在△ABC中，∠C＝90°，较短的一条直角边BC＝1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 6.新定义：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形.例如，某三角形三边长分别是5，6和8，因为62＋82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形. (1)若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形　　常态三角形(填“是”或“不是”). (2)若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为　　(请按从小到大的顺序排列). (3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，D为边AB的中点，连结CD.若△BCD是常态三角形，求AC的长. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 考点六　反证法 　[2024春·榆阳区校级月考]用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 求证：∠ACD＝∠A＋∠B. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 @过关训练 1.下列各组数能作为直角三角形三边长的是(　　　　) A.3，4，6 B.4，5，7 C.2，3， D.7，6， 2.已知x、y为正数，且｜x2－4｜＋(y2－3)2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为(　　　　) A.5 B.25 C.7 D.15 3.[2024秋·长春月考]如图是一茅屋的屋顶剖面示意图，它是一个等腰三角形，若屋檐AB＝AC＝5m，横梁BC＝8m，则从梁BC上的任意一点D支一根木头顶住屋顶A处，这根木头的长度可能是(　　　　) A.2.5m B.6m C.4m D.8m 4.[2024秋·杭州期中]如图是小观爸爸设置的手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A－B－C－D－E－A顺序解锁.按此手势解锁一次的路径长为(　　　　) A.8 B.4＋2 C.5＋2 D.1 5.如图是一个棱长为6的正方体盒子，一只蚂蚁从棱CD上的中点A出发，沿盒子的表面爬到棱DE上后，接着又沿盒子的表面爬到盒底的B处.那么整个爬行过程，蚂蚁要爬行的最短路程为　　. 6.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B、C、D在同一直线上.若AB＝2，则CD＝　　. 　　7.如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且BC＝BD，过点C作CE⊥BD，交AB于点E，垂足为点F. (1)若BF＝3，DF＝2，求CD的长； (2)若∠CAB＝45°，求证：BE＝AD. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 8.【证明体验】(1)如图1，在△ACD中，P是CD的中点，延长AP至点E，使PE＝AP，连结DE.求证：△ACP≌△EDP. 【迁移应用】(2)在(1)的条件下，B是AD延长线上的一点，连结BC、BE，若∠CAD＝60°，BD＝AC，如图2所示.求证：BC＝2AP. 【拓展延伸】(3)如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，C是BD的中点，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，连结BE.若AF＝EF＝4，BD＝10，求AB的长. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　参考答案 【例1】 25 【变式跟进】 1.D 2.(1)a＝15，b＝20　(2)a＝16，c＝20 【例2】 (1)略 (2)图2外围轮廓(实线)的周长为20. (3)2(S1＋S2)＝S3.证明略. 【变式跟进】 3.(1)12　(2)S△AFP－S△CGP的值是. 【例3】 该学生头顶C到门铃A的距离为5m. 【变式跟进】 4.(1)着火点C受灭火剂影响.理由略. (2)着火点C能被扑灭，理由略. 【例4】 2＋ 【变式跟进】 5.乙船的航行方向为南偏东55°. 【例5】 △ABC的“有趣中线”的长为. 【变式跟进】 6.(1)是　(2)∶∶ (3)AC的长为或. 【例6】 略 【过关训练】 1.D　2.C　3.C　4.B　5.15 6.－ 7.(1)CD＝　(2)略 8.(1)略　(2)略　(3)AB＝ 。 学科网（北京）股份有限公司 $$