第3章 勾股定理 强化训练 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3章 勾股定理 强化训练 2025-2026学年苏科版八年级数学上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 2．（3分）如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（　　）． A． B． C． D． 3．（3分）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　） A．2 B． C． D． 5．（3分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 6．（3分）以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图是宝安公园一角的平面地图，利用软件测得起点A到第一个拐角处点B的距离为30米，点B到终点C的距离是30米，如果∠ABC=90°，那么A、C两点的距离大约是（　　） A．30米 B．40米 C．60米 D．70米 8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 9．（3分）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 10．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是　　 A．18 B．114 C．194 D．324 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点　 　． 12．（3分）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　． 13．（3分）如图，在等腰中，于点，点和分别在线段和线段上，连结，则平分，且满足，若，则的面积为　 　． 14．（3分）Rt△ABC中，∠B=90°，点D，E在边AB上，DA=DC，CE平分∠ACB，BD=7，AD=25， 则 DE的长为　 　． 15．（3分）如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是　 　米． 16．（3分）如图，在中，，于点，交于点，如果，则的长为　 　． 17．（3分）如图，在中，于点，与相交于点．若，，则　 　． 18．（3分）如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是　 　． 三、解答题(共6题；共46分) 19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，DE⊥AC，垂足为点E，连结DC． （1）（3分）若∠A=36°，求∠BCD的度数． （2）（3分）若∠A=30° ，DE+BC=6，求DE和EC的长． 20．（8分）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米.请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离. 21．（8分）如图，某小区有两个喷泉，，一条小路，已知两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求： （1）（4分）供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； （2）（4分）喷泉到小路的最短距离． 22．（8分）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径是2米，长方形的另一条边长是2.3米。 （1）（4分）此卡车是否能通过桥洞?试说明你的理由． （2）（4分）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？ 23．（8分）某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米. （1）（4分）求风筝的垂直高度； （2）（4分）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 24．（8分）如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ=∠ABQ=90°． （1）（4分）判断△PMN的形状，并说明理由； （2）（4分）当AQ=26，BP=24时，求MN的长． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误； B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确； C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误； D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵为的中点，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为． 故答案为：C． 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到的长，再根据勾股定理得到的长解题． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故答案为：D． 【分析】观察图形，用割补法求得的面积，根据网格图的特征用勾股定理求出的长，再用等面积法可得关于AD的方程，解方程即可求解． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F， 则BF=FC=4， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：B. 【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：设 根据题意可知，，，，， 在中， ，即 解得：，即钟摆AD的长度是26cm. 故答案为：C． 【分析】设，根据平行线间的距离处处相等得，然后根据线段的和差可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知正方形的边长为1， ∴正方形的对角线长为：， ∵顶点A为圆心、对角线长为半径画弧， ， ∴点表示的数是， 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理求出正方形的对角线长为，即可得到，解题即可． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得AB=BC=30米，∠ABC=90°， ∴由勾股定理得米， ∴A、C两点间的距离大约是40米， 故答案为：B 【分析】先根据题意得到AB=BC=30米，∠ABC=90°，进而根据勾股定理即可求出AC，再对比选项即可求解。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得，中间小正方形的边长为， ∵小正方形面积为5， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴， ∴大正方形的面积为13， 故答案为：B． 【分析】由题意可知中间小正方形的边长，然后由正方形的面积、利用完全平方公式、勾股定理即可求出大正方形的面积为． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， ， ， ， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为， 故答案为：A． 【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 10．【答案】B 【解析】【解答】解：如图： 由题意得，， 则， ． 故答案为：B 【分析】先根据勾股定理结合题意得到，，则，再计算即可求解。 11．【答案】26 【解析】【解答】解：如图， ， 故答案为：26． 【分析】利用勾股定理即可解答． 12．【答案】139 【解析】【解答】解：如图， ∵正方形、正方形的面积分别为25、144， ∴=25+144=169，AB=5，AC=12， ∴=169-×5×12=169-30=139， 故答案为：139． 【分析】先根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积即可求阴影部分的面积 ． 13．【答案】6 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴，则，即， 如图所示，过点作，交与点， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图连接，交于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 延长交于点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 在等腰直角中，， ∴， 故答案为： ． 【分析】设，则可得，过点作，交与点，得到，即可得到，连接，交于点，然后证明，即可得到，延长交于点，则是等腰直角三角形，得到，设，则，求出，再运用勾股定理可得，然后根据三角形的面积公式计算即可求解． 14．【答案】5 【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AC交AC于点F， ∵DA=DC，AD=25， ∴DC=25， ∵∠B=90°，BD=7， ∴由勾股定理可得：， ∵AD=25，BD=7， ∴AB=32， ∴由勾股定理可得：， ∵CE平分∠ACB ， ∴BE=EF， ∵， ∴， ∴BE=12， ∴DE=BE-BD=5. 故答案为：5. 【分析】由勾股定理求出BC、AC的长度，再利用等面积法即可求解. 15．【答案】24 【解析】【解答】解：如图所示：根据题意可知米，米， 根据勾股定理得． 所以树折断前有（米）． 故答案为：． 【分析】根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案. 16．【答案】3 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， 故答案为：． 【分析】本题考查含度角的直角三角形的性质、平行线的性质.根据题意，利用角的运算可得：，在中，利用含度角的直角三角形的性质可求出BD，利用勾股定理可求出CD，根据，利用平行线的性质可推出，，在中，利用含度角的直角三角形的性质可求出CE，利用勾股定理可求出DE. 17．【答案】 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， 又∵，， ， 在和中， ∴（） ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】先利用垂直的定义判断△BDH和△ADC的形状，然后利用勾股定理确定BD的长度，再利用HL证△BDH和△ADC全等，再由全等三角形的对应边相等得AD的长度，最后利用勾股定理即可求出AB的长. 18．【答案】8 【解析】【解答】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 【分析】利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案. 19．【答案】（1）解：是AB边的中点， ， ， . （2）解：∵AD=CD， ∠A=30° ∴， ， ， ∴CD=2DE， ， ， 是等边三角形， . 又， ， . 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD=CD=BD，由等边对等角得∠A=∠DCA=36°，进而根据∠BCD=∠ACB-∠ACD即可求出答案； （2）由等边对等角得，由含30°角直角三角形的性质得CD=2DE，证明是等边三角形，得出CD=BC=2DE，再结合已知可求出DE、CD得长，最后根据勾股定理即可得解. 20．【答案】解：米，米，米， ，， ， 是直角三角形，其中 . 米， 在中，由勾股定理得， 米 答：，两点间的距离为15米. 【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，再利用勾股定理求出AB的长即可. 21．【答案】（1）解：由题意可知 在中， ∴． 在中， ∴供水点到喷泉，需要铺设的管道总长为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 喷泉到小路的最短距离是． 【解析】【分析】(1)作，根据勾股定理计算出AM的，再和BM相加即可. (2)先用勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形， 到小路的最短距离就是BM的长即可. 22．【答案】（1）解：能通过。理由如下： 如图①所示， 当桥洞中心线两边各为0.8米时，， 能通过 （2）解：如图②所示， ，米 桥洞的宽至少应为米。 【解析】【分析】（1）应用勾股定理求得当卡车宽为1.6米时，可通过的车辆高度小于2.9米，因此卡车可以通过； （2）同（1）根据卡车的高度2.8减去2.3可得AB的长度，再结合勾股定理即可得解。 23．【答案】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为17.62米 （2）解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出CE的长即可； （2）先利用勾股定理求出BM的长，再利用线段的和差求出答案即可. 24．【答案】（1）解：△PMN为直角三角形，理由如下： 如图，连结BM， ∵∠APQ=∠ABQ=90°，点M是AQ的中点 ∴PM=AQ，BM=AQ， ∴PM=BM 又∵N为PB的中点 ∴MN⊥PB ∴△PMN为直角三角形 （2）解：由(1)知PM=AQ， ∵AQ=26 ∴PM=13 又∵N为BP的中点，且BP=24 ∴PN=BP=12 ∵MN⊥PB ∴MN2=PM2-PN2=25 ∴MN=±5 又∵MN>0 ∴MN=5 【解析】【分析】(1)连结BM，由直角三角形斜边中线的性质可证 PM＝BM，再由等腰三角形三线合一的性质证明 即可； (2)先求出PM和PN的长，再利用勾股定理求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$