第20讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式讲义-2026届高三数学一轮复习

第20讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 知识梳理： 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:　　　　　　　　.   (2)商数关系:　　　　　　　　　　　　.  2.诱导公式：奇变偶不变,符号看象限 注意:诱导公式指的是角k·±α(k∈Z)与角α的三角函数关系,简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·±α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数;“变”与“不变”是指函数的名称的变化;“符号看象限”指的是在“k·±α(k∈Z)”中,将α看成锐角时,“k·±α(k∈Z)”的终边所在的象限. 常用结论 1.和(差)积互化变形:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 2.弦切互化变形:sin2α==,cos2α==, sin αcos α==,其中α≠kπ+(k∈Z). 考点01　同角三角函数的基本关系 例1 (1)若tan α=-,cos α<0,则sin α= (　 ) A. B.- C. D.- (2) 已知α∈,8sin α=3cos2α,则tan α=　　　　.  例2 (1)若a=2 025·sin,b=cos,c=tan 2 025°,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c　　　　B.a>c>b　　　　C.c>b>a　　　　D.c>a>b (2)(多选题)已知sin α-cos α=,0≤α≤π,则下列结论中正确的有 (　 ) A.sin α·cos α= B.sin α+cos α= C.tan α+= D.sin α= 例3（1）已知tan α=3,则的值为 (　 ) A.- B. C.-2 D.2 (2)(多选题)设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列结论正确的是 (　 ) A.m=-　　　 　B.sin α-cos α= C.tan α= D.cos 2α-sin 2α=- 考点02　三角函数的诱导公式 例4 (1)(多选题)下列化简正确的是 (　 ) A.tan(π+1)=tan 1 B.=cos α C.=tan α D.=-1 (2)(2)已知sin=-,则cos= (　 ) A. B. C.- D.- 考点03　同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用 例 5 (多选题)已知sin(α-π)+2sin=0,则下列结论正确的是 (　 ) A.tan α=2 B.sin α-cos α= C.sin αcos α+cos 2α= D.= 例6 已知f(x)=. (1)化简f(x); (2)已知f(α)=-2,求3sin 2α+2cos2α+2sin αcos α的值. 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.sin= (　 ) A.- B.- C. D. 2.已知cos α=-,且α为第二象限角,则tan α= (　 ) A.- B. C.- D. 3.已知α∈(π,2π),tan α=2,则2sin α-cos α= (　 ) A. B.- C.或- D.0 4. 若α为第二象限角,则= (　 ) A.1 B.-1 C.sin α D.cos α 5.已知tan α=-,则3sin2α+sin αcos α= (　 ) A.- B.0 C. D.1 6. 若α∈(0,π),且2sin α-cos α=1,则= (　 ) A. B. C.- D.- 7.已知α角的始边与x轴非负半轴重合,P(-2,3)是α角终边上一点,则+的值为 (　 ) A.- B. C. D.- 8.(多选题)下列化简正确的是 (　 ) A.sin(3π+α)=sin α B.sin =-cos C.cos=sin 2α D.cos(9π-3α)=cos 3α 9.(多选题)已知α为锐角,且 cos α-sin α=,则下列结论中正确的有 (　 ) A.α∈ B.tan α= C.sin αcos α= D.sin α+cos α= 10.已知cos α=-,且α为第三象限角. (1)求sin α,tan α的值; (2)求的值. 11.已知cos=,则2sin+cos= (　 ) A.-2 B.2 C.- D. 12.(多选题)在△ABC中,下列说法正确的是 (　 ) A.若A≥B,则cos A≤cos B B.若A≥B,则tan A≥tan B C.sin(A+B)=sin C D.sin=cos 13.已知角α的终边过点(sin 5,cos 5),且α∈[0,2π),则角α的弧度数是　　　　.  14.已知关于x的方程25x2-ax+12=0的两实根为sin θ和cos θ,其中θ∈. (1)求a的值; (2)求+的值; (3)求sin 3θ-cos 3θ的值. 参考答案 1.C　[解析] sin=sin=sin=.故选C. 2.C　[解析] 因为α为第二象限角,且cos α=-,所以sin α==,所以tan α===-.故选C. 3.B　[解析] 因为α∈(π,2π),tan α=2, 所以α∈,则cos α<0.由解得(舍去)或所以2sin α-cos α=2×-=-.故选B. 4.B　[解析] 因为α为第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,则====-1.故选B. 5.B　[解析] 因为tan α=-,所以3sin 2α+sin αcos α====0.故选B. 6.A　[解析] 由2sin α-cos α=1,且sin2α+cos 2α=1,解得或又α∈(0,π),所以所以tan α=,所以===.故选A. 7.D　[解析] 根据三角函数定义得sin α=,cos α=-,则+=+=-=--=--=-+=-.故选D. 8.BC　[解析] 对于A,sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin α,故A错误;对于B,sin=sin=-sin=-cos,故B正确;对于C,cos=cos=sin 2α,故C正确;对于D,cos(9π-3α)=cos(π-3α)=-cos 3α,故D错误.故选BC. 9.CD　[解析] 因为cos α-sin α=>0,所以cos α>sin α,又α为锐角,所以α∈,故A错误;由cos α-sin α=,两边平方可得cos 2α+sin 2α-2cos αsin α=,则cos αsin α=,故C正确;因为α为锐角,所以sin α+cos α===,故D正确;由得则tan α=,故B错误.故选CD. 10.解:(1)因为sin 2α+cos 2α=1,cos α=-,所以sin α=±,又α为第三象限角, 所以sin α=-,所以tan α==. (2)==tan α=. 11.A　[解析] 令m=θ-,则θ=m+,cos m=,从而2sin+cos=2sin+cos=2sin+cos(m+3π)=-3cos m=-2.故选A. 12.ACD　[解析] 对于A,在△ABC中,π>A≥B>0,由余弦函数的单调性可得cos A≤cos B,故A正确;对于B,若A为钝角,B为锐角,则tan A<0<tan B,故B错误;对于C,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故C正确;对于D,sin=sin=cos,故D正确.故选ACD. 13.-5　[解析] 因为角α的终边过点(sin 5,cos 5),且<5<2π,所以sin 5<0,cos 5>0,所以角α为第二象限角,因为α∈[0,2π),所以α∈,所以cos α==sin 5=cos=cos,又<-5<π,所以α=-5. 14.解:(1)由θ∈,得sin θ>0,且sin θ≠cos θ,∵方程25x2-ax+12=0的两实根为sin θ和cos θ, ∴sin θ+cos θ=,sin θcos θ=>0,Δ=a2-4×25×12>0,于是cos θ>0,>0,a2>1200,即a>20. 对sin θ+cos θ=左右两边同时平方,得1+=,可得a=35. (2)原式=+=+==sin θ+cos θ,∵sin θ+cos θ==,∴原式=. (3)方法一:由θ∈,得sin θ-cos θ>0.由sin θcos θ=,可得sin θ-cos θ==. 因此sin 3θ-cos 3θ=(sin θ-cos θ)(sin 2θ+sin θcos θ+cos 2θ)=×=. 方法二:原方程即为25x2-35x+12=0,解得x1=,x2=, 由θ∈,得sin θ>cos θ,于是cos θ=,sin θ=, 因此sin 3θ-cos 3θ=-=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$