精品解析：安徽省合肥市锦绣中学2024-2025学年下学期九年级5月份月考数学试卷

2024-2025学年下学期九年级5月份月考数学试卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列实数：，其中最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最小的是， 故选：A． 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是．小明将数据用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． ∴n的值是6． 故选：C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，掌握整数的混合运算法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C ． 4. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 5. 已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可． 【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且， ∴，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图知，是的平分线，且， ∴，，不能说明与相等， ∴与不平行，故本选项符合题意； C、由作图知，， ∴四边形是菱形， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和和正多边形的性质，根据正多边形的性质可得多边形的内角和公式求出，再求出即可解决问题． 【详解】解：∵正八边形，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等边三角形、角、线段，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是 B. 事件“任意画一个多边形，其外角和是”是必然事件 C. 一个盒子中有白球个，红球个，黑球个(每个除了颜色外都相同)．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么与的差是 D. 事件“把个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有个球”是随机事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的概率分别判断即可求解． 【详解】A. 五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等边三角形、角、线段，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是，故错误； B. 事件“任意画一个多边形，其外角和是”是必然事件，正确； C. 一个盒子中有白球个，红球个，黑球个(每个除了颜色外都相同)．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么与的和是，故错误； D. 事件“把个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有个球”是必然事件，故错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率公式的运用． 8. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解. 【详解】解：∵解方程， 去分母得：， 整理得：， ∵方程有解， ∴， ∵分式方程的解为正数， ∴，解得：m＞2， 而x≠-1且x≠0， 则≠-1，≠0， 解得：m≠0， 综上：m的取值范围是：m＞2. 故选C. 【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念． 9. 如图，中，，，垂足为D，平分，分别交于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．过点F作于点G，设，根据勾股定理可得，再由，可得，然后根据角平分线的性质可得，再由，即可． 【详解】解：如图，过点F作于点G， ∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即． 故选：A 10. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）．下列结论中： ①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为方，．正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的顶点坐标可得到．；由题意可知，再由抛物线的顶点坐标可求，从而进一步可求n的范围为，即可求出判断结论①； 由，，即可得出a的取值范围，判断结论②； 由 ，可知，又因为，可判断结论③； 将一元二次方程可化为，因为，则有，解方程即可判断结论④． 【详解】解：∵顶点坐标为， ∴其对称轴．即． ∵抛物线与x轴交于点， ，即． ： ∵抛物线与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）， ． ∵顶点坐标为，即当时，有， ． 又， ， ． ．故①正确； ． 又即． ，故②正确； ． 即， ， ． ，故③正确； ∵一元二次方程可化为． 又． ∴可有． 解方程，得，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，运用数形结合思想分析问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分） 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 按照如下步骤求解即可：去分母、移项、合并同类项． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 故答案为：． 12. 已知实数，，满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，先把进行因式分解，然后，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴原式， 故答案为：． 13. 如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AH⊥x轴，由等腰三角形的性质可得OH=HB，设OH=HB=a，进而表示点A、C的坐标，再根据中位线定理表示MH，进而表示AM，最后利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图， ∵OA＝AB，AH⊥OB， ∴OH＝BH＝OB， 设OH＝BH＝a，则A（a，），C（2a，）， ∵AH∥BC， ∴MH＝BC＝， ∴AM＝AH﹣MH＝， ∵AM∥BC， ∴△ADM∽△BDC， ∴． 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形、相似三角形的性质，将点的坐标转化为线段的长，是常用的方法． 14. 如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1）______； （2）设，则关于的函数解析式为_____． 【答案】 ①. 1 ②. ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形和等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）通过证明，得到，代入数据即可求解； （2）利用相似三角形的性质得到，作于，利用三线合一性质得到，进而得到，再通过证明，得到，代入数据即可求出关于的函数解析式． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ； 故答案为：1． （2）， ， ， ， ， ， 如图，作于， ，， ，， ， ， ， ， 又，即， ， ， ， ，， ， 整理得：， 关于的函数解析式为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米，请计算该实践基地的面积． 【答案】该实践基地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为x，宽为y，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值，从而可得大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式即可得． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得， 则大长方形的长为，宽为60， 故大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点是与网格线的交点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；在上画点，使． （2）图中，在上取点，使得∥，作点关于的对称点． 【答案】（1） 如图1，即为所求． （2） 如图2，过点作的平行线，与网格线交于点， 连接，交于点， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得线段；取格点，，连接交于点，此时，则，即，连接交于点． （2）过点作的平行线，与网格线交于点，连接，交于点；取格点，连接，使，再取格点，，连接，，使，，则 与的交点即为点关于的对称点． 【小问1详解】 取格点，，连接交于点， ， ， ， 连接交于点， ， 则点即为所求． 【小问2详解】 此时， ， 则点即为所求． 取格点，连接，使， 再取格点，，连接，，使，， 与交于点， 则点即为所求． 【点睛】本题考查作图旋转变换、轴对称变换、平行线的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式： ； 第 3个等式： ； 第4个等式： ； …. 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示） 【答案】（1） （2）， 证明如下： 左边 ， 右边 ， 左边=右边， 则等式成立 【解析】 【分析】本题考查了数字类的变化规律，解题的关键是根据等式的变化找出其规律； （1）根据规律，直接写出等式即可； （2）总结规律，再证明等式的左边等于右边即可， 【小问1详解】 解：第6个等式为：， 故答案为： 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线的正上方处悬停，在同一平面内，，点在一条直线上，为的中点，米，测得塔顶的俯角为37°，树顶的俯角为60°，树高为11米，求塔高的值．（参考数据：，） 【答案】40.4米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，得然后在中，得的值，利用锐角三角函数的定义求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点， 为的中点， ， 由题意得：， 在中，． ， ， 在中，， ， （米） 塔高的值为40.4米． 20. 如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F在BD的延长线上，且AB = AC． （1）求证：DE平分∠CDF； （2）若AC = 3 cm，AD = 2 cm，求DE的长． 【答案】 （1）证明：， ， ， ． ， ， ∴DE平分； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出，由及推出，即可推出解决问题； （2）首先证明，通过相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1） 略 （2）， ， ． ， ， ． 【点睛】本题综合考查了角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等，灵活运用所学知识，学会正确寻找相似三角形解决问题是关键． 六、解答题（本题满分12分） 21. 2023年以来，中小学生“课间圈养”现象引起热烈讨论．一些学校基于学生安全考虑，严格限制学生课间十分钟的活动范围．为此，王丽同学随机调查了某小区若干名中学生家长对学校这一做法的态度（态度分为：A．赞成；B．基本赞成；C．无所谓；D．反对），并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）王丽一共抽样调查了_______名学生家长；在扇形统计图中，表示A组的扇形圆心角的度数为_____． （2）将条形统计图补充完整﹒ （3）该小区共有1400名学生家长，估计该小区有多少名学生家长持“赞成”态度？ 【答案】（1）40， （2）补全统计图如图： （3）该小区大约有70名学生家长持“赞成”态度 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用： （1）组人数除以所占的比例求出总人数，360度乘以组人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）求出组人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）；； 故答案为：40，； 【小问2详解】 C组人数为（名）． 图略； 【小问3详解】 （名）． 答：该小区大约有70名学生家长持“赞成”态度． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图1，正方形的边长为6，为的中点，点是边上一点，和都是等边三角形，过，两点分别交，于，． （1）求证：①；②求线段的长； （2）如图2，当点在线段上，点在线段上时，试求线段的值． 【答案】（1）①证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ， ， ； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由于和都是等边三角形，可得，即证得结论，②作于，由于，可得，由于为的中点，根据解直角三角形即可求得； （2）连接，由于，，可得，，和都是等边三角形，进而，因为，可得，又因为，，即可求线段的值． 【小问1详解】 ①略 ②，， ， ，如图，作于， ， ， ， ； 注：当时，①②结论依然成立． 【小问2详解】 解：如图，连接． ，， ， 又， 在和中， ，， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线的顶点C在x轴正半轴上，直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一点，若，求点P的坐标； （3）如图2，若点M是位于直线下方抛物线上一动点，以为邻边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，请直接写出平行四边形的面积S及点M的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3）， 【解析】 【分析】（1）由题意得出，，求解即可； （2）求出，联立，可得，从而得出，，求出，过点作轴交于，则，，求出，得出，作轴交于，设，则，，再根据，建立方程，求出的值即可得解； （3），作轴交于，设，则，从而可得，由二次函数的性质可得，当时，最大，为，由（2）可得，即可求出的面积的最大值，由题意可得当的面积的最大时，平行四边形的面积最大，最大为，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点C在x轴正半轴上， ∴，， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 联立，可得， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作轴交于， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作轴交于， 设，则， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，作轴交于， 设，则， ∴， ∴当时，最大，为， 由（2）可得， ∴的面积的最大值为， ∵以为邻边作平行四边形， ∴当的面积的最大时，平行四边形的面积最大，最大为， ∴当时，平行四边形的面积最大，为，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质、二次函数综合—面积问题、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期九年级5月份月考数学试卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列实数：，其中最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是．小明将数据用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等边三角形、角、线段，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是 B. 事件“任意画一个多边形，其外角和是”是必然事件 C. 一个盒子中有白球个，红球个，黑球个(每个除了颜色外都相同)．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么与的差是 D. 事件“把个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有个球”是随机事件 8. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，中，，，垂足为D，平分，分别交于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）．下列结论中： ①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为方，．正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分） 11. 不等式的解集为______． 12. 已知实数，，满足，，则的值为______． 13. 如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为_____． 14. 如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1）______； （2）设，则关于的函数解析式为_____． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米，请计算该实践基地的面积． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点是与网格线的交点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；在上画点，使． （2）图中，在上取点，使得∥，作点关于的对称点． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式： ； 第 3个等式： ； 第4个等式： ； …. 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示） 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线的正上方处悬停，在同一平面内，，点在一条直线上，为的中点，米，测得塔顶的俯角为37°，树顶的俯角为60°，树高为11米，求塔高的值．（参考数据：，） 20. 如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F在BD的延长线上，且AB = AC． （1）求证：DE平分∠CDF； （2）若AC = 3 cm，AD = 2 cm，求DE的长． 六、解答题（本题满分12分） 21. 2023年以来，中小学生“课间圈养”现象引起热烈讨论．一些学校基于学生安全考虑，严格限制学生课间十分钟的活动范围．为此，王丽同学随机调查了某小区若干名中学生家长对学校这一做法的态度（态度分为：A．赞成；B．基本赞成；C．无所谓；D．反对），并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）王丽一共抽样调查了_______名学生家长；在扇形统计图中，表示A组的扇形圆心角的度数为_____． （2）将条形统计图补充完整﹒ （3）该小区共有1400名学生家长，估计该小区有多少名学生家长持“赞成”态度？ 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图1，正方形的边长为6，为的中点，点是边上一点，和都是等边三角形，过，两点分别交，于，． （1）求证：①；②求线段的长； （2）如图2，当点在线段上，点在线段上时，试求线段的值． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线的顶点C在x轴正半轴上，直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一点，若，求点P的坐标； （3）如图2，若点M是位于直线下方抛物线上一动点，以为邻边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，请直接写出平行四边形的面积S及点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $