第7讲 等差数列求和(1)-【小学数学新思维】四年级全国通用版

26 小学数学新思维  四年级 第 7 讲  等差数列求和（1） 【知识要点】 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列。数列中的每 一个数叫作这个数列的项，其中第一个位置上的数叫作这个数列的第 1 项， 也叫作首项，最后一个位置上的数叫作末项。数列中项的个数称为项数。 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等 于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列 的公差。 在这一讲要用到三个非常重要的公式，分别是通项公式、项数公式和 总和公式。 通项公式：第 n 项 = 首项 +（项数 -1）× 公差 项数公式：项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1 等差数列总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷2 【例题精讲】 【例题 1】 有一个数列：4，10，16，22，…，52。这个数列共有 多少项？ 【解析】由题意可知，这是一个等差数列，公差为 6，首项是 4，末项 a1，a2，a3，a4，… 等差数列 1. 数列 2. 公差 3. 项数 后一项 - 前一项（a2-a1） 有多少个数 27 是 52。要求项数，可直接代入项数公式进行计算。那么，这个数列共有 （52-4）÷6+1=9（项）。 【例题 2】 已知等差数列 3，7，11，15，…，则该等差数列的第 100 项是多少？ 【解析】由题意可知，该等差数列的公差是 4，第二项 7=3+1×4，第 三项 11=3+2× 4，所以第 100 项为 3+（100-1）×4=399。 【例题 3】 求下列等差数列的和。 （1）1+2+3+4+…+97+98+99+100 【解析】由题意可知，该等差数列的公差是 1，项数是 100。利用等 差数列求和公式：S=（首项 + 末项）× 项数 ÷2，可得该等差数列的和为 （1+100）×100÷2=5050。 （2）2+4+6+8+…+96+98+100 【解析】由题意可知，该等差数列的公差是 2，项数是 50。利用等差 数列求和公式：S=（首项 + 末项）× 项数 ÷2，可得该等差数列的和为 （2+100）×50÷2=2550。 第 7 讲  等差数列求和（1） 28 小学数学新思维  四年级 【例题 4】 求下列等差数列的和。 （1）22+24+26+28+…+236+238+240 【解析】由题意可知，该等差数列的公差是 24-22=2，项数是（240- 22）÷2+1= 110，所以该等差数列的和为（22+240）×110÷2=14410。 （2）33+36+39+…+393+396+399 【解析】由题意可知，该等差数列的公差是 36-33=3，项数是（399- 33）÷3+1= 123，所以该等差数列的和为（33+399）×123÷2=26568。 【随堂练习 7】 1. 等差数列中，首项是 1，末项是 39，公差是 2。这个等差数列共有 多少项？ 2. 有一个等差数列 2，5，8，11，…，101。这个等差数列共有多少项？ 29 3. 有一个等差数列，首项是 3，公差是 2，项数是 10。它的末项是 多少？ 4. 求等差数列 1，4，7，10，…的第 30 项。 5. 求数列 31+33+35+37+…+195+197+199 的和。 6. 求数列 32+34+36+…+296+298+300 的和。 第 7 讲  等差数列求和（1） 212 小学数学新思维  四年级 6.25×0.16+264×0.0625+5.2×6.25+0.625×20 =6.25×0.16+2.64×6.25+5.2×6.25+6.25×2 =6.25×（0.16+2.64+5.2+2） =6.25×10 =62.5 3.5÷0.6+4.5÷0.6+6.7÷0.6+3.3÷0.6 =（3.5+4.5+6.7+3.3）÷0.6 =18÷0.6 =30 23÷0.7+14÷0.7+15÷0.7+32÷0.7 =（23+14+15+32）÷0.7 =84÷0.7 =120 （1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.45）-（1+0.23+0.34+0.45）×（0.23+0.34） 设 0.23+0.34=a，0.23+0.34+0.45=b， 原式 =（1+a）×b-（1+b）×a =b+ab-a-ab =b-a =0.23+0.34+0.45-（0.23+0.34） =0.45 【随堂练习 7】 1. 本题可利用等差数列的项数公式：项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 +1，所 以这个等差数列共有（39-1）÷2+1=19+1=20（项）。 2. 由题意可知，公差是 5-2=3，利用等差数列的项数公式：项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 +1，所以这个等差数列共有（101-2）÷3+1=33+1=34（项）。 3. 首项与末项相差 9 个公差，所以末项是 3+2×9=21。 213 随堂练习参考答案 4. 由题意可知，该数列的公差是 4-1=3，利用等差数列通项公式：第 n 项 = 首项 +（项数 -1）× 公差，则第 30 项是 1+（30-1）×3=1+29×3=88。 5. 由题意可知，该数列为等差数列，公差是 33-31=2，项数是（199-31）÷ 2+1=85（项），所以这个等差数列的和为（31+199）×85÷2=9775。 6. 由题意可知，该数列为等差数列，公差是 34-32=2，项数是（300-32）÷ 2+1=135（项），所以这个等差数列的和为（32+ 300）×135÷2=22410。 【随堂练习 8】 1. 原式 =10000-（2+4+6+8+…+98+100）=10000-（2+100）×50÷2=7450。 2. 由题意可知，该数列的公差是 6-3=3，则第 50 项是 3+（50-1）×3=150。 因此，该等差数列前 50 项的和为（3+150）×50÷2=3825。 3. 由题意可知，该数列的公差是（30-16）÷2=7，利用等差数列的通项公 式，可求得首项是 2，则第 8 项是 2+（8-1）×7=51。 4. 原式 =（1+1999）×1000÷2-（2+1998）×999÷2=1000。 5. 第一位与其他 20 位赛 20 场，第二位与剩余 19 位赛 19 场。以此类推， 一共要比赛 20+19+18+…+3+2+1=（20+1）×20÷2=210（场）。 【随堂练习 9】 1. 仔细观察，找出规律，再填数。 （1）12 ， 1 ， 10 ， 1 ， 8 ， 1，（ 6 ），（ 1 ），（ 4 ） （2）3 ， 5 ， 10 ， 12 ， 17，（ 19 ），（ 24 ），（ 26 ） （3）3 ， 2 ， 9 ， 2 ， 27 ， 2，（ 81 ），（ 2 ），（ 243 ）