第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念讲义——2026届高三数学一轮复习

第四单元　三角函数与解三角形 第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念 知识梳理 1.任意角 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形.  (2)角的分类: 按旋转 方向 正角 按　　时针方向旋转而成的角  负角 按　　时针方向旋转而成的角  　  射线没有旋转 按终边 位置 前提:角的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合 象限角 轴线角 角的终边在第几象限,这个角就是第几象限角；角的终边落在坐标轴上 角α的弧度数 的绝对值 |α|= 角度与弧度 的换算 ①1°= rad, ②1 rad=° 弧长公式 l=　　　  扇形面积公式 S=lr=　　　  (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=　　　　　　　　.(相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍)  2.弧度制的定义和公式 (1)定义:长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.  (2)公式(表中α为弧所对的圆心角,l为弧长,r为半径,S为扇形面积): 3.三角函数的概念 (1)三角函数的概念 (2)三角函数值在各象限内的符号:一全二正弦、三切四余弦(如图). · 常用结论 若x∈,则tan x>x>sin x. 考点01　角及其表示 例1 (1)与-224°角终边相同的角是 (　 ) A.24° B.113° C.124° D.136° (2)2024°角的终边在 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点02　弧度制及其应用 例2 (1)将-315°化为弧度制,正确的结果是 (　 ) A.- B.- C.- D.- (2)某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示),大轮有25个齿,小轮有15个齿,大轮每分钟转3圈,若小轮的半径为2 cm,则小轮每秒转过的弧长是(　　) A.10π cm　　　　B.5π cm　　　　 C. cm D.终边在y轴正半轴上的角的集合为 (3)在扇形AOB中,∠AOB=2,且弦AB的长为2,则扇形AOB的面积为(　 ) A. B. C. D.2sin 1 (4)已知某扇形的圆心角为α(α>0),半径为R,面积为S,周长为L. ①若S=4cm2,则扇形圆心角α为多少弧度时,L最小?并求出L的最小值. ②若L=10 cm,则扇形圆心角α为多少弧度时,S最大?并求出S的最大值. 考点03　三角函数的定义及应用 例3 (1)已知角θ的终边在直线y=2x上,则的值为(　　) A.- (2)已知角α的终边经过点(4,m)(m≠0),且sin α=,则m= (　 ) A.3 B.±3 C.5 D.±5 例4 (1) 已知点M(cos α,tan α)在第二象限,则角α的终边在 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若角α的终边与单位圆交于点P,则cos β=　　　　.  (3)《九章算术》是我国古代的数学著作,在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义,“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,记圆心角∠AOB=2α,若“弦”为2,“矢”为1,则+tan α等于 (　　) A.1　　　　B.　　　　C. 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.与45°角终边相同的角的集合表示正确的是(　 ) A.{α|α=2kπ+45°,k∈Z} B. C. D. 2.若α=6,则角α的终边在 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 若sin α<0且cos α>0,则角α的终边在 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知扇形的面积为4,圆心角为2弧度,则此扇形的弧长为 (　 ) A.4 B.6 C.8 D.10 5.已知sin α=-,cos α=,则角α的终边与以原点为圆心,5为半径的圆的交点的坐标为 (　 ) A.(-4,3) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(4,-3) 6.已知角α以x轴正半轴为始边,终边经过点P,则3π+α是 (　 ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7.角α的终边在第一象限,则+的取值集合为 (　 ) A.{-2,2} B.{0,2} C.{2} D.{0,-2,2} 8.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.1度的角是周角的,1弧度的角是周角的 C.-是第一象限角 D.若α是第四象限角,则cos α<0 9.在直角坐标系中,已知角α的终边过点P(1,-2),角β的终边与角α的终边关于y轴对称,则cos β=　　　　.  10.用弧度制表示终边落在如图中阴影部分内(含边界)的角θ的集合为　　　　　　　　　　.  11.折扇是我国传统文化的延续,它常以字画的形式体现我国的传统文化,如图是某 折扇的结构简化图,连接AB,已知∠AOB=,OA=2,若的长为l,则=(　 ) A. B. C. D. 12.如图,在平面直角坐标系中,,,,分别是单位圆上的四段弧(不含与坐标轴的交点),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan α<sin α<cos α,则点P所在的圆弧是(　 ) A. B. C. D. 13.(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.120°化为弧度是 B.若α∈(90°,180°),则是第一象限角 C.当α是第三象限角时,tan α<0 D.已知α=π,则其终边落在y轴上 14.如图,已知☉O的半径是2,点A,B,C在☉O上,若四边形OABC为菱形,则图中阴影部分的面积为　　　　.  参考答案 1.C　[解析] 角度制和弧度制不能混用,排除A,B;对于D,因为α-=-=kπ≠2kπ,k∈Z,所以α=kπ+,k∈Z的终边与45°角的终边不相同,排除D.故选C. 2.D　[解析] α-2π=6-2π∈,则角α的终边在第四象限.故选D. 3.D　[解析] 角α的终边过点(cos α,sin α),又sin α<0且cos α>0,所以角α的终边在第四象限.故选D. 4.A　[解析] 设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α(α>0)弧度,所以扇形的面积S=αr2=×2r2=4,得r=2,则l=αr=2×2=4,故选A. 5.D　[解析] 设所求交点的坐标为(x,y),则解得所以所求交点的坐标为(4,-3).故选D. 6.B　[解析] sin=,cos=-,即P,故点P在第四象限,即角α的终边在第四象限,3π+α的终边与π+α的终边相同,那么3π+α的终边在第二象限,即3π+α是第二象限角.故选B. 7.A　[解析] 因为角α的终边在第一象限,所以2kπ<α<2kπ+,k∈Z,所以kπ<<kπ+,k∈Z,所以为第一象限角或第三象限角.当为第一象限角时,sin>0,cos>0,则+=1+1=2;当为第三象限角时,sin<0,cos<0,则+=-1+(-1)=-2.所以+的取值集合为{-2,2}.故选A. 8.AB　[解析] 对于A,根据角度制和弧度制的定义可知,半圆所对的圆心角是180°,即π rad,所以A正确;对于B,由圆周角的定义知,1度的角是周角的,1弧度的角是周角的,所以B正确;对于C,-是第四象限角,故C错误;对于D,若α是第四象限角,则cos α>0,故D错误.故选AB. 9.-　[解析] 由题知,角β的终边过点(-1,-2),所以cos β==-. 10. [解析] 终边落在射线OA上的角为θ1=135°+k·360°,k∈Z,即θ1=+2kπ,k∈Z;终边落在射线OB上的角为θ2=-30°+k·360°,k∈Z,即θ2=-+2kπ,k∈Z.故角θ的集合为. 11.D　[解析] 因为∠AOB=,OA=2,所以l=×2=.过点O向线段AB作垂线,垂足为E,则∠AOE=,在△OAE中,AE=AOsin=,所以AB=2,则==.故选D. 12.D　[解析] 依题意,设点P的坐标为(x,y),所以由三角函数的定义可得sin α=y,cos α=x,tan α=,又tan α<sin α<cos α,所以<y<x.对于A,在第一象限,且0<x<y,不满足题意,故A错误;对于B,C,,在第三象限,且y<0,x<0,则>0,不满足题意,故B,C错误;对于D,在第四象限,且y<0<x<1,则y-=>0,所以<y<0<x,满足题意,故D正确.故选D. 13.AB　[解析] 对于A,因为π=180°,所以120°化为弧度是,故A正确;对于B,因为α∈(90°,180°),所以∈(45°,90°),则是第一象限角,故B正确;对于C,当α是第三象限角时,tan α>0,故C错误;对于D,已知α=π,则其终边落在x轴上,故D错误.故选AB. 14.-2　[解析] 如图所示,连接OB,因为四边形OABC为菱形,所以OA=AB=BC=OC=OB=2,所以△OAB和△OBC均为等边三角形,且边长为2,其中∠AOC=,可得S△OAB=S△OBC=×22=,所以四边形OABC的面积S1=S△OAB+S△OBC=2,又劣弧AC所在的扇形AOC的面积S2=××22=,所以所求阴影部分的面积S=S2-S1=-2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$