第8讲 等差数列求和(2)-【小学数学新思维】四年级全国通用版

30 小学数学新思维  四年级 第 8 讲  等差数列求和（2） 【知识要点】 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列。数列中的每 一个数叫作这个数列的项，其中第一个位置上的数叫作这个数列的第 1 项， 也叫作首项，最后一个位置上的数叫作末项。数列中项的个数称为项数。 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等 于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列 的公差。 在这一讲要用到三个非常重要的公式，分别是通项公式、项数公式和 总和公式。 通项公式：第 n 项 = 首项 +（项数 -1）× 公差 项数公式：项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1 等差数列总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷2 【例题精讲】 【例题 1】 求 20000-124-128-132-…-272-276 的值。 【解析】先利用减法性质，得出 20000-（124+128+132+…+272+276）， 再利用等差数列求和，算出括号里面等差数列的和，然后进行减法运算。 a1，a2，a3，a4，… 等差数列 1. 数列 2. 公差 3. 项数 后一项 - 前一项（a2-a1） 有多少个数 31 【例题 2】 求等差数列 4，7，10，13，…的前 51 项的和。 【解析】先求出公差是 3，再求出第 51 项的数是 4+3×（51-1）=154， 然后利用等差数列求和公式得到（4+154）×51÷２= 4029。 【例题 3】 如果一个等差数列的第 4 项是 21，第 6 项是 33。求这 个等差数列的第 8 项。 【解析】由题意可知，这个等差数列的公差是（33-21）÷2=6。从第 4 项到第 6 项，相差 2 个公差，从第 6 项到第 8 项也相差 2 个公差，所以第 8 项是 33+2×6=45。 【例题 4】 （1+3+5+7+…+2007+2009）-（2+4+6+8+…+2006+2008） 的结果是多少？ 【解析】可以利用等差数列求和公式，分别求出括号里的和是多少，然 后再相减；也可以先去括号，再利用带符号“搬家”法，用单数减双数。 【例题 5】 某班有 51 名同学，毕业时每人都和其他人握一次手， 那么一共握了多少次手？ 【解析】第一名同学要和其他 50 名同学握手 50 次，第 2 名同学要和 剩下 49 名同学握手 49 次。以此类推，得出 50+49+48+…+3+2+1=1275。 第 8 讲  等差数列求和（2） 32 小学数学新思维  四年级 【随堂练习 8】 1. 求 10000-2-4-6-8-…-98-100 的值。 2. 求等差数列 3，6，9，12，…的前 50 项的和。 3. 如果一个等差数列的第 3 项是 16，第 5 项是 30，那么这个等差数 列的第 8 项是多少？ 4. 求（1+3+5+…+1999）-（2+4+6+…+1998）的值。 5. 学校举行乒乓球比赛，每位选手都要和其他所有选手各赛一场。如 果有 21 人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ 213 随堂练习参考答案 4. 由题意可知，该数列的公差是 4-1=3，利用等差数列通项公式：第 n 项 = 首项 +（项数 -1）× 公差，则第 30 项是 1+（30-1）×3=1+29×3=88。 5. 由题意可知，该数列为等差数列，公差是 33-31=2，项数是（199-31）÷ 2+1=85（项），所以这个等差数列的和为（31+199）×85÷2=9775。 6. 由题意可知，该数列为等差数列，公差是 34-32=2，项数是（300-32）÷ 2+1=135（项），所以这个等差数列的和为（32+ 300）×135÷2=22410。 【随堂练习 8】 1. 原式 =10000-（2+4+6+8+…+98+100）=10000-（2+100）×50÷2=7450。 2. 由题意可知，该数列的公差是 6-3=3，则第 50 项是 3+（50-1）×3=150。 因此，该等差数列前 50 项的和为（3+150）×50÷2=3825。 3. 由题意可知，该数列的公差是（30-16）÷2=7，利用等差数列的通项公 式，可求得首项是 2，则第 8 项是 2+（8-1）×7=51。 4. 原式 =（1+1999）×1000÷2-（2+1998）×999÷2=1000。 5. 第一位与其他 20 位赛 20 场，第二位与剩余 19 位赛 19 场。以此类推， 一共要比赛 20+19+18+…+3+2+1=（20+1）×20÷2=210（场）。 【随堂练习 9】 1. 仔细观察，找出规律，再填数。 （1）12 ， 1 ， 10 ， 1 ， 8 ， 1，（ 6 ），（ 1 ），（ 4 ） （2）3 ， 5 ， 10 ， 12 ， 17，（ 19 ），（ 24 ），（ 26 ） （3）3 ， 2 ， 9 ， 2 ， 27 ， 2，（ 81 ），（ 2 ），（ 243 ）