专题3.2 整式的加减（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题3.2 整式的加减 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：同类项 1 知识点梳理02：合并同类项 2 知识点梳理03：去括号法则 2 知识点梳理04：添括号法则 2 知识点梳理05：整式的加减运算法则 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：同类项的判断 3 考点2：已知同类项求指数中字母或代数式的值 5 考点3：合并同类项 6 考点4：去括号 9 考点5：添括号 12 考点6：整式的加减运算 15 考点7：整式的加减中的化简求值 18 考点8：整式加减中的无关型问题 19 考点9：整式加减的应用 22 考点10：带有字母的绝对值化简问题 24 中考这你 实战演练 28 难度分层 拔尖冲刺 30 基础夯实 30 培优拔高 36 知识点梳理01：同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【名师点拨】 1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 知识点梳理02：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【名师点拨】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 知识点梳理03：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【名师点拨】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点梳理04：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【名师点拨】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 知识点梳理05：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【名师点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 考点1：同类项的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，这是淇淇同学完成的作业，她的试卷得分是（   ） 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）（每小题5分） ①的相反数是．（×） ②．（√） ③．（×） ④单项式的系数是，次数是3．（√） ⑤与不是同类项．（√） A．10分 B．15分 C．20分 D．25分 【答案】C 【思路引导】本题考查了相反数，去括号，乘方，单项式、同类项，掌握同相关定义是解题关键．根据相反数的定义，去括号法则，有理数的乘方运算法则，单项式的定义，同类项的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：①的相反数是，淇淇判断正确； ②，淇淇判断正确； ③，淇淇判断正确； ④单项式的系数是，次数是4，淇淇判断错误； ⑤与不是同类项，淇淇判断正确； 淇淇同学作对4道题， 她的试卷得分是分， 故选：C． 【变式训练1】24-25七年级上·江苏淮安·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有 种． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了同类项的概念，绝对值方程，有理数加法运算等知识点，准确理解“准同类项”的新定义并正确列出方程是解题的关键． 根据“准同类项”的新定义列出方程，解方程即可求出、的值，然后将、相加，即可得出所有可能的结果，于是得解． 【规范解答】解：由“准同类项”的定义可得： 或，或， 解得：、、，、、， 、、、、，共有种可能的结果， 故答案为：． 【变式训练2】（22-23七年级上·四川成都·期末）单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了同类项的定义，合并同类项，多项式的定义，先根据同类项的定义得出，再由项的系数是得出，求出的值，然后代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵单项式和是同类项， ∴， ∵关于的多项式中项的系数是， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 考点2：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）若与是同类项，求的值是 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查已知同类项，求参数的值，根据同类项的定义，得到，进而求出的值，再根据乘方法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式训练1】（24-25七年级上·甘肃平凉·阶段练习）若单项式与单项式的和是单项式，则的值为 ． 【答案】0 【思路引导】本题考查了合并同类项的知识，首先可判断单项式与单项式是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可． 【规范解答】解：∵单项式与单项式的和是单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：0． 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）先化简，再求值：已知与是同类项，求的值． 【答案】， 【思路引导】本题考查整式加减中的化简求值，熟知同类项的定义是解答的关键．先根据整式的加运算法则化简原式，再根据同类项的定义求得a、b值，然后代值求解即可． 【规范解答】解： ， ∵与是同类项， ∴， 解得，， 原式 ． 考点3：合并同类项 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 先去括号，再合并同类项，最后代数求值即可． 【规范解答】解： 将代入上式得， 原式． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（）根据有理数的加减运算法则和运算律计算即可； （）先算乘方和括号内的运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （）合并同类项即可； （）去括号再合并同类项即可； 本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，正确计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）由合并同类项我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请灵活运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，化简______； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，． ①将第一个方程与第二个方程相加可得______． ②求的值． 【答案】(1) (2)30 (3)①；② 【思路引导】本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． （1）根据题干的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，先求出的值，后整体代入计算代数式的值即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：， ， 的值为30； （3）①解：， ， 故答案为：； ②， ， ． 的值为13. 考点4：去括号 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）小明在化简：时，步骤如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)小明的计算过程中，开始出现错误的步骤是 （填序号） (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【思路引导】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）第①步，乘法分配律计算错误，去括号错了，符号变错了； （2）先去括号，再合并同类项进行化简，最后求值即可． 【规范解答】（1）解：第①步运算是乘法分配律计算错误及去括号，符号变错了， 故答案为：①； （2）解：原式 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·天津·期末）已知代数式，． (1)求 (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）把，整体代入，然后去括号，再合并同类项即可得出答案； （2）把，代入（1）得出的化简结果中求值即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：当，时， ． 【考点剖析】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，整式的加减运算，去括号，合并同类项，代数式求值，有理数四则混合运算等知识点，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则及有理数的四则混合运算法则是解题的关键． 【变式训练2】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c． (1)若． ①请将a、b、c填入括号内．    ②化简． ③若点X在数轴上表示的数为x，则有最小值__________． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；②；③； (2)2 【思路引导】（1）①根据，得到，故，根据数轴上靠近右边的数大于左边的数，填上即可．②根据，，判定，去绝对值化简计算即可．③根据两点之间线段最短，故当时，取得最小值，化简计算即可． （2）分两种情况计算． 【规范解答】（1）①∵， ∴， 故，填图如下：    ②∵，， ∴， ∴ ． ③∵， 根据两点之间线段最短， 故当时，有最小值， 且 ， 故答案为：． （2）当时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， 故不成立； 当时， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ． 【考点剖析】本题考查了绝对值的化简，数轴上有理数大小的比较，线段最短的应用，熟练掌握绝对值的化简，数的大小比较是解题的关键． 考点5：添括号 【典例精讲】（24-25七年级上·四川自贡·期中）有若干个数，第一个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第个数记为，若，则从第2个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，即． (1)分别求出的值； (2)计算：的值． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是根据题意总结出存在的规律． （1）根据题意代入相应的值进行运算即可； （2）分析（1）中的前几个数的特点，再进行求值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ， ， （2）由（1）可得，， ∴这列数是以，，这3个数循环出现， ∵，， ∴ 【变式训练1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法． 例如：若，求代数式的值． 我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)若当时，代数式 的值为2024，求当时，代数式的值． 【答案】(1)15 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查代数式的值，解题的关键是利用整体思想进行求值； （1）根据题意可把整体代入进行求值即可； （2）根据题意可得，然后整体代入求值即可； （3）由题意易得，然后根据整体思想可进行求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：当时，则有， 即， 当时，则有： ． 【变式训练2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若数对是“同心有理数对”，其中，则以下数对是“同心有理数对”的有________．（填序号）： ； ； ； (3)若数对是“同心有理数”，当为何值时，代数式为定值． 【答案】(1)不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由见详解 (2)③ (3) 【思路引导】本题主要考查了新定义，有理数的四则混合计算，整式加减中的无关型问题： （1）根据新定义，分别求出两数的差与两数的3倍减2的结果，进行比较，然后判断即可； （2）根据新定义可得，进而可得，， ，据此可得答案； （3）根据定义得到，再把所给多项式去括号后，合并同类项化简得到，进一步化简得到，再根据所给多项式的结果为定值得到，则． 【规范解答】（1）解：不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由如下： ，， ∴不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； （2）解：是“同心有理数对”， ． ，， ∴是“同心有理数对”， 不是“同心有理数对”， 不是“同心有理数对”， 故答案为：③； （3）解：是“同心有理数对”， ． ∴ ， ∵代数式为定值， ∴， ∴． 考点6：整式的加减运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查整式的加减，正确运用去括号法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并即可得到答案； （2）先去括号，再合并即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）先去括号，再合并同类项：； （4）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）21；（2）2；（3）；（4），40 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算以及化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先将除法转化成乘法，然后利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）先去括号，再合并同类项求解即可； （4）先去括号，再合并同类项，然后代数求解即可． 【规范解答】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ， ∵ ∴原式． 【变式训练2】（24-25七年级上·河南濮阳·阶段练习）阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如： ，M经过处理器得到； 【应用】若关于x的二次多项式M经过处理器得到N，根据以上方法，解决下列问题： （1）若 求 N． 【延伸】（2）已知 M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的一次多项式，且满足，求k的值． 【答案】（1）；（2）15 【思路引导】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，代数式求值，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． （1）根据题目所给的转化方法即可解答； （2）先根据二次多项式的定义，得出，再根据题目所给转化方法，得出以及，最后将的值代入进行计算即可． 【规范解答】解：（1）因为，所以； （2）因为是关于x的二次多项式， 所以，则， 因为N是M经过处理器得到的一次多项式，且， 所以，， 所以， 所以． 考点7：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】本题考查了整式的加减运算化简求值，先利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·山东日照·期末）已知含字母，的代数式是：． (1)化简这个代数式． (2)小明取 ， 互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于 ．那么小明所取的字母 的值等于多少？ (3)聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母 取一个固定的数，无论字母 取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母 的值是多少呢？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查整式加减中的无关型问题，正确的计算是关键： （1）去括号，合并同类项，化简即可； （2）根据互为倒数的两数之积为，得到，代入化简后的代数式，求出的值，进而求出的值即可； （3）根据题意，得到代数式的值与字母无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：由题意，得：，代入，得：， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴当，即：时，为定值； 故． 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，整式加减中的化简求值，掌握相应的运算法则、性质和运算顺序是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、绝对值，再计算乘法，最后进行加减运算； （2）先去括号，再合并同类项，然后将，代入化简后的式子计算即可； 【规范解答】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 考点8：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为． （） (1)求多项式； (2)已知，若的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是整式的加减运算，加减运算中不含某项的含义； （1）由题意可得，再计算即可； （2）先合并同类项得到，结合的结果中不含的一次项，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：由题意可得： ； （2）解：∵， ∴， ∵的结果中不含的一次项， ∴， 解得：. 【变式训练1】（24-25七年级上·河北保定·期末）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为．则乙同学给出、的值分别是______，______：（请直接写出、的值） (3)丙同学给出了、的一组数，使计算的最后结果与的取值无关，则丙同学给出、的值分别是______，______；（直接写出、的值） 【答案】(1) (2)； (3)6； 【思路引导】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，理解题意，正确的合并同类项是解本题的关键． （1）直接将a、b的值代入整式，然后再化简即可． （2）原整式与计算结果比较对应的二次项、一次项系数，即可求得a、b的值． （3）根据计算结果与x的取值无关可知，二次项与一次项的系数均为0，据此可求得a、b的值． 【规范解答】（1）解：将代入原整式： 故化简后的整式为：． （2）解： ， ∵最后计算的结果为， ∴， 解得：． （3）解：∵， 且计算结果与x的取值无关， ∴二次项与一次项系数均为0，即 解得：． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列四个说法：①如果大于，那么的倒数小于的倒数；②多项式的值与都无关；③已知，且，则的值等于；④若，则 ．其中正确的是 （填写序号） 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查整式的加减，倒数，有理数的大小比较方法，绝对值，代数式求值，熟练掌握知识点的应用．逐一分析判断，即可解答． 【规范解答】解：①当，时，，有，故该项错误； ② ，多项式的值与x，y都无关，故该项正确； ③∵， ∴， ∵， ∴或， 则或， ∴的值等于；故该项正确； ④∵， ∴， ∴，故该项正确． 故答案为：②③④． 考点9：整式加减的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准．新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下： 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 … (1)求的值； (2)若新鞋号为，旧鞋号为，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式及有理数的运算，发现规律是解题的关键． （1）根据表格数据观察得出规律求解，即可解题； （2）根据数据规律，写出、的关系式即可． 【规范解答】（1）解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加号，对应新鞋号增加号， ，， 即的值为； （2）解：由题意可知，， 即． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图与图两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．     (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 ；（填“图”或“图”） (2)已知图中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积； (3)已知图，图中裁去的小正方形边长分别为和，分别求出按图，图方式裁得的纸盒底面周长． 【答案】(1)图2 (2)做成的纸盒的体积为 (3)图1的底面周长为，图2的底面周长为 【思路引导】本题考查了认识立体图形的展开图，列代数式，整式的加减运算等知识，理解题意是解题关键． （1）根据长方形展开图的特征，判断即可； （2）根据长方形的体积公式求解即可； （3）根据展开图的特点分别求出图1的底面周长和图2的底面周长． 【规范解答】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2； （2）解：图1中裁去的小正方形边长为， 做成的纸盒的体积； （3）解：图1的底面周长为 ， 图2的底面周长为 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的八五折付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）． (1)若该客户按方案①购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． 若该客户按方案②购买，需付款多少元（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． (2)只能选择一种优惠方案，若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)，元；，元； (2)方案② 【思路引导】本题考查了整式加减的应用和代数式求值，解题的关键是认真分析题目并正确列出代数式． （1）根据两种方案①20套西装的价格加上超过20条部分的领带的价格就是应付款数；②西装的价格加上领带的价格和的，就是应付款数； （2）把代入代数式进行解答即可． 【规范解答】（1）解：方案①需付费为：元； 方案②需付费为：元； （2）解：当 时， 方案①需付款为： 元， 方案②需付款为：元， ， ∴选择方案②购买较为合算． 考点10：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用，， 填空：_____0，_____0，_____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)，，，； (2) 【思路引导】本题考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用． （1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解； （2）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，，且， ，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由数轴可知，，且， ∴，，， ∴ 【变式训练1】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)2或 (2)的值为1或； (3)的值为1或． 【思路引导】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断，同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断，，全负或，，两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断，，两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵，是有理数，当时， ∴，同号， 当，时， ， 当，时， ； 故答案为：2或； （2）解：∵ ∴，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ②当，，两正一负时， 不妨设，，，， 综上所述，的值为1或； （3）解：∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴，，两正一负， Ⅰ）当，，时，， Ⅱ）当，，时，， Ⅲ）当，，时， ∴的值为1或． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：表示a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．已知图①，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出的最小值为______；当______时，的最小值为______． (2)应用二：在图①中，若点A以3个单位长度/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒．点A表示的数为______：（用含t的式子表示）； 将数轴沿着点A折叠，若数轴上点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为12，M，C两点之间距离为4，且M，N两点沿着A点折叠后重合，则点M表示的数是______；点N表示的数是______；点C表示的数是______． (3)应用三：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依此类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段长度为______；应用这个原理，请计算：． 【答案】(1)，3，，8． (2)，，4，或． (3)；． 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点间的距离、绝对值的性质、整式的加减混合运算、折叠的性质等知识点，找出题目的规律是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可求得两点的距离；根据绝对值的几何意义可知：当x在表示数与1的两点及两点之间时的值最小，据此求解即可求得最小值；根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （2）先根据题意列代数式表示点A表示的数；设点M表示的数m，C表示的数为c，则N表示的数为：，根据折叠的性质可列式求得m，进而确定点M、N表示的数，再列绝对值方程求得点C表示的数； （3）第一次剪掉的长度是，剩下的长度是；第二次剪掉的长度是，剩下的长度是；第三次剪掉的长度是，以此类推，第n次剪掉的长度是，按此可求得剪掉5次后剩下线段的长度，并利用该原理求得的值即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：两点的距离可以表示为； 由题意，当时，|取最小值， 其最小值为：； 由题意，表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为8． 故答案为：，3，，8． （2）解：由题意可知：点A表示的数为； 设点M表示的数m，C表示的数为c，则N表示的数为：， ∵A在数轴上表示为，M，N两点沿着A点折叠后重合， ∴，解得：，则， ∴点M表示的数是，点N表示的数是4， ∵M，C两点之间距离为4， ∴，解得∶或． 故答案为：，，4，或． （3）解：第一次剪掉的长度是，剩下的长度是； 第二次剪掉的长度是，剩下的长度是； 第三次剪掉的长度是，剩下的长度是 以此类推，第n次剪掉的长度是，剩下的长度是； ∴当时，剩下的长度为， ∴ ． 故答案为：；． 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【规范解答】解： 故选：D． 2．（2020·贵州黔南·中考真题）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题关键．由题意知单项式与单项式是同类项，再根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，求出、，即可求解． 【规范解答】解：单项式与单项式的和仍是一个单项式， 和是同类项， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为 ． 【答案】2 【思路引导】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果. 【规范解答】解： 当时，原式， 故答案为：． 【考点剖析】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键. 4．（2023·四川宜宾·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据整式的加减计算即可． 【规范解答】A、，不符合题意； B、，符合题意； C、不是同类项，无法计算，不符合题意； D、，不是同类项，无法计算，不符合题意； 故选：B． 【考点剖析】本题考查了整式的加减，熟练掌握同类项的判定与合并是解题的关键． 5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ． 【答案】 【思路引导】设这个多项式为A，由题意得：，求解即可． 【规范解答】设这个多项式为A，由题意得：， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）有理数在数轴上所对应的点的位置如图，则化简代数式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查整式的加减，数轴，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【规范解答】解：． 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了去括号和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变． 直接利用去括号和合并同类项法则进而分别分析得出答案． 【规范解答】解：A、和无法合并，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如果关于x，y的两个单项式与的和是一个单项式，那么m，n的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据两单项式之和为单项式，得到两单项式为同类项，利用同类项的定义，即可求出m与n的值． 此题考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解本题的关键． 【规范解答】解：∵单项式与的和是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 解得：． 故选：B． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）下列合并同类项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项法则：把同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变，逐项判断即可． 【规范解答】解：A．和不是同类项不能合并，选项计算错误，故本选项不符合题意； B．，选项计算错误，故本选项不符合题意； C．，选项计算错误，故本选项不符合题意； D．，选项计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）不改变式子的值，将括号前的符号变成与其相反的符号： （1） ； （2） ． 【答案】 【思路引导】本题考查添括号的方法，根据括号前的符号变成与其相反的符号则括号里面每一项都变号求解即可． 【规范解答】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）大同市出租车收费标准起步价为7元，3千米后每千米的价格为1.6元，小明乘坐出租车走了x千米，则小明应付车费 元． 【答案】 【思路引导】本题考查了列代数式，正确理解出租车收费标准是解题关键．小明应付车费等于起步价与3千米后的费用之和，由此即可得． 【规范解答】解：由题意得：小明应付车费为（元）， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知、、的位置如图：则化简 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小以及加减运算，正确理解绝对值的意义和有理数的运算法则是本题的解题关键．根据题中数轴可得，据此可推出，再根据绝对值的性质去掉待求式的绝对值符号，合并同类项即可． 【规范解答】解：根据数轴可得， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． （1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可； （3）根据乘法分配律先去掉括号，然后合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知代数式，，，其中为常数，当时，；当时，（是常数，且）． (1)求的值； (2)关于的方程的解是，求的值； (3)当时，代数式的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，见解析 【思路引导】本题考查了代入法解方程及分式化简，正确代入已知条件并简化复杂式子是解题的关键．首先利用已知条件求出a和b的值， （1）通过代入时建立方程； （2）利用方程解的条件求k的值，进而化简代数式； （3）需判断当时分式的值是否为定值，需代入计算并分析结果是否与m有关． 【规范解答】（1）解：当，，移项得; （2）解：把代入， 得． 由，即，代入上式: ， 化简得． ; （3）解：是定值，理由如下： 当时，代数式 的值为 5， 即：， 又当 时，代数式 的值为 m（）， 即： 当 时，代数式 的值为：， 代数式 A 的值为： ， 由①得，代入：， 分母， ， 当时，代数式的值为． 10．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图1见2024年12月份的日历，小胡在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为__________；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则__________． 所以，（__________）__________． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择__________题． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 【答案】(1)0，0 (2)，，0 (3)A，的值均为0，见解析；B，的值均为，见解析 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）先计算括号，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）选A时，设，则，代入计算即可；选B时，设，则，，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：， 设中间的数为a，则，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：设，则． 所以，， 故答案为：；；； （3）选A．的值均为0；理由： 设，则， ； ∴的值均为0． 选B．的值均为；理由： 设，则， ， ∴的值均为． 培优拔高 11．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查正方体的展开图，整式加减的应用． 根据题意结合正方体的展开图确定哪个面和哪个面相对应是解题关键．根据相对面上的多项式的和相等，列出关于的算式进行计算即可． 【规范解答】解：根据相对面上的多项式的和相等可得： ． 故选：B． 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列三个结论中正确的个数是（   ） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，有理数的运算法则； 先根据数轴得出，，再根据有理数的运算法则及绝对值的性质化简即可． 【规范解答】解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴，， ∴①②③正确，正确的个数是3个， 故选：D． 13．（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知：关于x，y的多项式不含二次项，则的值是（   ） A．0 B．12 C． D．8 【答案】A 【思路引导】此题考查了整式的加减，利用多项式不含二次项得到二次项系数为0，据此列方程求出和的值，代入计算即可得到结果． 【规范解答】解：∵不含二次项， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 14．（24-25七年级上·山东聊城·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，根据数轴可以判断a，b，c的正负以及它们绝对值的大小，从而可以化简，解题的关键是根据数轴判断a，b，c的正负和绝对值的大小，将所求式子的绝对值符号去掉． 【规范解答】解：由数轴得，， ，， ∴． 故选：B． 15．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查绝对值化简，掌握绝对值的性质是正确解答的关键． 根据绝对值的性质以及、的符号进行解答即可． 【规范解答】解：， ，、异号， ， 当，时，，， ∴， 当，时，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图是2025年1月的月历，其中“”型，“”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的值是 ． 【答案】1或5 【思路引导】本题考查了整式加减的应用，设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，可得，，即可由得，然后根据，都是正整数以及日历的特征求解即可． 【规范解答】解：设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵，都是正整数， ∴，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），， ∴的值是1或5， 故答案为：1或5． 17．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A，B，求的值”，他误将“”看成了“”，结果求出的答案是，若已知，那么原来的值应该是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先根据整式的加减法则求出，再根据整式的加减计算即可得． 【规范解答】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)化简：； (2)若，到的距离是1个单位长度，、互为相反数，、互为倒数，求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减运算； （1）根据点在数轴的位置即可判断出，进而可化简绝对值，然后根据整式的加减运算法则对原式进行化简即可； （2）根据题意得到，然后整体代入求出代数式的值． 【规范解答】（1）解：∵根据数轴，得， ∴原式； （2）解：∵、互为相反数，、互为倒数， ∴， ∴． 19．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知：，． (1)化简； (2)若互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查整式的化简求值； （1）把整式代入，然后去括号，合并同类项解答即可； （2）把代入化简后的式子解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：由（1）得 ∵互为相反数，那么 ∴． 20．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【思路引导】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【规范解答】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 整式的加减 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：同类项 1 知识点梳理02：合并同类项 2 知识点梳理03：去括号法则 2 知识点梳理04：添括号法则 2 知识点梳理05：整式的加减运算法则 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：同类项的判断 3 考点2：已知同类项求指数中字母或代数式的值 4 考点3：合并同类项 4 考点4：去括号 5 考点5：添括号 6 考点6：整式的加减运算 8 考点7：整式的加减中的化简求值 9 考点8：整式加减中的无关型问题 10 考点9：整式加减的应用 11 考点10：带有字母的绝对值化简问题 13 中考这你 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 18 知识点梳理01：同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【名师点拨】 1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 知识点梳理02：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【名师点拨】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 知识点梳理03：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【名师点拨】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点梳理04：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【名师点拨】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 知识点梳理05：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【名师点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 考点1：同类项的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，这是淇淇同学完成的作业，她的试卷得分是（   ） 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）（每小题5分） ①的相反数是．（×） ②．（√） ③．（×） ④单项式的系数是，次数是3．（√） ⑤与不是同类项．（√） A．10分 B．15分 C．20分 D．25分 【变式训练1】24-25七年级上·江苏淮安·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有 种． 【变式训练2】（22-23七年级上·四川成都·期末）单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 考点2：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）若与是同类项，求的值是 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·甘肃平凉·阶段练习）若单项式与单项式的和是单项式，则的值为 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）先化简，再求值：已知与是同类项，求的值． 考点3：合并同类项 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）由合并同类项我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请灵活运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，化简______； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，． ①将第一个方程与第二个方程相加可得______． ②求的值． 考点4：去括号 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）小明在化简：时，步骤如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)小明的计算过程中，开始出现错误的步骤是 （填序号） (2)请你写出正确的解题过程． 【变式训练1】（24-25七年级上·天津·期末）已知代数式，． (1)求 (2)当，时，求的值． 【变式训练2】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c． (1)若． ①请将a、b、c填入括号内．    ②化简． ③若点X在数轴上表示的数为x，则有最小值__________． (2)若，且，求的值． 考点5：添括号 【典例精讲】（24-25七年级上·四川自贡·期中）有若干个数，第一个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第个数记为，若，则从第2个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，即． (1)分别求出的值； (2)计算：的值． 【变式训练1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法． 例如：若，求代数式的值． 我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)若当时，代数式 的值为2024，求当时，代数式的值． 【变式训练2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若数对是“同心有理数对”，其中，则以下数对是“同心有理数对”的有________．（填序号）： ； ； ； (3)若数对是“同心有理数”，当为何值时，代数式为定值． 考点6：整式的加减运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式训练1】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）（1）计算：； （2） 计算：； （3） 先去括号，再合并同类项：； （4） 先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】（24-25七年级上·河南濮阳·阶段练习）阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如： ，M经过处理器得到； 【应用】若关于x的二次多项式M经过处理器得到N，根据以上方法，解决下列问题： （1）若 求 N． 【延伸】（2）已知 M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的一次多项式，且满足，求k的值． 考点7：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练1】（24-25七年级上·山东日照·期末）已知含字母，的代数式是：． (1)化简这个代数式． (2)小明取 ， 互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于 ．那么小明所取的字母 的值等于多少？ (3)聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母 取一个固定的数，无论字母 取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母 的值是多少呢？ 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）（1）计算：； （2） 先化简，再求值：，其中，． 考点8：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为． （） (1)求多项式； (2)已知，若的结果中不含的一次项，求的值． 【变式训练1】（24-25七年级上·河北保定·期末）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为．则乙同学给出、的值分别是______，______：（请直接写出、的值） (3)丙同学给出了、的一组数，使计算的最后结果与的取值无关，则丙同学给出、的值分别是______，______；（直接写出、的值） 【变式训练2】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列四个说法：①如果大于，那么的倒数小于的倒数；②多项式的值与都无关；③已知，且，则的值等于；④若，则 ．其中正确的是 （填写序号） 考点9：整式加减的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准．新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下： 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 … (1)求的值； (2)若新鞋号为，旧鞋号为，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图与图两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．     (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 ；（填“图”或“图”） (2)已知图中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积； (3)已知图，图中裁去的小正方形边长分别为和，分别求出按图，图方式裁得的纸盒底面周长． 【变式训练2】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的八五折付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）． (1)若该客户按方案①购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． 若该客户按方案②购买，需付款多少元（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． (2)只能选择一种优惠方案，若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ 考点10：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用，， 填空：_____0，_____0，_____0，____0； (2)化简：． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：表示a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．已知图①，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出的最小值为______；当______时，的最小值为______． (2)应用二：在图①中，若点A以3个单位长度/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒．点A表示的数为______：（用含t的式子表示）； 将数轴沿着点A折叠，若数轴上点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为12，M，C两点之间距离为4，且M，N两点沿着A点折叠后重合，则点M表示的数是______；点N表示的数是______；点C表示的数是______． (3)应用三：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依此类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段长度为______；应用这个原理，请计算：． 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 2．（2020·贵州黔南·中考真题）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，那么 ． 3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为 ． 4．（2023·四川宜宾·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ． 基础夯实 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）有理数在数轴上所对应的点的位置如图，则化简代数式的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如果关于x，y的两个单项式与的和是一个单项式，那么m，n的值分别为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）下列合并同类项正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）不改变式子的值，将括号前的符号变成与其相反的符号： （1） ； （2） ． 6．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）大同市出租车收费标准起步价为7元，3千米后每千米的价格为1.6元，小明乘坐出租车走了x千米，则小明应付车费 元． 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知、、的位置如图：则化简 ． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 9．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知代数式，，，其中为常数，当时，；当时，（是常数，且）． (1)求的值； (2)关于的方程的解是，求的值； (3)当时，代数式的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 10．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图1见2024年12月份的日历，小胡在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为__________；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则__________． 所以，（__________）__________． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择__________题． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 培优拔高 11．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列三个结论中正确的个数是（   ） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知：关于x，y的多项式不含二次项，则的值是（   ） A．0 B．12 C． D．8 14．（24-25七年级上·山东聊城·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）若，则的值为 ． 16．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图是2025年1月的月历，其中“”型，“”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的值是 ． 17．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A，B，求的值”，他误将“”看成了“”，结果求出的答案是，若已知，那么原来的值应该是 ． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)化简：； (2)若，到的距离是1个单位长度，、互为相反数，、互为倒数，求代数式 的值． 19．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知：，． (1)化简； (2)若互为相反数，求的值． 20．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$