专题3.3 探索与表达规律（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题3.3 探索与表达规律 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：数字序列规律 1 知识点梳理02：图形/图案规律 2 知识点梳理03：日历规律 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：数列类规律探究 3 考点2：图形排列类规律探究 4 考点3：新定义运算类规律探究 8 考点4：日历日期类规律探究 13 考点5：表格类规律探究 16 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 29 知识点梳理01：数字序列规律 概念： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 ①核心方法 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 ②拆项法 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 知识点梳理02：图形/图案规律 1、基本性质 点阵（小圆点、小正方形排列）、火柴棒拼搭图形（搭三角形、正方形、小鱼等）。 核心问题： 求第 n 个图形中点的总数、火柴棒的根数、某种基本图形的个数（如三角形的个数）。 核心方法： 数形结合 & 列表： 画出或想象前几个图形 (n=1,2,3,4)，数出目标量（如火柴棒数 sₙ），列表记录序号 n 和 sₙ。 2、分析增量 观察相邻图形之间目标量的增加量是否有规律？增加量本身是否有规律？（例如，每次增加固定根数 -> 等差数列；每次增加量递增 -> 可能与 n 有关）。 3、分解图形结构 将第 n 个图形分解成不变的“底座”部分和随 n 变化的“增长”部分，或者分解成若干种基本单元。 ①（火柴棒三角形）： 第 n 个三角形可以看作由 n 行组成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，则总根数 sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。 ②（火柴棒正方形）： 第 n 个正方形可能由 n x n 个小正方形组成，需要分析横放和竖放火柴棒的数量规律。 ③（点阵）： 点阵可能按矩形 (n x m)、三角形、或者特定形状排列，分析行数、列数与 n 的关系。 寻找与序号 n 的关系： 基于列表或结构分析，尝试将 sₙ 表达为 n 的代数式（一次、二次等）。 知识点梳理03：日历规律 1、基本概念 在给定的日历表中（通常给出局部），探索方框圈定的若干数字（如 3x3 九宫格、2x2 方块、一行、一列、对角线）之间的关系。 核心方法： 设定中心/起点： 用字母（如 a）表示关键位置（如中心数、左上角数）。2、利用等差关系 日历中横行相邻数差 1，竖列相邻数差 7（一周天数）。这是最核心的规律！ 代数表示其他位置： 用含 a 的式子表示方框中其他位置的数。 3、运算与化简 对方框内所有数进行求和、求积或比较特定位置数的差/和，将表达式化简，观察结果（往往是常数或与 a 无关的简单式子）。 得出结论： 如“九宫格中9个数的和等于中心数的9倍”，“2x2 方框中对角线和相等”。 考点1：数列类规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一列数3，8，13，18，23，28，⋯，依此规律下去，猜想第个数 （用含的式子表示），第2006个数是 ． 【答案】 10028 【思路引导】此题考查数字的变化规律，代数式求值，找出y与之间的联系，得出规律，即可解答． 【规范解答】解：数字的序号为，其值为，由已知得 ；；；； ……… 仔细观察发现，序号每增加1，值就增加5，与第1个数相比，第个数应增加，∴第个数应为，即， 当时，． 故答案为：，10028． 【变式训练1】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）观察下列两行数： 3，5，7，9，11，13，15，17，19，… 4，7，10，13，16，19，22，25，… 探究发现：第1个相同的数是7，第2个相同的数是13，…，则第100个相同的数是 ． 【答案】601 【思路引导】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，列出方程是解题关键． 根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，数列中，的第项是数列，第项，然后得出第个相同的数是，从而解答即可． 【规范解答】解：由题目中的数据可知， 第一行是一些连续的奇数，规律为， 第二行数列，从第2项起，每一项都比前一项大 3 ，规律为， 两个数列中相同的数组成新数列为：， 新数列是第二行数列的偶数项第 2 项，第 4 项，第 6 项，，组成， ∴第个相同的数是， ∴第100个相同的数是， 则第100个相同的数是601， 故答案为：601． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数S是多少？当时，S各是多少？ 【答案】当时，；当时，；当时，． 【思路引导】本题考查了图形类规律问题，解题的关键是观察三角形的图案，得到规律，，进行解答即可． 【规范解答】解：由图形可知，当时，； 当时，； 当时，； ， ∴， 当时，， 当时，， 当时，． 考点2：图形排列类规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小明用边长为的小正方形纸片在桌面上摆放成如图所示的塔状图．第n（n是正整数）个塔状图的周长为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查图形的变化规律，代数式．根据题意分别求出前三次所摆图形周长，观察并得出规律进行分析求解即可． 【规范解答】解：第一次所摆图形周长是； 第二次所摆图形的周长是； 第三次所摆图形的周长是； … 第n次所摆图形的周长是． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，按照图形变化的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是（   ） A．1012 B．1013 C．3036 D．3038 【答案】D 【思路引导】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是解题的关键． 仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案． 【规范解答】解：根据图形变化规律可知： 第1个图形中黑色正方形的数量为2， 第2个图形中黑色正方形的数量为3， 第3个图形中黑色正方形的数量为5， 第4个图形中黑色正方形的数量为6， 第5个图形中黑色正方形的数量为8， ．．．， 当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个； 当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为个， 当时，． 故选：D． 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解： 【变式训练3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】（1）根据题意填表即可． （2）原正方形分成各个小长方形的面积之和为，由即可得出的值． 本题主要考查了有理数乘方的应用，列代数式，一元一次方程的应用，面积等知识． 【规范解答】（1）解：解：上表填写如下： 进行的次数 1 2 3 剩下图形的面积 故答案为：，，． （2）解：原正方形分成各个小长方形的面积之和为， ∴， 则， 故答案为：． 考点3：新定义运算类规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【规范解答】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东茂名·期末）我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【规范解答】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号________，异号________，并把绝对值________．特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算；都得________； ②计算：________； ③若，则________，________； (2)化简：． 【答案】(1)①得正；得负；相加；这个数的绝对值；②；③1；3 (2)当时，；当时， ；当时，． 【思路引导】本题考查了新运算，有理数的加法，整式的加减运算，归纳出新运算的运算法则并灵活应用是解题的关键． （1）①根据题中的算式归纳即可得运算法则； ②按照①中归纳的运算法则计算即可； ③两个数运算得0知，这两个数都为0，由此即可求得a与b的值； （2）分、、三种情况计算即可． 【规范解答】（1）解：①由题中算式计算归纳得：两数进行“※（加乘）”运算，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算；都得这个数的绝对值； 故答案为：得正；得负；相加；这个数的绝对值； ②； 故答案为：； ③因为， 所以， 所以； 故答案为：1；3； （2）解：当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上，当时，；当时， ；当时，． 【变式训练3】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于x的多项式，把x等于某数n时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【思路引导】本题考查了已知字母的值 ，求代数式的值，将各选项中的值代入多项式，逐一计算对应的值，判断是否与选项中的结果一致，即可求解； 【规范解答】解：A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：计算，正确； 故选：ACD 【变式训练4】（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律．计算出时前8次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【规范解答】解：若， 第1次结果为：3， 第2次结果是：10， 第3次结果为：5， 第4次结果为：16， 第5次结果为：1， 第6次结果为：4， 第7次结果为：1， 第8次结果为：4， … 可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现， 且当次数为奇数时，结果是1；次数是偶数时，结果是4， 而2025次是奇数，因此最后结果是1． 故选：A． 考点4：日历日期类规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·四川眉山·期中）小王同学在某月的日历上用如图所示的“十”字型套色方框圈出了5个数，则这5个数的和可能是（   ） A．72 B．115 C．132 D．145 【答案】B 【思路引导】本题主要考查日历数的排列规律与倍数应用，熟练掌握“同一列相邻数差、同一行相邻数差”规律，通过设中间数表示五数和（和为的倍数 ），结合数在日历中的存在性判断是解题关键．设“十”字框中间数为，依据日历数的排列规律（同一列相邻数差、同一行相邻数差 ）表示出其余四个数，求出五数和的表达式，再结合和的倍数特征与日历中数的存在性判断选项． 【规范解答】解：设“十”字框中间的数为．则上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为． ∴这五个数的和为， ，不是的倍数，不符合，排除； ，是的倍数．此时中间数，在日历中，位于第四行第四列，上面数、下面数、左边数、右边数，均在日历范围内，可构成“十”字框，符合条件； ，不是的倍数，不符合，排除； ，是的倍数，但位于第五行第二列，下面无对应数（日历最大数为，超出范围 ），无法构成“十”字框，排除． 综上，这个数的和可能是， 故选： ． 【变式训练1】（24-25七年级上·山西·期中）如图是2024年11月份的日历，小颖在其中画一个的方框，框住四个数，若设右上角的数字为x，则下列说法正确的是（     ）          A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中四个位置的数相加结果是4的倍数 【答案】D 【思路引导】此题考查了列代数式和整式的加减运算，数字的变化规律，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据右上角的数字为，可知右上角的数字比左上角的数字大，左下角的数字比右上角的数字大，右下角的数字比右上角的数字大，由此即可作判断． 【规范解答】解：A．左上角的数字为，故此项不正确； B．左下角的数字为，故此项不正确； C．右下角的数字为，故此项不正确； D．方框中个位置的数相加，结果是的倍数，故此项正确． 故选：D． 【变式训练2】某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历 (1)用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为______，______． (2)用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形． (3)用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得？如果存在就求出来，不存在说明理由． (4)第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3)存在，，，， (4)不能，证明见解析 【思路引导】（1）根据日历中数字规律列式计算即可； （2）根据日历中数字规律画图即可； （3）根据，，，得出，求出，再求出其他三个数的值即可； （4）求出共翻动的次数为，根据要使一个铁片翻面，需要1次、3次，5次，……奇数次，根据奇数偶数，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：长方形中中间数为a，上下两数分别为，， ∴3个数的和为， 正方形中中间数为a，那么左右两数分别为，， 根据以上规律左边三个数的和为；中间三个数的和为；右边三个数的和为， ∴9个数的和为； 故答案为：，． （2）解：如图所示：    ∵，，，， 5个数的和为：； （3）解：存在， ∵，，， ∴， 解得：， ∴，，． （4）解：不能； 共翻动了（次），是偶数次， 而要使一个铁片翻面，需要1次、3次，5次，……奇数次， 需要翻动的总次数是，奇数奇数次， 奇数偶数， 所以不能． 【考点剖析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出代数式，熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． 考点5：表格类规律探究 【典例精讲】．（24-25七年级下·全国·假期作业）表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中 ， ． 【答案】 18 30 【思路引导】本题主要考查了数字规律，从表格中发现数字的排列规律是解题的关键。 从表格已有数据分析可得：每一列上下两个数字的差相等，第1列上下两个数字相差1，第2列上下两个数字相差2，第3列上下两个数字相差3．每一行左右两个数字的差相等，第1行左右两个数字相差1，第2行左右两个数字相差2，第3行左右两个数字相差3．右边一列数字的差比左边一列数字的差大1，根据规律，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴从表1中可以发现：表二截取的是其中的一列：上下两个数字相差3，所以15增加3是18，a是18． ∵， 从表1中可以发现：表三截取的是两行两列的相邻的四个数字，左边一列数字的差是5，右边一列数字的差是， ∴b是30． 故答案为：18，30． 【变式训练1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3，是一个“幻方”，则 ． 【答案】 每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等 【思路引导】此题考查了数字规律，有理数的加法，弄清题意是解本题的关键．计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可回答结果；根据题意确定出“幻方”需要的条件，即可确定出b的值． 【规范解答】解：观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等； ∵， ∴， 即． 故答案为：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等， 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合与实践【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如图①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是_____． 【模型迁移】 （2）图②是显示部分式子的幻方，用含b的式子表示a． （3）图③是显示部分式子的幻方，求x的值． 【答案】（1）15；（2）；（3）15 【思路引导】本题主要考查了列代数式及整式的加减，解题关键是理解幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． （1）先求出这几个数的和，再把它平均分成3份，求出每份即可； （2）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于，的等式，并把用含的式子表示即可； （3）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于的等式，求出，再列出含有和的等式，求出即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：， 这个和是15， 故答案为：15； （2）由题意得： ， ， ； （3）由题意得： ， ， ， ， ， ， ． 1．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 2．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【思路引导】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解． 【规范解答】解：∵， ∴，，，，…….； 由此可得规律为按2、、、四个数字一循环， ∵， ∴； 故选A． 【考点剖析】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律． 3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到 ．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）    【答案】/ 【思路引导】根据题意得出，进而即可求解． 【规范解答】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键． 4．（2023·湖北随州·中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题： 设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮” 的灯共有多少盏？ 几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律： 乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】10 【思路引导】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解． 【规范解答】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”； 因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态； 故答案为：10． 【考点剖析】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键． 5．（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（    ）    A．14 B．20 C．23 D．26 【答案】B 【思路引导】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解. 【规范解答】解：因为第①个图案中有2个圆圈，； 第②个图案中有5个圆圈，； 第③个图案中有8个圆圈，； 第④个图案中有11个圆圈，； …， 所以第⑦个图案中圆圈的个数为； 故选：B. 【考点剖析】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键. 基础夯实 1．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了图象规律探索，理解序号与数量的关系是解题的关键．根据图的序号与图中数量的增加规律即可求解． 【规范解答】解：第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； … ∴第个图，数量是； 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子中的数为（　　） 2 a b c 3 … A．3 B． C．2 D．253 【答案】B 【思路引导】此题考查数字的变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出，，再根据第9个数是3可得，然后得出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2024除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． 【规范解答】解：由题意可知，， 解得：，， 数据从左到右依次为、、、、、、…… 第9个数是3， ， 每3个数“、、”为一个循环组依次循环， ， 第2024个格子中的数为， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2024个这样的小正方形需要小棒（　　） A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根 【答案】C 【思路引导】本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律． 通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 【规范解答】解：搭2个正方形需要根火柴棒； 搭3个正方形需要根火柴棒； ， 搭个这样的正方形需要根火柴棒， 搭2024个这样的正方形需要根火柴棒． 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示121的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律． 根据图中的数据，可知第几排有几个数，每排的数据奇数排从左到右是由小变大，每排的数据偶数排从左到右是由大变小，由此可以判断121所在的位置． 【规范解答】解：由题意可得，第排有个数，每排的数据奇数排从左到右是由小变大，每排的数据偶数排从左到右是由大变小，则前排有个数， 当时，则前 15排有120个数， 当时，则前 16排有136个数， ， ∴121在第 16排， ∵偶数排从左到右是由大变小， ∴121所对应的有序数对是， 故选：D． 5．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（图形找规律）下图都是用边长1厘米的正方形摆成的．照这样的规律摆下去，第个图形的周长是 厘米，面积是 平方厘米．（图中依次是1个正方形，3个正方形堆叠，5个正方形堆叠 ） 【答案】 【思路引导】本题考查图形规律的探索，分析图形找到变化规律是解决问题的关键．观察图形找到周长与面积的变化规律即可求解． 【规范解答】周长：观察图形，前4个图形周长分别为4，，，，每一个图形周长比前一个图形周长增加，则第10个图形周长为， 故答案为：； 面积：观察规律，每个图形中小正方形个数是图形序号的数字， ∵每个正方形面积为，则第个图形面积为． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第5个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含字母的式子表示） 【答案】 16 【思路引导】本题考查图形的规律，代数式，理解图形是解题的关键． 根据每个图形的黑色瓷砖增幅相等，都是3，可以猜测第n个图形黑色瓷砖是块，然后代入验证即可． 【规范解答】解：第一个图形∶黑色瓷砖是（块）； 第二个图形∶黑色瓷砖是（块）； 第三个图形∶黑色瓷砖是（块）； …… ∴第n个图形∶黑色瓷砖是块； 当时，（块）． 故答案为∶16； ． 7．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（图形找规律）如图，第1个数是1，第2个数是8，第3个数是27，……，按照图形与数的排列规律，第5个数应是( )，第n个数是( )． 【答案】 125 【思路引导】本题考查了图形类规律探索，观察发现，每个数都是个数的3次方，由此解答即可，正确得出规律是解此题的关键． 【规范解答】解：∵第1个数是，第2个数是，第3个数是，……， ∴按照图形与数的排列规律，第5个数应是，第n个数是， 故答案为：125，． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一组数：，…． (1)你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用文字描述这组数可能的排列规律． (2)根据（1）中的规律，用代数式表示第n个数． 【答案】(1)每个数都是序号的5倍 (2) 【思路引导】本题考查了数字的变化规律、列代数式，解决本题的关键是找出数字变化的规律． （1）根据数字的变化规律即可求解． （2）根据数字的变化规律即可写出代数式． 【规范解答】（1）解：∵…． 由此可得到：每个数都是序号的5倍； （2）解：由（1）得第n个数为：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．按照这样的规律，第4个图案中有多少个涂色的小正方形？第n个图案呢？ 【答案】；． 【思路引导】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂色的小正方形，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第1个图案有5个涂色的小正方形， 第2个图案有个涂色的小正方形， 第3个图案有个涂色的小正方形， ……， 以此类推，可知，第n个图形有个小正方形， ∴第4个图案中有个涂色的小正方形． 10．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 【答案】（1）①；②；③；；（2）；（3）；（4）；（5） 【思路引导】本题考查图形的变化规律， （1）①数出图①中黑色小正方形的个数即可； ②数出图②中黑色小正方形的个数即可； ③结合①、②的等式即可得出结果； （2）结合①、②、③等式右边的形式猜想出结果即可； （3）结合（1）和（2）可得结论； （4）利用（3）的结论进行计算即可； （5）将转化为，再利用（3）的结论进行计算即可， 找出规律并利用规律解决问题是解题的关键． 【规范解答】解：（1）①从图①中可以得到：，因此图①中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ③从图③中可以得到：，因此图③中共有个黑色小正方形， 故答案为：；； （2）∵图①中黑色小正方形的个数为：（个）， 图②中黑色小正方形的个数为：（个）， 图③中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， 图④中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， …… 由此可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）由（1）和 （2）可知：， 故答案为：； （4）； （5） ． 培优拔高 11．（24-25七年级上·重庆·期末）已知，其中为非负整数，均为正整数．规定：，整式的所有系数的和记作如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ①； ②若，则所有满足条件的整式的和为； ③若，则所有满足条件的整式有6个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了整式的加法运算，熟练掌握整式的加法运算是解题的关键． 由题意知，即可判定①；先说明，再结合可知，得或，然后求出满足条件的，然后求和即可判断；由，然后分四种情况，分别求出符合条件的，然后统计即可解答． 【规范解答】解：①由题意得：，故①错误； ②由题意得：， ， ， ， 或， 或， ∴所有满足条件的整式的和为，故②正确； ③∵， ∴当时，， ∴，即； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ， ， ， 为非负整数，为正整数， 或或， 或或， 当时，， ， ， ， ∵为正整数， ， ； 当时，， ， ， ， ∵为非负整数，为正整数， ∴此时不满足要求． ∴所有满足条件的整式有 6 个，即③正确． 正确的个数是2个． 故选：C． 12．（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式的运算，找出等式的规律是解题的关键．依据题意，得出规律为，将，代入，得出，先根据的整数次幂找到个位数字的规律，得出的个位数字是，即可求解． 【规范解答】解：由上面的规律可知：， 当，时，， ∴； ∵，，，，，，...， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 故选：C． 13．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【思路引导】此题考查了数字类的规律，正确理解题意，列出算式是解题的关键． 根据每次截取的长度都是前一次截取剩余长度的一半求出第1天到第5天截取的长度，再相加即可. 【规范解答】解：第1天截取的长度为米， 第2天截取的长度为米， 第3天截取的长度为米， 第4天截取的长度为米， 第5天截取的长度为米， 故第1天到第5天一共截取的长度为（米）． 故选：A 14．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过计算前几项找出循环规律是解题的关键．根据差倒数的定义依次求出前几项，找出循环规律，再根据循环周期计算的值． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴该数列以，，依次循环． ∵， ∴． 故选：A． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察图中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】此题考查图形的变化规律问题，观察可知，时，，n每增加一个数时，m就增加3个数，用代数式表示出来即可． 【规范解答】解：根据所给的具体数据，发现： ，，，…． 以此类推，第n个圈中，． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上，、P两点表示的数分别是1、2，、关于点O对称，、关于点P对称，、关于点O对称，、关于点P对称……依此规律，则点表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】木题考查了数字的规律，找出一般规律是解题的关键；由已知条件找出关于：，：，：，：，：，根据对称规律得、关于点O对称，即可求解． 【规范解答】解： ，P两点表示的数分别是1，2，、关于点O对称， 表示的数是， ，关于点P对称， 表示的数是， 同理可得：：，：，：，：，：， 根据对称规律得、关于点O对称， 点表示的数是， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，则第2024个图形需棋子 枚． 【答案】6073 【思路引导】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，第1个图形有4枚棋子，后一个图形比前一个图形多3枚棋子，得出规律，进而求出第2024个图形所需棋子数，即可． 【规范解答】解：观察图形可知，第1个图形有4枚棋子，后一个图形比前一个图形多3枚棋子， ∴第个图形有（枚）棋子， ∴第2024个图形需棋子（枚）； 故答案为：6073． 18．（24-25七年级上·河北唐山·期末）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……依此类推，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律及倒数，能根据题意得出大括号内的数字每三组循环一次及是第507个大括号内的第一个数是解题的关键．根据题意，先求出在第几组式子中，其次通过计算发现大括号内数的变化规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知，为， 则，，，， 所以为， 依此类推，为， 为， …， 所以大括号内的数字，每三组循环一次． 因为， 所以是第507个大括号内的第一个数， 又因为， 所以， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以写出所求式子相应的结果； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， 故答案为： （3）解： ． 20．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【思路引导】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3） ，然后求和即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 探索与表达规律 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：数字序列规律 1 知识点梳理02：图形/图案规律 2 知识点梳理03：日历规律 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：数列类规律探究 3 考点2：图形排列类规律探究 3 考点3：新定义运算类规律探究 5 考点4：日历日期类规律探究 6 考点5：表格类规律探究 7 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 13 知识点梳理01：数字序列规律 概念： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 ①核心方法 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 ②拆项法 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 知识点梳理02：图形/图案规律 1、基本性质 点阵（小圆点、小正方形排列）、火柴棒拼搭图形（搭三角形、正方形、小鱼等）。 核心问题： 求第 n 个图形中点的总数、火柴棒的根数、某种基本图形的个数（如三角形的个数）。 核心方法： 数形结合 & 列表： 画出或想象前几个图形 (n=1,2,3,4)，数出目标量（如火柴棒数 sₙ），列表记录序号 n 和 sₙ。 2、分析增量 观察相邻图形之间目标量的增加量是否有规律？增加量本身是否有规律？（例如，每次增加固定根数 -> 等差数列；每次增加量递增 -> 可能与 n 有关）。 3、分解图形结构 将第 n 个图形分解成不变的“底座”部分和随 n 变化的“增长”部分，或者分解成若干种基本单元。 ①（火柴棒三角形）： 第 n 个三角形可以看作由 n 行组成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，则总根数 sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。 ②（火柴棒正方形）： 第 n 个正方形可能由 n x n 个小正方形组成，需要分析横放和竖放火柴棒的数量规律。 ③（点阵）： 点阵可能按矩形 (n x m)、三角形、或者特定形状排列，分析行数、列数与 n 的关系。 寻找与序号 n 的关系： 基于列表或结构分析，尝试将 sₙ 表达为 n 的代数式（一次、二次等）。 知识点梳理03：日历规律 1、基本概念 在给定的日历表中（通常给出局部），探索方框圈定的若干数字（如 3x3 九宫格、2x2 方块、一行、一列、对角线）之间的关系。 核心方法： 设定中心/起点： 用字母（如 a）表示关键位置（如中心数、左上角数）。2、利用等差关系 日历中横行相邻数差 1，竖列相邻数差 7（一周天数）。这是最核心的规律！ 代数表示其他位置： 用含 a 的式子表示方框中其他位置的数。 3、运算与化简 对方框内所有数进行求和、求积或比较特定位置数的差/和，将表达式化简，观察结果（往往是常数或与 a 无关的简单式子）。 得出结论： 如“九宫格中9个数的和等于中心数的9倍”，“2x2 方框中对角线和相等”。 考点1：数列类规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一列数3，8，13，18，23，28，⋯，依此规律下去，猜想第个数 （用含的式子表示），第2006个数是 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）观察下列两行数： 3，5，7，9，11，13，15，17，19，… 4，7，10，13，16，19，22，25，… 探究发现：第1个相同的数是7，第2个相同的数是13，…，则第100个相同的数是 ． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数S是多少？当时，S各是多少？ 考点2：图形排列类规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小明用边长为的小正方形纸片在桌面上摆放成如图所示的塔状图．第n（n是正整数）个塔状图的周长为 （用含n的代数式表示）． 【变式训练1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，按照图形变化的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是（   ） A．1012 B．1013 C．3036 D．3038 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)计算的值． 【变式训练3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示） 考点3：新定义运算类规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东茂名·期末）我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【变式训练2】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号________，异号________，并把绝对值________．特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算；都得________； ②计算：________； ③若，则________，________； (2)化简：． 【变式训练3】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于x的多项式，把x等于某数n时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 考点4：日历日期类规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·四川眉山·期中）小王同学在某月的日历上用如图所示的“十”字型套色方框圈出了5个数，则这5个数的和可能是（   ） A．72 B．115 C．132 D．145 【变式训练1】（24-25七年级上·山西·期中）如图是2024年11月份的日历，小颖在其中画一个的方框，框住四个数，若设右上角的数字为x，则下列说法正确的是（     ）          A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中四个位置的数相加结果是4的倍数 【变式训练2】某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历 (1)用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为______，______． (2)用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形． (3)用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得？如果存在就求出来，不存在说明理由． (4)第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断． 考点5：表格类规律探究 【典例精讲】．（24-25七年级下·全国·假期作业）表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中 ， ． 【变式训练1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3，是一个“幻方”，则 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合与实践【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如图①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是_____． 【模型迁移】 （2）图②是显示部分式子的幻方，用含b的式子表示a． （3）图③是显示部分式子的幻方，求x的值． 1．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 2．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到 ．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）    4．（2023·湖北随州·中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题： 设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮” 的灯共有多少盏？ 几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律： 乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 5．（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（    ）    A．14 B．20 C．23 D．26 基础夯实 1．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子中的数为（　　） 2 a b c 3 … A．3 B． C．2 D．253 3．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2024个这样的小正方形需要小棒（　　） A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示121的有序数对是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（图形找规律）下图都是用边长1厘米的正方形摆成的．照这样的规律摆下去，第个图形的周长是 厘米，面积是 平方厘米．（图中依次是1个正方形，3个正方形堆叠，5个正方形堆叠 ） 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第5个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含字母的式子表示） 7．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（图形找规律）如图，第1个数是1，第2个数是8，第3个数是27，……，按照图形与数的排列规律，第5个数应是( )，第n个数是( )． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一组数：，…． (1)你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用文字描述这组数可能的排列规律． (2)根据（1）中的规律，用代数式表示第n个数． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．按照这样的规律，第4个图案中有多少个涂色的小正方形？第n个图案呢？ 10．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 培优拔高 11．（24-25七年级上·重庆·期末）已知，其中为非负整数，均为正整数．规定：，整式的所有系数的和记作如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ①； ②若，则所有满足条件的整式的和为； ③若，则所有满足条件的整式有6个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 14．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D．5 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察图中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则 （用含的代数式表示）． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上，、P两点表示的数分别是1、2，、关于点O对称，、关于点P对称，、关于点O对称，、关于点P对称……依此规律，则点表示的数是 ． 17．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，则第2024个图形需棋子 枚． 18．（24-25七年级上·河北唐山·期末）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……依此类推，则 ． 19．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 20．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$