第3章 整式及其加减（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册优选题练习卷（2024新教材）

2025-2026学年北师大版数学七年级上册章节复习检测培优卷（2024新教材） 第3章 整式及其加减 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知，则代数式的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）轮船的静水速度为a千米/时，水速为3千米/时，轮船顺水行驶3小时与逆水行驶2小时的行程差是（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【思路引导】本题考查了航行问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，顺水速度与在静水中速度和水速的关系，逆水速度与在静水中速度和水速的关系，是解题的关键． 根据顺水速度与逆水速度的公式，分别计算顺水行驶3小时和逆水行驶2小时的路程，再求两者的差． 【规范解答】解：确定顺水速度和逆水速度： 顺水速度=静水速度+水速（千米/时）， 逆水速度=静水速度-水速（千米/时）． 计算顺水和逆水的路程： 顺水3小时的路程， 逆水2小时的路程． 求行程差： 行程差=顺水路程-逆水路程 ． 因此，行程差为千米． 故选D． 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）将边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有9个正方形……，按此规律摆放，第2025个图案中正方形的个数是（    ） A．4046 B．4047 C．4050 D．4053 【答案】D 【思路引导】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：第1个图案中有个正方形， 第2个图案中有个正方形， 第3个图案中有个正方形， ……， 第n个图案中有个正方形， ∴第2025个图案中正方形的个数是个， 故选：D． 4．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【规范解答】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期中）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有个正方形，图案④中有个正方形，…，按此规律排列下去，若图案ⓝ中有个正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个正方形是解题的关键． 根据图形变化的规律得出第个图形中有个正方形即可解答． 【规范解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，…，第n个图案中有个正方形， ∵第ⓝ个图案中正方形有个数， ∴，解得：， 故选：D． 6．（2025·云南西双版纳·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数字变化的规律，找到代数式的系数和指数规律是解题的关键．观察代数式的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【规范解答】解：第1个代数式是， 第2个代数式是， 第3个代数式是， 第4个代数式是， 第5个代数式是， …… 依此类推，第个代数式是． 故选：A． 7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知3个多项式分别为：，，，下列结论正确的个数是（ ） ①若整式的取值与x无关，则； ②的最小值为4； ③的最大值为4； ④关于的方程的解为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，非负整数的概念，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键，注意0是非负整数．分别代入多项式化简求解判断即可． 【规范解答】①： ， 由于整式的取值与x无关， 则，即， ，即， ，故①错误； ②： ， 当时，， 当时，， 当时，， 由此可知最小值为4，故②正确； ③： ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由此可知最大值为4，故③正确； ④：即， 化简得：， 当时， 解得：，不符合条件， 当时，， 解得：，符合条件， 当时，， 解得：，符合条件； 则的方程的解为或，故④错误； 综上，正确的为：②③，共2个． 故选：B． 8．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【思路引导】根据整式恒等式的性质即不含项问题解答判断，利用求代数式的值方法，自然数的性质解答即可． 本题考查了整式恒等式的性质即不含项问题，代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得，其中n，，，，，…，均为自然数． ①：由，得，，故，正确； ②：当且时，当或或或或 或或或或或共有10种组合，对应10个不同的整式，正确； ③：若为互不相同的自然数，且时，根据题意，最小自然数序列的和为，当时，和为；当时，最小和为， 故的最大值为63，③错误； 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：B． 9．（24-25七年级上·重庆永川·期末）在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”， 为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，……．下列说法中正确的个数为（    ） ①对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有4种不同运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【规范解答】解：对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算， 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果 ①正确； 对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算， 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或， 对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或， 综上共6种情况，4个结果分别是，，，， 共4种结果，故③正确； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②正确． 故选：D． 10．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）在多项式（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值化简可能得到的式子，称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行“绝对操作”，得到，…在第一轮“绝对操作”后的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，如：，…按此方法，进行第轮“绝对操作”． 以下说法： ①存在某种第一轮“绝对操作”的结果与原多项式相等； ②对原多项式进行第一轮“绝对操作”后，共有8种不同结果； ③存在第轮“绝对操作”，使得结果与原多项式的和为0． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题考查的是绝对值的含义，整式的加减运算，根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②，③，并将结果进行比较，汇总得出答案． 【规范解答】解：①∵， 对“绝对操作”为： ， 其结果与原多项式一样，所以①正确； ②∵， ∴对“绝对操作”为： （1）， 对“绝对操作”为： 或（2）， 对“绝对操作”为： ， 对“绝对操作”为： ， 对“绝对操作”为： （3）或（4）， 对“绝对操作”为： （5）， 对“绝对操作”为： （6）， 对“绝对操作”为： ， 对“绝对操作”为： ， 对“绝对操作”为： （7）， ∴结果有7种；故②不符合题意； ③先对“绝对操作”后可以得到， 再对刚刚式子进行“绝对操作”后得到， ∴， ∴③正确． 故选C 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴上点的位置比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减，先根据数轴得出，，进而化简绝对值，再根据整式的加减，进行计算即可求解． 【规范解答】解：根据数轴上点的位置得：， ∴，， ∴ 故答案为：． 12．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知式子的最大值是m，最小值是n，则式子 ． 【答案】26 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，化简绝对值，分，，和四种情况，分别化简绝对值求出的值，进而确定m、n的值即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，， 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 由上可得，的值为3或， ∴的最大值为3，最小值为，即， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形：再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形；…如此进行下去．利用上述图形，能得出 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，得出规律是解决这类问题的方法．此题注意结合图形的面积找到计算的方法：其中的面积和等于总面积减去剩下的面积．根据规律，各分割部分的和等于正方形的面积减去最后一次分割剩下的部分的面积，而每一次都是分割成相等的两个部分，根据此规律进行计算即可得解． 【规范解答】解：依题意：， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）定义：是不为1的有理数．我们把称为的差倒数，如2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……以此类推，的值是 ． 【答案】/0.8 【思路引导】本题考查了定义新运算，数字规律，根据差倒数的计算方法，分别求出值，找出规律即可求解． 【规范解答】解：根据题意，，，，，， ∴每三个循环一次， ∵， ∴的值为， 故答案为： ． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）在教材第92页阅读材料中介绍了有趣的“角谷猜想”问题“，角谷猜想”又称“科拉兹猜想”，是一颗数学明珠，“角谷猜想”是说任意一个正整数，如果它是偶数，就除以2；如果是奇数，就乘3再加1．若干次计算后得到的结果必然是1(结果为1时停止计算)，每一次计算称为一次变换，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了新定义问题数字规律题，考查了推理能力与计算能力．根据题意，逆向分析，由最后的结果1往前推，分析可得的最小值． 【规范解答】理解＂角谷猜想＂规则 对于任意一个正整数，如果它是偶数，就除以2；如果是奇数，就乘3再加1，若干次计算后得到的结果必然是1（结果为1时停止计算），每一次计算称为一次变换． 逆向分析求的最小值 因为要经过8次变换后得到1，我们从结果1往前推． 第8次变换后是1， 那么第7次变换后的数只能是2（因为）． 第6次变换后可能是，也可能是，但因为是正整数，所以舍去，只能是4． 第5次变换后可能是，也可能是，但如果是1，那么总共就只有5次变换了，不符合经过8次变换，所以舍去1，只能是8． 第4次变换后可能是，也可能是，舍去，只能是16． 第3次变换后可能是，也可能是． 第2次变换后： 如果第3次变换后是32，那么第2次变换后可能是，也可能是，舍去，只能是64．如果第3次变换后是5，那么第2次变换后可能是，也可能是，舍去，只能是10． 第1次变换后： 如果第2次变换后是64，那么第1次变换后可能是，也可能是． 如果第2次变换后是10，那么第1次变换后可能是，也可能是． 第1次变换前： 要使最小，所以的值为． 最后再验证一下： 步骤1：6是偶数，除以2， ， 步骤2：3是奇数，乘以3再加1， ， 步骤3：10是偶数，除以2， ， 步骤4：5是奇数，乘以3再加1， ， 步骤5：16是偶数，除以2， ， 步骤6:8是偶数，除以2， ， 步骤7：4是偶数，除以2， ， 步骤8：2是偶数，除以2， ， 经过以上步骤，我们可以看到6经过8次变换变为了1 故答案为6． 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，根据题意要求的的最小值，结合题意，得出，，进而根据，得出，或，，代入式子，即可求解． 【规范解答】解：∵且为非零整数 ∴， 要使得最小，则都为最小值， ∴ ∵，且最小，则 ∵ ∴ ∵，为整数，且最小，则都为负数， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    【答案】 【思路引导】本题主要考查了图形变化类，熟练掌握图形变化的规律，是解题的关键， 观察图形变化规律，每个图形三角形的数目都可以写成一边上三角形个数的平方，而图中小三角形边的数目可以写成行数和的3倍，据此计算边数． 【规范解答】第①个图形有个三角形，共有长度为a的线段3条， 第②个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条），第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第⑤个图形有个三角形，拼成大正方形边长为，共有长度为a的线段（条）， ……， 按此规律， 则第n个图形中三角形的个数：个三角形，图中共有长度为a的线段（条）． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）有依次排列的3个数：，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串： ，，若相继依次操作，则从数串：开始操作到第次时所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数字的变化规律，通过计算得到第n次操作后得到新数串的所有数之和的规律是解题的关键．设可得第n次操作后得到新数串的所有数之和是，当时，即为所求． 【规范解答】解：设， 第一次操作后得到新数串的所有数之和是：， 第二次操作后得到新数串的所有数之和是：， …， ∴第次操作后得到新数串的所有数之和是：， 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把x、y的值代入化简后的式子进行计算即可． 【规范解答】解： ， 当，时，原式． 20．（本题6分）（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知关于，的多项式；． (1)化简此多项式； (2)当，互为倒数时，求多项式的值． 【答案】(1) (2)10 【思路引导】本题考查了整式的加减中化简求值，倒数等知识，解题的关键是： （1）根据合并同类法则计算即可； （2）根据倒数的定义得出，然后整体代入计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：∵，互为倒数， ∴， ∴． 21．（本题8分）（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）计算 (1) (2) (3)已知：，， 化简： 若是的倒数的相反数，是最大的负整数，求的值． 【答案】(1)8 (2)1 (3) ；②． 【思路引导】本题有理数的混合运算和整式的加减运算，熟练掌握相关计算法则．是解答此题的关键． （1）利用有理数乘法分配律计算，即可求解． （2）先计算乘方，再计算乘除，然后计算减法，即可求解． （3）①把，代入，利用整式的加减计算即可； ②由是的倒数的相反数，是最大的负整数，得，，然后代入化简后的式子求解即可． 【规范解答】（1）解： （2） （3）解：① ∵，， ； ② 是的倒数的相反数，是最大的负整数， ∴，， ． 22．（本题8分）（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)52元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【思路引导】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据和当分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【规范解答】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费52元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：元； 当时，小明应付车费：元． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里， 小张付费y元，则小王付费元， 根据题意： 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， 行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 23．（本题8分）（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： (1)每本课本的厚度为___________，课桌的高度为___________； (2)若有一摞上述规格的课本x本，整齐地叠放在桌子上，则这一摞课本的顶部距离地面的高度___________；（用含x的代数式表示） (3)在（2）的条件下，当时，求课本的顶部距离地面的高度． 【答案】(1)，80 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查列代数式、代数式求值等知识点，准确找出文中各种量之间的关系是解题的关键． （1）求出高度差再除以3本书即可每本课本的厚度；用书和课桌的高度减去书的高度即可得到课桌的高度； （2）根据这一摞课本的顶部距离地面的高度等于课桌高度和书的高度之和，据此即可解答； （3）将代入（2）所得的代数式计算即可． 【规范解答】（1）解：每本课本的厚度为， 课桌的高度为：． 故答案为：，80． （2）解：这一摞课本的顶部距离地面的高度为． 故答案为：． （3）解：当时，． 答：课本的顶部距离地面的高度是． 24．（本题8分）（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）甲、乙两家体育用品商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价25元，羽毛球每盒定价10元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠是：每买一副羽毛球拍赠一盒羽毛球；乙店的优惠是：都按定价的8折出售．某班需购买羽毛球拍4副，羽毛球盒（不小于4）． (1)用代数式表示：若都在甲店购买共需付款多少元，若都在乙店购买共需付款多少元； (2)当购买羽毛球盒数为12盒时，你能设计出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元？ 【答案】(1)在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元； (2)先在甲店购买4副羽毛球拍，再到乙店购买8盒羽毛球，所需付款最少，最少为元． 【思路引导】（1）甲店需付费：4副羽毛球拍费用盒羽毛球费用；乙店需付费：（4副羽毛球拍费用盒羽毛球费用）0.8，列出代数式即可； （2）分三种方案讨论：方案1：在甲店购买，方案2：在乙店购买，方案3：先在甲店购买4副羽毛球拍，则赠送4盒羽毛球，再到乙店购买盒羽毛球，分别计算出三种方案所需费用，再比较大小，最后再做出决策． 【规范解答】（1）解：方案1：在甲店购买，需付款：元， 方案2：在乙店购买需付款：元； （2）解：当时， 方案1：在甲店购买，需付款（元）； 方案2：在乙店购买，需付款：（元）； 方案3：先在甲店购买4副羽毛球拍，则赠送4盒羽毛球，再到乙店购买盒羽毛球，需付款：（元）， ∵， ∴选择方案3更省钱，先在甲店购买4副羽毛球拍，再到乙店购买8盒羽毛球，所需付款最少，最少为元． 【考点剖析】本题考查了列代数式和代数式求值，以及设计方案问题，正确的列出代数式是解题的关键． 25．（本题10分）（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、6． (1)①点B和点C之间的距离是 个单位长度； ②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点A、B表示的数分别是 、 （用含m、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当m为何值时，的值不会随着时间的变化而改变，并求此时，的值． 【答案】(1)①10；②2或18 (2)①、；②当时，的值不会随着时间t的变化而改变，此时的值为38 【思路引导】本题主要考查了列代数式及数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （2）①根据数轴上的点所表示数的特征，用含m、t的代数式分别表示出运动后点A和点B表示的数即可；②根据题意，分别表示出和，再根据的值不会随着时间的变化而改变，得出此代数式的值与t的取值无关，据此求出m的值即可解决问题． 【规范解答】（1）解：①因为点B和点C表示的数分别是、6， 所以， 即点B和点C之间的距离是10个单位长度， 故答案为：10； ②因为点A和点B表示的数分别是、， 所以， 又因为C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍， 所以， 因为B点表示的数是， 设C点表示的数为或， 即C点表示的数应该是4或， 因为开始C点表示的数为6， 所以C向左移动2个单位或18个单位． 故答案为：2或18； （2）解：①因为点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，且运动时间为t秒， 所以运动后点A表示的数为：； 因为点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，且运动时间为t， 所以运动后点B表示的数为：， 故答案为：，； ②因为点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，且运动时间为t， 所以运动后点C表示的数为：， 则， ， 则 ． 因为的值不会随着时间的变化而改变， 所以， 解得， 此时， 所以当时，的值不会随着时间的变化而改变，此时． 26．（本题10分）（24-25七年级上·全国·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)表示有理数2点与表示有理数的点的距离是______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (3)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (4)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______． (5)若，，，，，求式子的最小值？ 【答案】(1)4 (2)1或 (3) (4)4 (5)54 【思路引导】（1）由题意中的两点间的距离公式即可求解； （2）由题意易得，然后求解即可； （3）由题意易得，然后化简绝对值即可； （4）由数轴可知，然后可得，，，则有，进而问题可求解； （5）由题意易得，然后根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小，进而问题可求解． 【规范解答】（1）解：表示有理数2点与表示有理数的点的距离是； 故答案为：4 （2）解：由题意得：， ∴， ∴或； 故答案为：1或 （3）解：由题意得：， ∴； 故答案为：； （4）解：由数轴可知：， ∵，，， ∴，，， ∴ ； 故答案为：4； （5）解：∵，，，，， ∴ ， 根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小； ∴当时，则原式，此时当时，有最小值95； 当时，则原式，此时当时，有最小值59； 当时，则原式，此时当时，有最小值54； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 综上所述：当时，式子的最小值为54； 故答案为：54． 【考点剖析】本题主要考查数轴上的动点问题、整式的加减运算及有理数的加减运算，熟练掌握各个运算及数轴上的动点问题是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版数学七年级上册章节复习检测培优卷（2024新教材） 第3章 整式及其加减 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知，则代数式的值为（    ） A． B．3 C． D．2 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）轮船的静水速度为a千米/时，水速为3千米/时，轮船顺水行驶3小时与逆水行驶2小时的行程差是（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）将边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有9个正方形……，按此规律摆放，第2025个图案中正方形的个数是（    ） A．4046 B．4047 C．4050 D．4053 4．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 5．（24-25七年级下·福建泉州·期中）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有个正方形，图案④中有个正方形，…，按此规律排列下去，若图案ⓝ中有个正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南西双版纳·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知3个多项式分别为：，，，下列结论正确的个数是（ ） ①若整式的取值与x无关，则； ②的最小值为4； ③的最大值为4； ④关于的方程的解为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．（24-25七年级上·重庆永川·期末）在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”， 为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，……．下列说法中正确的个数为（    ） ①对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有4种不同运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 10．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）在多项式（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值化简可能得到的式子，称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行“绝对操作”，得到，…在第一轮“绝对操作”后的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，如：，…按此方法，进行第轮“绝对操作”． 以下说法： ①存在某种第一轮“绝对操作”的结果与原多项式相等； ②对原多项式进行第一轮“绝对操作”后，共有8种不同结果； ③存在第轮“绝对操作”，使得结果与原多项式的和为0． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 12．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知式子的最大值是m，最小值是n，则式子 ． 13．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形：再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形；…如此进行下去．利用上述图形，能得出 ． 14．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）定义：是不为1的有理数．我们把称为的差倒数，如2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……以此类推，的值是 ． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）在教材第92页阅读材料中介绍了有趣的“角谷猜想”问题“，角谷猜想”又称“科拉兹猜想”，是一颗数学明珠，“角谷猜想”是说任意一个正整数，如果它是偶数，就除以2；如果是奇数，就乘3再加1．若干次计算后得到的结果必然是1(结果为1时停止计算)，每一次计算称为一次变换，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为 ． 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ． 17．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    18．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）有依次排列的3个数：，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串： ，，若相继依次操作，则从数串：开始操作到第次时所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 20．（本题6分）（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知关于，的多项式；． (1)化简此多项式； (2)当，互为倒数时，求多项式的值． 21．（本题8分）（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）计算 (1) (2) (3)已知：，， 化简： 若是的倒数的相反数，是最大的负整数，求的值． 22．（本题8分）（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 23．（本题8分）（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： (1)每本课本的厚度为___________，课桌的高度为___________； (2)若有一摞上述规格的课本x本，整齐地叠放在桌子上，则这一摞课本的顶部距离地面的高度___________；（用含x的代数式表示） (3)在（2）的条件下，当时，求课本的顶部距离地面的高度． 24．（本题8分）（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）甲、乙两家体育用品商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价25元，羽毛球每盒定价10元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠是：每买一副羽毛球拍赠一盒羽毛球；乙店的优惠是：都按定价的8折出售．某班需购买羽毛球拍4副，羽毛球盒（不小于4）． (1)用代数式表示：若都在甲店购买共需付款多少元，若都在乙店购买共需付款多少元； (2)当购买羽毛球盒数为12盒时，你能设计出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元？ 25．（本题10分）（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、6． (1)①点B和点C之间的距离是 个单位长度； ②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点A、B表示的数分别是 、 （用含m、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当m为何值时，的值不会随着时间的变化而改变，并求此时，的值． 26．（本题10分）（24-25七年级上·全国·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)表示有理数2点与表示有理数的点的距离是______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (3)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (4)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______． (5)若，，，，，求式子的最小值？ 第 1 页 共 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