第2章　解直角三角形课件2025-2026学年 青岛版九年级数学上册

null第2课时　方向角问题 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 方向角 (1)指北或指南的方向线与目标方向线所形成的锐角叫做　　　　 .  (2)如图,点A关于点O的方向角为　　　　偏东　　　　,点B关于点O的方向角为　　　　偏西　　　　.  方向角 北 60° 南 75° 考点梳理 方向角问题 34 [变式1](2023东昌府模拟)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离为　　　　海里.(结果保留根号)  (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数; 解:(1)由题意,得∠NAC=80°,∠BAS=25°, ∴∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=75°, ∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=60°, ∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°. (2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号). 方向角问题 (1)在辨别方向角问题中,一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数. (2)在解决有关方向角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系,有时所给的方向角不在直角三角形中,需要用到“两直线平行,内错角相等”等知识转化为所需要的角. 谢谢观赏！ 10 [典例](2022黔西南)如图,某海军舰艇在某海域C岛附近巡航,计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶,测得C岛在A岛的北偏东50°方向,在B岛的北偏西40°方向.A,B之间的距离为80 n mile,则C岛到航线AB的距离约是　　　　n mile.(参考数据:≈1.4,≈1.7,结果保留整数)  25 [变式2](2023包头)为了增强学生体质、锤炼学生意志,某校组织一次定向越野拉练活动.如图,A点为出发点,途中设置两个检查点,分别为B点和C点,行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向3 km处,C点在A点的北偏东80°方向,行进路线AB和BC所在直线的夹角 ∠ABC为45°. 解:(2)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D. ∵在Rt△ABD中,AB=3 km,∠ABC=45°, ∴BD=AD=AB·sin 45°=3×=3(km). ∵在Rt△ADC中,∠ACB=60°, ∴CD===(km), ∴BC=BD+CD=(3+)km. ∴检查点B和C之间的距离为(3+)km. $$2.3　用计算器求锐角三角比 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.用计算器求锐角三角比 度 = 2.根据三角比的值,用计算器求锐角 启动开机键后,在角的度量单位为“　　　　”的状态下,先按副功能键“　　 　”和相应三角比的名称键,再输入三角比的值,按“　　”键后,屏幕上就可以显示以度为单位的锐角.  特别提醒:不同的计算器,操作步骤有所不同. 度 2ndF = 考点梳理 求三角比或锐角的按键顺序 C D 利用计算器进行计算 1.44 解:(1)sin 47°≈0.731 4. (2)sin 12°30′≈0.216 4. (3)tan 44°59′59″≈1.000 0. 谢谢观赏！ 8 打开科学计算器,启动开机键后,使显示器的上方显示DEG(如果没有显示DEG,可以按DR 1键),表示计算器已经进入以“　　　　”为角的度量单位的运算状态.这时,按相应的三角比的名称键,再输入锐角的度数,按“　　　　”键后,显示器显示的数字即为该锐角相应的三角比的值. [典例1](2023莱阳期中)若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 42°16′,则按键顺序正确的是(　　) A.sin 4 2 · 1 6 = B.sin 4 2 DMS 1 6 = C.sin 4 2 DMS 1 6 DMS = D.2ndF sin 4 2 DMS 1 6 = [变式1](2023安丘期末)已知cos A=0.265 9,运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下),按下的第一个键是(　　) A.　　B.　　C.　　D. [典例2](2023新华模拟)用计算器计算·sin 40°≈　　　　.(结果精确到0.01)  [变式2]用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1): (1)sin 47°;　(2)sin 12°30′;　(3)tan 44°59′59″. $$2.1　锐角三角比 第2章　解直角三角形 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 锐角三角比 (1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°. (2)锐角A的　　　　、　　　　、　　　　统称锐角A的三角比.  特别提醒:∠A的正弦、余弦、正切实际上都是比值,没有单位,它们只与∠A的大小有关,即随∠A的大小的变化而变化,与三角形的边长无关. 正弦 余弦 正切 考点梳理 求锐角三角比 [典例1](2023聊城质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一 点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的正弦、余弦和正切的值. [变式1](2023诸城质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,则cos A的值是(　　) A 锐角三角比的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)正弦:锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sin A. (2)余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cos A. (3)正切:锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切,记作tan A. 利用锐角三角比求边 谢谢观赏！ 10 正弦:sin A==　　　　,  sin B==　　　　.  余弦:cos A==　　　　,  cos B==　　　　.  正切:tan A==　　　　,  tan B==　　　　.  解:∵在Rt△BCD中,CD=3,BD=5, ∴BC===4. 又AC=AD+CD=8, ∴AB===4. 则sin A===,cos A===,tan A==. A. B. C. D.2 [典例2](2023奎文模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=,求BC的长. 解:∵sin A=,∴=. ∵AB=15,∴BC=9. [变式2](2023成武期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,BC=2,求AB的长. 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∵tan B=,BC=2,∴=,解得AC=3,∴由勾股定理,得AB===. $$2.5　解直角三角形的应用 第1课时　仰角、俯角问题 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 仰角、俯角 (1)如图,在实际测量中,从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角叫做　　　　;从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角叫做　　　　.如图,∠1为仰角,∠2为俯角.  仰角 俯角 (2)无论是仰角还是俯角,它们都是　 　 与观察者眼睛所在　 　 　. 的夹角.  特别提醒:在实际问题中,遇到仰角或俯角时,通常要将仰角或俯角放在直角三角形或转化到直角三角形中,注意先确定水平线. 视线 水平线 考点梳理 仰角、俯角问题 [典例]烽燧即烽火台,是古代军情报警的一种措施,某数学兴趣小组利用无人机测量一烽燧的高度,示意图如图,无人机飞至距地面高度 31.5 m的A处,测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°,测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°,试根据提供的数据计算烽燧BC的高度. (结果保留整数.参考数据:sin 50°≈0.8,cos 50°≈0.6,tan 50° ≈1.2,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1) [变式1](2022南通)如图,B为地面上一点,测得B到树底部C的距离为 10 m,在B处放置1 m高的测角仪BD,测得树顶A的仰角为60°,则树高AC为　　　 　m.(结果保留根号)  ①③④　 当图形中没有直角三角形时,不会通过作高或垂线构造直角三角形,从而出错. [变式3]如图,从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,如果此时热气球C处的高度为200 m,点A,B,C在同一平面上,则A,B两点间的距离是　　　　　　m(结果保留根号).  谢谢观赏！ 10 解:如图,延长BC交AE于点E,易得四边形AEBD为矩形,则BE=AD=31.5 m. ∵在Rt△ABE中,BE=31.5 m,∠AEB=90°,∠BAE=65°,tan∠BAE=, ∴AE=≈15 m. ∵在Rt△ACE中,∠CAE=50°, tan∠CAE=, ∴CE=AEtan∠CAE≈15tan 50°≈18(m), ∴BC=BE-CE≈31.5-18≈14(m), 答:烽燧BC的高度约为14 m. (1+10) [变式2](2022黔东南)如图,校园内有一株枯死的大树AB,距树12米处有一栋教学楼CD,为了安全,学校决定砍伐该树.已知站在楼顶D处测得点B的仰角为45°,点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论: ①AB≈19米; ②CD≈8米; ③若直接从点A处砍伐,则树干倒向教学楼CD方向时会对教学楼有影响; ④若第一次在距点A 8米处的树干上砍伐,则树干倒向教学楼CD方向时不会对教学楼造成危害. 其中正确的是　　 　　.(填写序号,参考数值:≈1.7,≈1.4)  200(1+) $$第3课时　坡度、坡角问题 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 坡度与坡角 如图: (1)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做　　　　(或坡比),一般用i表示,即i=　　　　.表示坡度时,通常写成i=1∶m的形式,如i=1∶5. 坡度 h∶l (2)坡面与水平面的夹角α叫做　　　　.  (3)坡度i与坡角α之间的关系为i=　 　　　.  特别提醒:(1)坡度的结果不是一个度数,而是一个比值,不要与坡角 混淆. (2)坡度越大,坡角越大,坡面越陡;反之,坡度越小,坡角越小,坡面 越缓. 坡角 tan α 考点梳理 坡度、坡角问题 ①　 ② (1)求∠ACB的度数; 解:(1)∵山坡Ⅱ的坡度i=1∶1, ∴CN=BN,∴∠BCN=45°, ∴∠ACB=180°-30°-45°=105°. (2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程. 解直角三角形的其他应用 [典例2](2023达州)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.示意图如图,秋千链子的长度为3 m,当摆角∠BOC恰为26°时,座板离地面的高度BM为0.9 m,当摆动至最高位置时,摆角∠AOC为50°,求座板距地面的最大高度.(结果精确到0.1 m;参考数据:sin 26°≈0.44,cos 26°≈0.9,tan 26°≈0.49, sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2) 解:如图,过B作BT⊥ON于T,过A作AK⊥ON于K,作AD⊥MN于D. 在Rt△OBT中,OT=OBcos 26°≈3×0.9=2.7(m). ∵∠BMN=∠MNT=∠BTN=90°,∴四边形BMNT是矩形, ∴TN=BM=0.9 m,∴ON=OT+TN≈3.6 m. ∵在Rt△AOK中,OK=OAcos 50°≈3×0.64=1.92(m), ∴KN=ON-OK≈3.6-1.92≈1.7(m). 易知四边形ADNK为矩形,∴AD=KN≈1.7 m.∴座板距地面的最大高度约为1.7 m. 谢谢观赏！ 10 [典例1](2022株洲)如图①,某登山运动爱好者由山坡Ⅰ的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处,再从点C处沿线段CB至山坡Ⅱ的山顶点B处.如图②,将直线l视为水平面,山坡Ⅰ的坡角∠ACM=30°,其高度AM为0.6千米,山坡Ⅱ的坡度i=1∶1,BN⊥l于N,且CN= 千米. 解:(2)∵在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米, ∴AC=2AM=1.2千米. ∵在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN=千米, ∴BC==2千米, ∴该登山运动爱好者走过的路程为 1.2+2=3.2(千米). $$2.4　解直角三角形 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.直角三角形的边角关系 在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c 边 a2+b2=c2 角 ∠A+∠B=　　　  边与角 90° 2.解直角三角形 (1)由直角三角形中　　　　　　求出　　　　　　的过程,叫做解直角三角形.  (2)在直角三角形中,除直角以外,已知　　　　个元素(至少1个是 　　　　),可以求出其他元素.  特别提醒:在解直角三角形的过程中,选择关系式常遵循以下原则: 一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式; 二是设法选择便于计算的关系式,若能用乘法计算,则避免用除法计算. 已知的元素 未知元素 2 边 考点梳理 解直角三角形 A 解直角三角形 (1)在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形. (2)解直角三角形要用到的关系: ①锐角、直角之间的关系; ②三边之间的关系; ③边、角之间的关系. 解非直角三角形 [典例2](2023周村月考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=105°,AC= 4,求AB的长. 2或4 谢谢观赏！ 10 sin A==　　　;  cos A==　　　;  tan A==　　  [典例1](2023济南月考)在△ABC中,∠C=90°,AB=12,cos A=,求BC 的长. 解:如图. ∵∠C=90°,AB=12,cos A=, ∴cos A===,∴AC=9. 在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴BC===3. [变式1](2023合肥质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c当已知∠A和a时,求c,应选择的关系式是(　　) A.c= B.c= C.c=a·sin A D.c=a·tan A 解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,则∠CDA=∠CDB=90°. 在Rt△ACD中,∵∠A=30°,AC=4, ∴CD=AC·sin A=2,AD=AC·cos A=2. ∵∠A=30°,∠ACB=105°,∴∠B=45°, ∴在Rt△BCD中,BD=CD=2, ∴AB=2+2. [变式2](2023高唐质检)已知tan∠AOB=,点P在边OA上,OP=5,点M,N在边OB上,PM=PN,如果MN=2,那么OM=　　　　.  $$2.2　30°,45°,60°角的三角比 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 30°,45°,60°角的三角比 三角比 锐角α 30° 45° 60° sin α 　　　  　　　  　　　  cos α 　　　  　　　  　　　  tan α 　　　  　　　  　　　  1 特别提醒:(1)当α为锐角时,正弦值sin α、正切值tan α随α的增大而增大,余弦值cos α随α的增大而减小. (2)当∠A,∠B都是锐角时,若sin A=sin B或cos A=cos B或tan A= tan B,则∠A=∠B. 考点梳理 特殊角的三角比 [典例1]在△ABC中,∠A=105°,∠C=45°,则cos B的值为(　　) B A 利用特殊角的三角比求角 D 熟记特殊角的三角比的方法 (1)按值的变化规律去记,正弦逐渐增大,余弦逐渐减小,正切逐渐 增大; (2)按特殊直角三角形中各边的特殊值去记. 谢谢观赏！ 9 A. B. C.1 D. [变式1](2023梁平期末)式子2cos 30°-tan 45°-的值是(　　) A.0 B.2 C.2 D.-2 [典例2](2023肥城质检)求满足下列各式的锐角α: (1)2sin α=;　　(2)tan(2α-20°)=. 解:(1)∵2sin α=,∴sin α=,∴α=60°. (2)∵tan(2α-20°)=, ∴2α-20°=60°,∴2α=80°,∴α=40°. [变式2](2024潍坊期末)在Rt△ABC中,BC=6,AC=2,∠C=90°,则∠A的度数是(　　) A.30° B.40° C.45° D.60° $$