第21讲　两角和、差及倍角公式讲义——2026届高三数学一轮复习

第21讲　两角和、差及倍角公式 知识梳理 1.两角和、差及二倍角公式 2.两角和与差的正切公式的常用变形：tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). 3.辅助角公式：asin α+bcos α=　　　　　　,其中sin φ=,cos φ=.  考点 01　三角函数公式的直接应用 例1 (1)若=,则cos α+sin α= (　 ) A. B. C. D. (2)若tan=2,则sin 2α= (　 ) A.- B. C.- D. (3)已知α,β∈,且满足tan αtan=1,则tan(α+β)=(　　) A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.-1 考点02　三角函数公式的逆用及变形 例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,则cos 2β= (　 ) A.- B. C.或- D. (2)(多选题)下列式子化简正确的是 (　 ) A.sin 8°sin 52°-sin 82°cos 52°= B.cos 15°-sin 15°= C.sin 15°sin 30°sin 75°= D.= (3)tan 13°+tan 32°+tan 13°tan 32°= (　 ) A.tan 19° B.1 C.-tan 19° D.-1 考点03　角的变换问题 例3 (1)已知α∈,若cos=,则sin α= (　 ) A. B. C. D. (2)已知cos=,sin=-,α∈,β∈,则cos(α+β)= (　 ) A.- B. C.- D. (3)已知tan=,tan(α+β)=,则tan= (　 ) A. B. C. D. (4)已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)的值为 (　 ) A. B. C. D. (5)已知cos=,则cos=　　　　.  限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.若cos α=-,则cos 2α= (　 ) A. B. C.- D.- 2.已知cos α=,α∈,tan β=,则tan(α-β)的值为 (　 ) A.- B.- C.- D.-2 3.已知钝角α满足cos 2α+1=-cos α,则cos α= (　 ) A.- B.- C.0 D.-或0 4.cos 39°sin 69°+sin 141°cos 111°= (　 ) A.- B. C.- D. 5.已知sin α+cos α=,0<α<π,则cos= (　 ) A. B. C. D. 6.已知sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=,α是第三象限角,则tan= (　 ) A. B.- C.7 D.-7 7.已知cos=cos+,则cos 2α= (　 ) A. B.- C. D.- 8.(多选题)设sin 100°=t,则 (　 ) A.cos 100°= B.cos 40°cos 50°= C.2sin285°-1=-t D.tan 370°= 9.(多选题)下列计算正确的是 (　 ) A.sin 15°sin 60°sin 75°= B.cos 215°-sin215°= C.-=2 D.= 10.已知tan α=2tan β. (1)若α,β均为锐角,满足α+2β=π,求tan α; (2)若sin(α-β)=,求sin(α+β). 11.已知0<α<,0<β<,且sin(2α+β)=4sin β, tan 2α=,则tan(α+β)的值为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)下列等式一定成立的是 (　 ) A.sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β B.8sin αcos αcos 2αcos 4α=sin 8α C.=tan D.=tan 2α 13.若α∈,β∈,且(1+cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,则2tan α-tan β的最小值为　　　　 .  14.如图所示,Rt△ABC≌Rt△BAD(AD<BD,BC<AC),角C和角D为直角,AC与BD交于点P且AD+BD=16,记AD=x. (1)写出△APD的面积S关于x的函数解析式; (2)求△APD的面积的最大值. 参考答案 1.A　[解析] 由cos α=-,得cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.故选A. 2.D　[解析] 由α∈,知sin α<0,故sin α=-=-=-,从而tan α==-,所以tan(α-β)===-2.故选D. 3.B　[解析] 因为cos 2α=2cos 2α-1,所以(2cos2α-1)+1=-cos α,解得cos α=-或cos α=0,因为α为钝角,所以cos α<0,所以cos α=-.故选B. 4.D　[解析] cos 39°sin 69°+sin 141°cos 111°=cos 39°sin 69°-sin 39°cos 69°=sin(69°-39°)=,故选D. 5.D　[解析] 因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α=,所以sin 2α=-.因为α∈(0,π),sin 2α<0,所以2α∈(π,2π),α∈,所以cos α<sin α.因为sin22α+cos 22α=1,cos 2α=(cos α-sin α)(cos α+sin α)<0,所以cos 2α=-,所以cos=cos 2α×-sin 2α×=-×+×=.故选D. 6.C　[解析] sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=,即cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=-,则cos[(α-β)+β]=-,即cos α=-,又sin 2α+cos 2α=1,且α是第三象限角,所以sin α=-,则tan α==,故tan=tan===7.故选C. 7.C　[解析] 由cos=cos+,得cos α+sin α=cos α-sin α+,则sin α=,即sin α=,所以cos 2α=1-2sin 2α=1-2×=.故选C. 8.BD　[解析] 由sin 100°=t,得t=sin 80°.对于A,cos 100°=cos(180°-80°)=-cos 80°=-=-,故A错误;对于B,cos 40°·cos 50°=cos 40°sin 40°=×2sin 40°·cos 40°=sin 80°=t,故B正确;对于C,2sin285°-1=-(1-2sin285°)=-cos(2×85°)=-cos 170°=cos 10°=sin 80°=t,故C错误;对于D,tan 370°=tan 10°===,故D正确.故选BD. 9.ABD　[解析] 对于A,sin 15°sin 60°sin 75°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,A正确;对于B,cos 215°-sin 215°=cos 30°=,B正确;对于C,-===4,C错误;对于D,=·=tan 45°=,D正确.故选ABD. 10.解:(1)因为α+2β=π,即α=π-2β,所以tan α=tan(π-2β)=-tan 2β=-, 又tan α=2tan β,α,β均为锐角,所以tan α=2tan β>0,所以1=-,可得tan β=, 所以tan α=2tan β=2. (2)由tan α=2tan β,即=,可得sin αcos β=2sin βcos α,又sin(α-β)=,即sin αcos β-cos αsin β=, 所以sin βcos α=,则sin αcos β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos α·sin β=. 11.A　[解析] 由tan 2α=,得=,整理得2tan2α+3tan α-2=0,又0<α<,所以tan α=.由sin(2α+β)=4sin β,得sin[(α+β)+α]=4sin[(α+β)-α],即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=4[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],整理得3sin(α+β)cos α=5cos(α+β)sin α,所以3tan(α+β)=5tan α,所以tan(α+β)=×=.故选A. 12.ABD　[解析] 对于A,sin(α+β)-sin(α-β)=sin αcos β+cos αsin β-(sin αcos β-cos αsin β)=2cos αsin β,A正确;对于B,8sin αcos αcos 2αcos 4α=4sin 2αcos 2αcos 4α=2sin 4αcos 4α=sin 8α,B正确;对于C,取α=,则=0,tan=1,C错误;对于D,==tan2α,D正确.故选ABD. 13.　[解析] 由(1+cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,得2cos 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β,又α∈,所以cos α≠0,所以cos α(1+sin β)=sin αcos β,所以cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β).因为α∈,β∈,所以tan α>0,cos α=sin(α-β)>0,则α-β+α=2α-β=,即β=2α-,所以2tan α-tan β=2tan α-tan=2tan α-=2tan α-=2tan α+=2tan α+==≥×2=,当且仅当tan α=,即α=,β=-时等号成立.故2tan α-tan β的最小值为. 14.解:(1)设∠ABD=θ,在Rt△BAD中,因为AD=x,AD+BD=16,所以tan θ=,又Rt△ABC≌Rt△BAD, 所以∠ABD=∠PAB=θ,所以∠APD=2θ,所以tan∠APD=tan 2θ===, 则PD====,所以S=AD·PD=x×=,又 所以0<x<8,所以△APD的面积S关于x的函数解析式为S=(0<x<8). (2)由(1)知S=(0<x<8),令t=16-x,8<t<16, 则S===-+192≤-2+192=192-128,当且仅当8t=,即t=8,即x=16-8时,等号成立, 故当x=16-8时,△APD的面积最大,最大值为192-128. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$