精品解析：河北省沧州市青县第三中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

河北省沧州市青县第三中学2024-2025学年八年级 下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中运算正确的是（ ） A. ＋＝ B. ＝-5 C. ÷＝ D. ＝ 3. 如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC＝20m，则AB=（ ） A. 200m B. 20m C. 40m D. 50m 4. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 5. 中，，，的对边分别是a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形，且c是斜边 B. 如果，那么是直角三角形，且是直角 C. 如果，那么是直角三角形，且是直角 D. ，那么是直角三角形，且c是斜边 6. 将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，拉动橡皮筋上的一点．当是顶角为 的等腰三角形时，已知，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为(    ) A. 10 B. 12 C. 24 D. 48 8. 用一条长的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为（ ）． A. 5 B. 10 C. 4 D. 8 9. 如图，正方形的边长为3，E为边上一点，．将正方形沿折叠，使点A恰好与点E重合，连接，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 5 10. 如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 11. 如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D为BC边上一点，CD＝1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 2﹣1 12. 二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A. ①④⑤ B. ②③④ C. ②④⑤⑥ D. ②④⑥ 二、填空题（共4题） 13. 若，则的值为 ____． 14. 在中，，，，是边上的中线，则的长为______． 15. 如图，过点A的直线轴，点B在x轴的正半轴上，平分交于点， 则A的坐标是______． 16. 如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________． 三、解答题（共8题） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 已知：四边形中，，，，，： （1）求的长； （2）求四边形的面积． 19. 如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形． （1）建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．此时，点的坐标为 （2）判断的形状，并说明理由． 20. 如图，在四边形中，，，垂足为O，过点D作的垂线交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． （2）若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 22. 《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？ 23. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数． 24. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知： ∴_____； ∴_____，得证． （2）应用勾股定理 ①应用一：在数轴上画出表示无理数的点 如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____； ②应用二：最短路径问题 如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____； ③应用三：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市青县第三中学2024-2025学年八年级 下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，结合二次根式有意义的条件逐项判定即可得到结论 【详解】解：A、根据二次根式定义及有意义的条件，，故不是二次根式，该选项不符合题意； B、根据二次根式定义及有意义的条件，，故是二次根式，该选项符合题意； C、根据二次根式定义及有意义的条件，符号无法确定，故不一定是二次根式，该选项不符合题意； D、根据二次根式定义及有意义的条件，是立方根，不是二次根式，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式定义及二次根式有意义的条件，根据定义及二次根式有意义的条件逐个验证是解决问题的关键． 2. 下列各式中运算正确的是（ ） A. ＋＝ B. ＝-5 C. ÷＝ D. ＝ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二合并同类项，二次根式的性质化简，二次根式的除法，负整指数幂以及分母有理化，对各个选项逐一分析，即可得到答案． 【详解】A. 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ＝5，故该选项不正确，不符合题意； C. ÷＝，故该选项正确，符合题意； D. ＝，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的除法，加法，负整指数幂以及分母有理化，掌握以上运算法则是解题的关键． 3. 如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC＝20m，则AB=（ ） A. 200m B. 20m C. 40m D. 50m 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可． 【详解】解：∵CB=60m，AC=20m，AC⊥AB， ∴AB=（m）． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边． 4. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 5. 中，，，的对边分别是a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形，且c是斜边 B. 如果，那么是直角三角形，且是直角 C. 如果，那么是直角三角形，且是直角 D. ，那么是直角三角形，且c是斜边 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理即可求解 【详解】A.如果， ∵，∴ ， ∴是直角三角形，且a是斜边， 故选项说法错误，符合题意； B.如果，那么，是直角三角形且，故选项说法正确，不符合题意； C.如果，那么 ，是直角三角形，故选项说法正确，不符合题意； D.如果，则：，是直角三角形，且c是斜边，故选项说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了判断三边能否构成直角三角形和勾股定理，熟练掌握有一个角是直角的三角形是直角三角形是解决问题的关键 6. 将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，拉动橡皮筋上的一点．当是顶角为 的等腰三角形时，已知，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作PH垂直AB于H，由已知求得AP与PH的关系式，进而由勾股定理求得AP的长，进而得到答案． 【详解】解：如图，作PH垂直AB于H ∵是顶角为 的等腰三角形， ∴cm， ∴ 设PH=acm，则AP=2acm ∴由有 解得 ∴cm ∴橡皮筋拉长了 故选：C． 【点睛】本题解直角三角形，懂得作高构造直角三角形是解题的关键． 7. 一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为(    ) A. 10 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知三角形的三边分别是BC=15，AB=20，AC=25，BD是AC上的高， ∵BC=15，AB=20，AC=25， ∴AC2=625，AB2+BC2=225+400=625， ∴AC2= AB2+BC2， ∴三角形ABC为直角三角形，∠ABC=90°， ∵BD是AC上的高， ∴BD•AC=AB•BC， ∴BD=12． 故选B． 8. 用一条长的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为（ ）． A. 5 B. 10 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形任意两边之和大于第三边，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 设较短的边长为，则较长的边为，分两种情况：当较短的边为底边，较长的边为腰时；当较长的边为底边，较短的边为腰时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：设较短的边长为，则较长的边为， 当较短的边为底边，较长的边为腰时，则， 解得：， 此时三角形三边长分别为，，，能组成三角形； 当较长的边为底边，较短的边为腰时，则， 解得：， 此时三角形三边长分别为，，， ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，腰长为， 故选：D． 9. 如图，正方形的边长为3，E为边上一点，．将正方形沿折叠，使点A恰好与点E重合，连接，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交于点，交于点，由勾股定理得，再证明，可得，再求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 可得四边形是矩形， ， 正方形的边长为3，， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 10. 如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，根据线段的和差得到CP=BQ，过P作PD∥BC交AQ于D，根据相似三角形的性质得到①正确；过B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形的性质得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到③正确；以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC， ∵AP=CQ， ∴CP=BQ， ∵PC=2AP， ∴BQ=2CQ， 如图，过P作PD∥BC交AQ于D， ∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ， ∴，， ∴CQ=3PD， ∴BQ=6PD， ∴BO=6OP；故①正确； 过B作BE⊥AC于E， 则CE=AC=4， ∵∠C=60°， ∴BE=4， ∴PE==1， ∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误； 在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°， 在△ABP与△CAQ中， ， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）， ∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ， ∵∠APO=∠BPA， ∴△APO∽△BPA， ∴， ∴AP2=OP•PB， ∴AP2=OP•AQ．故③正确； 以AB为边作等边三角形NAB，连接CN， ∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB， ∵∠PBA=∠QAC， ∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA =60°+∠BAQ+60°+∠QAC =120°+∠BAC =180°， ∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M， 设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值， ∵NA=NB，CA=CB， ∴CN垂直平分AB， ∴∠MAD=∠ACM=30°， ∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°， 在Rt△MAC中，AC=3， ∴MA=AC•tan∠ACM=，CM=2AM=2， ∴MO′=MA=， 即CO的最小值为，故④正确． 综上：正确的有①③④． 故选：A． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键． 11. 如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D为BC边上一点，CD＝1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 2﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，根据二次函数的性质，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， 设， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，从而有最大值，即有最大值， 解得，，其中不符合题意舍去， ． 当最大时的长为． 故选：． 【点睛】本题属于综合题，是选择题的压轴题，考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是掌握二次函数最值的问题． 12. 二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A. ①④⑤ B. ②③④ C. ②④⑤⑥ D. ②④⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化． ①，把直接分母有理化即可判断． 把和分别分母有理化比较大小即可． 把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果． ④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断． ⑤先化简成和两个式子，把两个式子相加即可求出，再判断即可． ⑥分别把x和y分母有理化，求出和的值，代入，求出，再求出的值即可． 【详解】解：①若a是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意． ②∵，，， ∴， 故②正确，符合题意． ③ ． 故③错误，不符合题意． ④， ， ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确． ⑤∵， ∴， ∴， 同理，两式相加得，， ∴． 故⑤正确． ⑥， ， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故⑥正确． 综上所述：正确的有②④⑤⑥． 故选：C． 二、填空题（共4题） 13. 若，则的值为 ____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数，先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ． 故答案为：8． 14. 在中，，，，是边上的中线，则的长为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据，即可求得答案． 【详解】如图所示，根据勾股定理可得 ． ∵是边上的中线， ∴． 故答案为： 15. 如图，过点A的直线轴，点B在x轴的正半轴上，平分交于点， 则A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形等，利用数形结合的思想解决问题是关键．令直线与轴的交点为，根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，进而推出，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，令直线与轴的交点为， 直线轴， ， 平分， ， ， ， ， ，， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， A的坐标是， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长DE，交AB于点H，确定点B关于直线DE的对称点F，由点B，D关于直线AC对称可知QD=QB，求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值.连接BD，即可求出CO，EO，再说明，可得DO，根据勾股定理求出DE，然后证明，可求BH，即可得出答案． 【详解】延长DE，交AB于点H， ∵，ED⊥CD， ∴DH⊥AB． 取FH=BH， ∴点P的对称点在EF上． 由点B，D关于直线AC对称， ∴QD=QB． 要求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值BF． 连接BD，与AC交于点O． ∵AE=14,CE=18， ∴AC=32， ∴CO=16，EO=2． ∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°， ∴∠DEO=∠CDO． ∵∠EOD=∠DOC， ∴ ， ∴， 即， 解得， ∴． 在Rt△DEO中，． ∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键． 三、解答题（共8题） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方式展开，再进行根式的加减运算即可求出答案． （2）先将进行因式分解和括号内的通分运算，再将除法变为乘法即可化简，将代入化简后的分式即可求值． 【详解】（1）原式． ． ． （2）原式． ． ． ． 当时，原式． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和分式的化简求值，掌握各运算的运算顺序和方法是解答本题的关键． 18. 已知：四边形中，，，，，： （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）5 （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练准确掌握两个定理的应用． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，面积和即为四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中， ，， ， 根据勾股定理得，． ∴的长为5． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ， 是直角三角形，且， ． ∴四边形的面积为36． 19. 如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形． （1）建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．此时，点的坐标为 （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如图， （2）直角三角形， 理由：由勾股定理得，， ∴ ∴是直角三角形，且． 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形： （1）根据题意建立平面直角坐标系，然后写出点C的坐标即可； （2）求出三角形各边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在四边形中，，，垂足为O，过点D作的垂线交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由，，得证，从而结论得证； （2）设，，求证，得，于是，求解，进而求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，设，， 在平行四边形中，，， ∴， ∵,， ∴， ∴， 即，解得（舍弃）或， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 21. 我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． （2）若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 【答案】（1）, （2） 解： 与是关于1的平衡数， ． ． 将②代入①，， ， 整理得． ， 代入②得，． 综上，当，时，与是关于1的平衡数． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）对式子进行化简，得到、的关系，再联立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：，， 解得，． 故答案为，． 【小问2详解】 略 22. 《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？ 【答案】绳索长为尺 【解析】 【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长． 【详解】设绳索长为x尺 ∴根据题意得： 解得． ∴绳索长为尺． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数． 【答案】 （1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）． （2）如图2中，△ABC即为所求（答案不唯一）． （3）如图3中，△ACB即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）作出边长分别为3，4，5的三角形即可． （2）根据要求作出图形即可． （3）根据要求作出图形即可． 【详解】解：（1）略； （2）略； （3）略． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 24. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知： ∴_____； ∴_____，得证． （2）应用勾股定理 ①应用一：在数轴上画出表示无理数的点 如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____； ②应用二：最短路径问题 如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____； ③应用三：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1）， （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）结合图形可知得到； （2）应用场景1：①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可；②首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可；③设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：由等面积法知： ∴， ∴，得证． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①在中， ∵， ∴， ∴点E表示的数是， 故答案为：； ②连接， ∵圆柱的底面半径为， ∴， 在中，， ， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：； ③∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得． 解得：． 答：绳索的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $