第28讲 平面几何(4)-【小学数学新思维】五年级全国通用版

100 小学数学新思维  五年级 第 28 讲  平面几何（4） 【知识要点】 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为 两种：一是拼合组合，二是重叠组合。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下 三点： 1. 仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的。 2. 适当采用增加辅助线等方法帮助解题。 3. 采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 【例题精讲】 【例题 1】正方形 ABCD，对角线 AC=12 厘米，这个正方形的面积是多少平 方厘米？ 【解析】方法（1）：对角线相乘 ÷2= 正方形面积； 方法（2）：三角形旋转，得到一个大三角形，直角边是 12 厘米，面积就是 巧求面积 1. 原理 2. 平移法 3. 旋转法 4. 割补法（辅助线） 5. 对称法 6. 找特殊点法 同增同减差不变原理 容斥原理 勾股定理 101 12×12÷2=72（平方厘米）。 【例题 2】求如图四边形 ABCD 的面积。（单位：厘米） 【解析】利用添补法：延长 BA 与 CD 交于点 E。得到一个大直角三角形，面积是 7×7÷2=24.5（平方厘米）。三角形 ADE 的面积是 3×3÷2=4.5（平方厘米）。得到四 边形 ABCD 的面积是 24.5-4.5=20（平方厘米）。 【例题 3】如图，求梯形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【解析】方法（1）：利用梯形的面积 - 空白三角形的面积得出阴影部分的面积。 方法（2）：利用“拉窗帘”方法，阴影部分面积实际上就是底 6 厘米，高 2.8 厘 米的大三角形面积。 A B D C 14 6 2.8 7 3 A B C D 45° E 第 28 讲  平面几何（4） 102 小学数学新思维  五年级 【例题4】如图长方形 ABCD 的面积是16平方厘米，E、F 都是所在边的中点， 求三角形 AEF 的面积。 【解析】方法（1）：把长方形长看作 a，宽看作 b，可以把 3 个空白三角形面积求 出来。 方法（2）：过 E，F 点，作平行于 AB 和 BC 的线段，三角形 ABE 面积是 16÷ 2÷2=4（平方厘米）；三角形 ADF 面积 =16÷2÷2=4（平方厘米），三角形 CEF 面积 = 16÷4÷2=2（平方厘米）。 【随堂练习】 1. 已知正方形 ABCD 的边长是 7 厘米，求正方形 EFGH 的面积。 A B E C F D A B G C DE F H 103 2. 求如图长方形 ABCD 的面积。（单位：厘米） 3. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位： 厘米） 4. 如图，四边形 ABCD 是直角梯形，已知 AE ＝ EF ＝ FD，AB 为 6 厘米，BC 为 10 厘米，阴影部分面积为 6 平方厘米。求直角梯形 ABCD 的面积。 A B D C 6 8 12 4 2 B A C DE F 第 28 讲  平面几何（4） 随堂练习参考答案 303 4. 把多出的面积分成三部分：其中两部分是一模一样的长方形，另一个是正方形； 96-4×4=80（平方厘米）；80÷2=40（平方厘米）；40÷4=10（厘米）；小正方 形边长 =10（厘米）；10×10=100（平方厘米）；大正方形面积 =100+96=196（平方 厘米）。 第 27讲【随堂练习】 1. 思路（1）：把三个三角形的面积分别求出来。28×20÷2+28×20÷2=560（平 方厘米）。思路（2）：把两边三角形向中间平移，得到一个长方形。长 28 厘米，宽 20 厘米。 28×20=560（平方厘米）。 2. BC=30×2÷10=6（厘米），CD=10-6=4（厘米），三个空白三角形的面积和： 4×10÷2+6×15÷2+10×10÷2=115（平方厘米）。 3. 思路（1）：梯形的高是 90×2÷（10+20）=6（厘米）；10×6÷2=30（平方厘米）。 思路（2）：空白三角形的面积是阴影三角形面积的 2 倍，90÷（2+1）=30（平方 厘米）。 4.EC=12-4=8（厘米）；梯形的高 =72×2÷（4+12）=9（厘米），8×9÷2=36（平方 厘米）。 第 28讲【随堂练习】 1. 思路（1）：利用分割法。如图，连接 EG，FH。正 方形面积的一半，7×7÷2=24.5（平方厘米）。思路（2）： 分别求出四个三角形的面积。7÷2=3.5（厘米），3.5×3.5÷ 2×4=24.5（平方厘米），7×7-24.5=24.5（平方厘米）。 2. 直角三角形的面积就是长方形面积的一半：6×8÷2=24（平方厘米）。 长方形 ABCD 的面积为 24×2=48（平方厘米）。 A B G C DE F H 304 小学数学新思维  五年级 3. 利用面积转化：阴影面积 = 空白梯形面积，12-4=8（厘米）；（8+12）×2÷ 2=20（平方厘米）。 4. 思路（1）：如图，连接 BD，三角形 ABE，BEF，BFD，面积相等。三角形 BCD 面积是 10×6÷2=30（平方厘米）。6+6+6+30=48（平方厘米）。 思路（2）：EF=6×2÷6=2（厘米），AD=2× 3=6（厘米），（6+10）×6÷2=48（平方厘米）。 第 29讲【随堂练习】 1. 思路：根据同增差不变，三角形 EFD 与三角形 ABF 同时加四边形 BCDF，即 三角形 BCE 面积比长方形面积大 6，三角形 BCE 的面积就是 6+6×4=30（平方厘米）。 CE=30×2÷6=10（厘米），10-4=6（厘米）。 2. 三角形 ABC 的高：36×2÷8=9（厘米）；CF=9 厘米，（3+9）×8÷2=48（平方 厘米）。 3. 根据蝴蝶定理：三角形 AOB 的面积 =6 平方厘米；三角形 BOC 与三角形 AOB 的高相等，面积是 2 倍关系，12÷6=2，所以 CO=2AO，所以三角形 COD 的面积是三 角形 AOD 面积的 2 倍；三角形 AOD 面积 =6÷2=3（平方厘米）。 4. 三角形 ABC 的面积是（6+9）×9÷2=67.5（平方厘米）；如图，连接 BE，三角 形 BCE 面积是：9×9÷2=40.5（平方厘米），三角形 ABE 面积 =67.5-40.5=27（平方厘米）。EF=27×2÷ （6+9）=3.6（厘 米）， 三 角 形 AEF 面 积 =6×3.6÷ 2=10.8（平方厘米）。 第 30讲【随堂练习】 1. 思 路：根 据 一 半 模 型 原 理，两 个 三 角 形 面 积 和 就 是 长 方 形 面 积 的 一 半。 （10+11）×2=42。 B A C DE F A B CD E F