1.5 等腰三角形 同步练习 2025-2026学年苏科版 数学八年级上册

2025-2026学年数学八年级上册苏科版 第一章 三角形 1.5 等腰三角形（同步练习） 一、选择题 1．如图，在中，，是边上的高，，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 3．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 4．如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 5．已知实数、满足，且、恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（　　） A．10 B．8 C．10或8 D．6 6．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（　　） A．对应角相等的两个三角形是全等三角形 B．一个角等于的三角形是等边三角形 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形的角平分线，中线和高重合 8．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（　　） A．9 B．12 C．15 D．12或15 9．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 10．如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（　　） A．1个 B．4个 C．5个 D．6个 11．如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为　 　（度）． 13．在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=8，则斜边AB的长是　 　 14．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 　 　． 15．等腰三角形的两边长是4和5，则它的周长是　 　． 16．已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为　 　． 17．如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有　 　． 18．如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为　 　． 19．如图，正三角形△ABC和△CDE，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．成立的结论有 　 　．（填序号） 20．如图，中，，，若点是直线上一动点，连接，以为边作等边三角形，若，求的最小距离为　 　． 21．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为　 　． 22．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为　 　．（用含的代数式表示） 23．如图，点在内部，，点在上，垂直平分，若，则　 　． 三、解答题 24．如图，在中，.点在边AB上，点在CB延长线，且满足.连接.已知. （1）若，求的度数. （2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据： AE 4cm 6cm 8cm 10cm BC 2cm 3cm 4cm 5cm 猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明. （3）探究三者之间的等量关系，并给出证明. 25．（1）如图①，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，交于点F，连接，求证：； （2）如图②，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，点D 是底边的中点，求证：是线段的垂直平分线； （3）如图③，在中，，点D为上任意一点，在上找一点G，使得，请探究与的数量关系，并说明理由 26．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长． （2）当点落在的边上时，求的值． （3）当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． （4）与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 27．在中，平分交于． （1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； （2）如图2，若，，，，，求四边形的周长． 28．如图，在中，，点D在边上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交边AC于点E． （1）当时， ，点D从点B向点C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当的长度等于多少时，？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 29．在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． （1）【特例证明】 如图，当点是中点时，求证：． （2）【类比探究】当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图说明理由． （3）【拓展运用】点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 参考答案 1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．C 7．C 8．C 9．C 10．D 11．D 12．55 13．16 14． 15．13或14 16． 17．①③④ 18． 19．①②③⑤ 20． 21． 22．​​​​​​​​​​​​​​ 23． 24．（1）因为，所以， 所以，因为， 所以，因为， 所以 （2）猜想：，证明如下： 延长BC至点，使得，连接AP， 设，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以 （3）. 由勾股定理，可得：， 化简，得：， 化简，得：， 由（2）可知：， 所以.​​​​​​​ 25．（1）证明：∵，∴，即． ∵， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形． ∵D 是底边的中点， ∴，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； 解：（3），理由： ∵在中，， ∴， 将顺时针旋转到，点D的对应点为点F，连接， 则， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（1）当时，．当时， （2）或 （3） （4）1或3 27．（1）证明：过点D作于G，如图1， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：过点D作于E，如图2， ，， ，， ， ， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， 同理可得：， 四边形AMDN的周长为． 28．（1），小 （2）解：∵，∴在中，， ∵， ∴， ∴，且， ∴当时，运用角边角可得， 故答案为：当时，； （3）解：∵，∴， ①当时，是等腰三角形， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴，则点于点重合，不符合题意，舍去； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 在中，； 综上所述，若是等腰三角形，的度数是或． 29．（1）证明：∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 （2）解：当点为上任意一点时，如图，．理由如下： 如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）或 学科网（北京）股份有限公司 $$