第39讲 容斥问题-【小学数学新思维】四年级全国通用版

230 小学数学新思维  四年级 蛛的腿。所以，蜘蛛有 14÷（8-6）=7（只），蝴蝶和苍蝇共有 21-7=14（只）。 假如蝴蝶和苍蝇都隐去 1 对翅膀，那么翅膀还有 23-14×1=9（对）。由此可知， 蝴蝶有 9÷（2-1）=9（只），苍蝇有 14-9=5（只）。 2. 把 40 元与 50 元的门票都看作每张 45 元，（40+50）÷2=45（元）；15600- 400×30=3600（元），40 元 与 50 元 的 门 票 共 有 3600÷（45-30）=240（张）， 240÷2=120（张）。 40 元和 50 元的门票各售出 120 张，30 元的门票售出 400-240=160（张）。 3. 若 47 件商品全是 700 元，700×47=32900（元），多算了 32900-21200= 11700（元）。 若把 2 件乙和 1 件丙打成 1 包，1 包里多算了（700-300）×2+（700-200）= 1300（元），共有 11700÷1300=9（包）。 乙有 2×9=18（件），丙有 1×9=9（件），甲有 47-18-9=20（件）。 4. 当鸡、兔一样多时，互换之后，脚数一样多。当鸡比兔多 1 只，换完后， 脚数多了 4-2=2（只）；原来鸡比兔多（52-44）÷（4-2）=4（只）。接下来赶走 4 只鸡，还剩 44-4×2=36（只）脚，36÷（1×2+1×4）=6（包）。 兔有 1×6=6（只），鸡有 6+4=10（只）。 【随堂练习 39】 1. 语文、数学成绩都优秀的有 65+87-122=30（人）。 2. 只参加数学小组的有25-19=6（人），只参加科技小组的有23-19=4（人）。 两个小组都没有参加的有 40-19-6-4=11（人）。 3. 至少会下一种棋的有 103-12=91（人）。 两种棋都会下的有 69+52-91=30（人）。 4. 二年级 + 其他年级 =110（件），一年级 + 其他年级 =100（件），一年级 + 231 随堂练习参考答案 二年级 =32（件）。二年级比一年级多 110-100=10（件），一年级有（32-10）÷ 2=11（件）。 其他年级参展的作品共有 100-11=89（件）。 5. 200÷5=40，是 5 的倍数的数有 40 个；200÷8=25，是 8 的倍数的数有 25 个；既是 5 的倍数又是 8 的倍数的数有 200÷（8×5）=5（个）。 既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的数有 200-（40+25-5）=140（个）。 【随堂练习 40 答案】 1. 方法一：用枚举法，12 种。 方法二：用乘法原理，3×4=12（种）。 2. 用树状图。8 在百位上时有 6 个，6 在百位上时有 6 个，3 在百位上时有 6 个，6+6+6=18（个）。 可以组成 18 个不同的三位数；最大的一个是 863。 3. 取 1，另一个取 6，有 1 种；取 2，另一个取 5、6，有 2 种；取 3，另一个 取 4、5、6，有 3 种；取 4，另一个取 5、6，有 2 种；取 5，另一个取 6，有 1 种。 一共有 1+2+3+2+1=9（种）取法。 4. 需要比赛（7+6+5+4+3+2+1）×2=56（场）。 5. 方法一：枚举法，一共有 6 种走法。 方法二：乘法原理，一共有 2×3=6（种）走法。 【随堂练习 41】 1. 类类独立，用加法原理，4+7=11（种）。 陈老师有 11 种不同的方法到北京。 133 第 39 讲  容斥问题 【知识要点】 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出 来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏 又无重复，这种计数方法被称为容斥原理。 如下图（文氏图）所示，具有 a 的性质或具有 b 的性质的个数为 Na+Nb- Nab 。 【例题精讲】 【例题 1】 老师出了两道数学题，在 40 人中，做对第一题的有 31 人，做对第二题的有 28 人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？ 【解析】利用文氏图。40 人包括只做对第一题的、只做对第二题的和 两道题都做对的。31+28=59（人），59 人包括做对第一题的和做对第二 题的，其中两道题都做对的人算了 2 次。所以两道题都做对的有 59-40= 19（人）。 【例题 2】 某班有 36 人，在一项测试中，答对第一题的有 25 人， 答对第二题的有 23 人，两道题都答对的有 15 人。多少人两道题都答错了？ 【解析】根据文氏图，36 人分为只答对第一题的人、只答对第二题的 人、两道题都答对的人和两道题都答错的人。只答对第一题的有 25-15=10 Na NbNab 第 39 讲  容斥问题 134 小学数学新思维  四年级 （人），只答对第二题的有 23-15=8（人）。两道题都答错的有 36-10-8- 15=3（人）。 【例题 3】 某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛 的有 27 人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两 科竞赛的有多少人？ 【解析】要先明白 56 人包括哪些人。只参加语文竞赛、只参加数学 竞赛和两科都参加的一共是 56-25=31（人），而 28+27=55（人）包括参 加语文竞赛的和参加数学竞赛的，其中两科都参加的人算了 2 次。所以两 科都参加的有 55-31=24（人）。 【例题 4】 光明小学举办书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级 学生的书法作品，其中有 24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、 六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 【解析】利用文氏图。参展的书法作品中，六年级 + 其他年级 =24 （幅），五年级 + 其他年级 =22（幅），六年级比五年级多了 24-22=2（幅）， 所以五年级有（10-2）÷2=4（幅），六年级有 10-4=6（幅）。其他年级参 展的书法作品有 24-6=18（幅）。 【例题 5】 在 1 到 130 的全部自然数中，既不是 6 的倍数又不是 5 的倍数的数有多少个？ 【解 析】 在 1 ～ 130 中，是 6 的 倍 数 的 数 有 130÷6=21……4（个）， 即 21 个；是 5 的倍数的数有 130÷5=26（个）；是 30 的倍数的数有 130÷ 30=4……10（个），即 4 个。既不是 6 的倍数也不是 5 的倍数的数有 130- （21+ 26-4）=87（个）。 135 【随堂练习 39】 1. 五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门学科取 得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学成绩优秀的有 87 人。语 文、数学成绩都优秀的有多少人？ 2. 四（1）班有 40 个学生，其中 25 人参加数学小组，23 人参加科技 小组，有 19 人两个小组都参加了。有多少人两个小组都没有参加？ 3. 一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋 的有 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。这两种棋都会下的有多少人？ 4. 学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不 是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32 件。 其他年级参展的作品共有多少件？ 5. 在 1 到 200 的全部自然数中，既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的数 有多少个？ 第 39 讲  容斥问题