第1章 三角形 强化训练 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1章 三角形 强化训练 2025-2026学年苏科版八年级数学上册 （满分100分 考试时间100分钟） 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（3分）下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）已知线段 a＝2cm，b＝4cm，则下列长度的线段中，能与 a，b组成三角形的是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 4．（3分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 5．（3分）如图，在中，是BC边上的高线，EF垂直平分AB，分别交于点.若，则（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（　　）． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 8．（3分）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（　　） A． B． C． D．OA 10．（3分）如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）如图，，，则∠B=　 　° 12．（3分）已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角度数为　 　． 13．（3分）如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是　 　 14．（3分）如图，，点在线段上，若，，则的长为　 　． 15．（3分） 如图， 在 中， A C 边的垂直平分线分别交 AC， AB 于点 的周长为 18 cm ， 则 的周长为　 　cm . 16．（3分）如图，在中，，的平分线交于点D，已知，若，则的面积为　 　． 17．（3分）某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则　 　 ． 18．（3分）如图，在△ABC中，，，面积是18，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为　 　． 三、解答题(共6题；共46分) 19．（7分） 如图，已知，于点D，于点B，． （1）（3分）求证：； （2）（4分）连接AC交BD于点O，试判断OA与OC之间的数量关系，并说明理由． 20．（7分）如图，在四边形中，． （1）（3分）求证：． （2）（4分）若，求的长． 21．（8分）如图，点A，C，E在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，，分别交，于点P，Q，与交于点. （1）（4分）求证：. （2）（4分）求的度数. 22．（8分）如图，在中，，，过点C作直线MN与线段AB相交，于点M，于点N． （1）（4分）求证：； （2）（4分）求证：． 23．（8分）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点． （1）（4分）求证：是等边三角形； （2）（4分）若，求的长． 24．（8分）如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点． （1）（2分）求证：平分； （2）（2分）求证：； （3）（4分）若，，的面积为求的长． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示： ， ∵两个三角形全等， ∴， ∴的度数为． 故答案为：A． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠2=40°，再根据全等三角形的对应角相等得出答案． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A．不是任何边的高，故不符合题意； B．不是任何边的高，故不符合题意； C．是边的高，故不符合题意； D．是边的高，故符合题意 故答案为：D． 【分析】根据三角形的高的定义“三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高”逐项判断解题． 3．【答案】B 【解析】【解答】解： ， ， 第三边 能与 ， 能组成三角形的是 ， 故答案为： . 【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一判断即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：如图， 当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个， 当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个； ∴这样的顶点C有8个. 故答案为：A. 【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的判定方法，分：①以AB为底，②以AB为腰且A为等腰三角形顶角的顶点，③以AB为腰且B为等腰三角形顶角的顶点，三种情况分类讨论即可得出符合条件的点C，从而得出答案。 5．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接BF，交AD于H ∵EF垂直平分AB ∴AF=BF ∵∠BAC=45° ∴∠AFB=90°，∠ABF=45° ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=67.5° ∴∠CBF=22.5° ∵AD是BC边上的高线 ∴∠HAF=22.5° ∴∠CBF=∠HAF ∴△AHF≡△BCF（ASA） ∴CF=HF ∵∠FGH=∠GHF=67.5° ∴GF=HF 设CF=x，则EF=x+1 ∴AB=2(x+1) 由AB=AC ∴ 故答案为：A. 【分析】连接BF，交AD于H，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，先证明△AHF≡△BCF，再由角的关系得出∠FGH=∠GHF=67.5°，进而得到CF=HF=GF，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得，AB=2(x+1)，由AB=AC，列出方程，解方程即可作答. 6．【答案】B 【解析】【解答】解∶如图所示： 在等边中，， ， ， ． 太阳光线平行， ∴， ． 故答案为：B． 【分析】先求出∠ACD=120°，再利用三角形的内角和等于180°求出∠BDC=36°，然后求出，最后根据平行线的性质计算求解即可。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 故③正确． ∵， ∴， 故④正确． 若，，则为等腰直角三角形，，但题目中没有此条件，故②错误． 综上所述：正确的结论有①③④， 故答案为：D. 【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含30°直角三角形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：于点于点 ∵点F是的中点， 即， 故答案为：D． 【分析】由垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角得到，，于是根据平角定义及三角形的内角和定理得到结论． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵为，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴若求的长，只需测量下列线段中的． 故答案为：A． 【分析】由中点定义得AO=A'O，BO=B'O，再结合对顶角相等，可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，进而根据全等三角形对应边相等得AB=A'B'，从而即可得出答案. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， 由翻折得，， ∴， 而， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】根据全等三角形的对应角相等得到，，然后利用外角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可． 11．【答案】 【解析】【解答】解：，，， ． 故答案为：. 【分析】根据三角形外角的性质解题即可． 12．【答案】70°或40° 【解析】【解答】此题要分情况考虑： ①70°是它的顶角； ②70°是它的底角，则顶角是180°−70°×2=40°. 故答案为70°或40°. 【分析】已知等腰三角形的一个内角为70°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当70°是顶角或者70°是底角两种情况． 13．【答案】5 【解析】【解答】解：如图，在AC上取一点E，使 ，连接ME， 是 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为BE， 又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值， ， ， 解得 ， 即 的最小值为5， 故答案为：5. 【分析】在AC上取一点E，使AE=AN，连接ME，由角平分线的概念可得∠EAM=∠NAM，证明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，由两点之间线段最短得：当点B、M、E共线时，BM+ME取最小值，最小值为BE，然后由三角形的面积公式求出BE即可. 14．【答案】2 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差计算．根据，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的运算可得，代入数据进行计算可求出HG的长. 15．【答案】12 【解析】【解答】解：∵DE为垂直平分线， ∴EC=EA，DA=DC=3cm， ∴△BEC周长为BC+BA=18-AC=18-6=12cm， 故答案为：12. 【分析】根据垂直平分线的性质可得△BEC周长为BC+BA，从而求解. 16．【答案】18 【解析】【解答】解：∵的平分线交于点D，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据角平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案. 17．【答案】 【解析】【解答】解：∵与平行 ∴ ∵ ∴ ∵都与地面l平行 ∴ ∴ 故答案为：． 【分析】这道题主要考查平行线的性质；通过两直线平行，内错角相等得出∠ACB = 72°，再算出∠ACD = 130°，又因 AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC = 50°. 18．【答案】11 【解析】【解答】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：11． 【分析】连接，，根据等腰三角形性质可得，再根据三角形的面积公式求出，再根据EF是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，即可求出答案. 19．【答案】（1）证明：如图所示， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. （2）解：. 理由如下：在和中， ， ∴， ∴. 【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得AD=CB； （2）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得OA=OC. 20．【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先利用平行线的性质可证明，又知，再利用可证明； （2）根据全等三角形的性质：两三角形全等，对应边相等，可推出，利用线段的和差运算可求出答案. 21．【答案】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即. 在和中，， ， （2）解：由（1）得， ， 在中，. ，. 在中，. 【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，推出，证明，由全等三角形的性质得出； （2）由（1）得，根据全等三角形的性质得出，结合根据三角形的外角性质求出，再根据三角形内角和定理，即可求解． 22．【答案】（1）证明：于M，， ， ， ， ， ； （2）证明：∵， 在和中， ， ， ，， ． 【解析】【分析】（1）根据直角三角形内角和性质得出，从而得出； （2）利用全等三角形的判定AAS，得出，再利用全等三角形的性质及线段之间的等量关系得出结论。 23．【答案】（1）证明：为等边三角形， ， ，，， ， ，，， ， ，，， ， 是等边三角形； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）根据三个角都相等的三角形是等边三角形即可证明结论； （2）首先可证明 ， 从而得出 ，， 进而得出 ， 再根据 ， 可得PB=4cm，即CM=4cm. 24．【答案】（1）证明：∵所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：∵所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作，垂足为， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， ∵平分，，， ． 【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质和等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义求证即可； （2）根据线段垂直平分线段性质和等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质证明即可； （3）过点作，垂足为，利用直角三角形的性质，结合∠FAD=∠E证明，根据三角形的面积公式求出CM的长度，根据角平分线的性质求出CF的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$