第23讲　三角函数的图象与性质讲义——2026届高三数学一轮复习

第23讲　三角函数的图象与性质 知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),　　　　,(π,0),　　　　,(2π,0).  (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),　　　　,(π,-1),　　　　,(2π,1).  2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义 域 R R 值域 　　　  　　　  　　　  周期 2π 2π π 奇偶性 　　　  　　　  奇函数 在上单调递增;在　　　 　　　　上单调递减  在[2kπ,2kπ+π]上单调递减; 在　　　 　　上单调递增  在 上单调递增 零点 kπ +kπ kπ 对称轴 x=kπ+ 　　　  无 对称 中心 　　  常用结论 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个最小正周期,相邻对称中心与对称轴之间的距离是个最小正周期; (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个最小正周期. 2.奇偶性 设f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z). 考点01　三角函数的定义域与值域 例1 函数y=(0≤x≤2π)的定义域为 (　 ) A. B. C. D. 例2 (1)函数f(x)=3tan,x∈的值域为 (　 ) A. B. C.[,3] D. (2)函数f(x)=cos 2x-4sin x-1的值域是 (　 ) A.(-∞,2] B.[-2,2] C.[0,2] D.[-6,2] (3)函数f(x)=sin x-cos x+sin 2x在区间上的取值范围是　　　　.  考点02　三角函数的周期性与对称性 例3 (1)函数y=sin图象的对称轴方程可能是 (　 ) A.x= B.x=π C.x= D.x= (2)若函数f(x)=2sin(x+2θ)·cos x的图象过点(0,2),则下列说法正确的是 (　 ) A.点是y=f(x)图象的一个对称中心 B.直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴 C.y=f(x)的最小正周期是2π D.函数y=f(x)的值域为[0,2] (3)已知直线x=和x=都是函数y=f(x)图象的对称轴,则f(x)的解析式可能为 (　 ) A.f(x)=sin B.f(x)=sin C.f(x)=sin D.f(x)=sin 考点03　三角函数的单调性 例4 (1) 下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是 (　 ) A.y=|cos x| B.y=tan x C.y=cos D.y=|sin x| (2)已知函数f(x)的最小正周期为π,且在区间上单调递增,则f(x)的解析式可能是 (　 ) A.f(x)=sin B.f(x)=cos C.f(x)=sin D.f(x)=cos 例5 (1) 已知函数y=sin(3x+φ)(0<φ<π)在区间上单调,则φ的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. (2)已知函数f(x)=cos ωx(ω>0)在区间上单调递减,则ω的取值范围是 (　 ) A.(0,3) B.(0,3] C. D. 例6 下列不等式中成立的是　　　(填编号).  ①sin>sin; ②sin 3>sin 2; ③sin>sin; ④sin 2>cos 1. 限时训练(时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.函数y=sin图象的一个对称中心是 (　 ) A. B.(0,0) C. D. 2.下列四个函数中,以π为最小正周期,且为奇函数的是 (　 ) A.y=sin B.y=cos C.y=tan(2x+π) D.y=sin(2π-x) 3.已知奇函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,那么f(x)的解析式可以为 (　 ) A.f(x)=tan πx B.f(x)=cos C.f(x)=sin D.f(x)=sin 3πx 4. 若f(x)=cos(2x+φ)ln(0≤φ≤π)为偶函数,则φ= (　 ) A.0 B. C.π D. 5.设a=sin 110°,b=cos 305°,c=tan 230°,则 (　 ) A.a>b> c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 6.函数f(x)=2cos2x+3sin x在上的取值范围为 (　 ) A.[3,4] B. C. D. 7.若函数y=sin在[0,m]上单调递增,则实数m的最大值为 (　 ) A. B. C.1 D.2 8.(多选题)关于函数f(x)=sin,下列说法错误的有 (　 ) A.函数f(x)的最小正周期为π B.f(x)的解析式可写成f(x)=cos C.函数f(x)在上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x=-对称 9. 函数f(x)=tan的定义域为　　　　　　　　　.  10.已知m=(sin x,cos x),n=(cos x,-cos x),函数f(x)=m·n+. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)当x∈时,求f(x)的取值范围. 11.定义运算a⊕b=例如1⊕2=2,则函数f(x)=sin x⊕cos x的值域为 (　 ) A. B. C. D. 12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在上单调,且f=f=-f,则ω的取值不可能为 (　 ) A. B. C. D. 13.(多选题)已知函数f(x)=asin x+bcos x(ab≠0),且f=f,则 (　 ) A.a=b B.函数y=f是偶函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=对称 D.函数f(x)在区间上单调递减 14.已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,若对任意x0∈D1,恰好存在n个不同的实数x1,x2,…,xn∈D2,使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2,…,n,n∈N*),则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”. (1)判断g(x)=2cos x,x∈[0,4π]是否为f(x)=sin x+cos x,x∈[0,π]的“4重覆盖函数”,并说明理由; (2)若g(x)=2sin,x∈是f(x)=tan x,x∈[0,m](m>0)的“3重覆盖函数”,求m的取值范围; (3)已知ω>0,若g(x)=,x∈(0,+∞)是f(x)=,x∈[5,6]的“9重覆盖函数”,求ω的取值范围. 参考答案 1.D　[解析] 令sin=0,则2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,令k=1,得y=sin图象的一个对称中心为,故选D. 2.B　[解析] 对于A,y=sin=cos 2x,其定义域为R,设f(x)=cos 2x,因为f(-x)=cos(-2x)=cos 2x,所以f(x)为偶函数,故A错误;对于B,y=cos=-sin 2x,其定义域为R,设h(x)=-sin 2x,则h(-x)=-sin(-2x)=sin 2x=-h(x),则h(x)为奇函数,且最小正周期为=π,故B正确;对于C,y=tan(2x+π)=tan 2x,其最小正周期为,故C错误;对于D,y=sin(2π-x)=-sin x,其最小正周期为2π,故D错误.故选B. 3.D　[解析] 对于A,函数f(x)=tan πx的图象不是轴对称图形,故A不符合题意;对于B,函数f(x)=cos的定义域为R,因为f=0,f=1,所以函数f(x)=cos不是奇函数,故B不符合题意;对于C,函数f(x)=sin的定义域为R,因为f(2)=sin=-,f(-2)=sin=-,所以函数f(x)=sin不是奇函数,故C不符合题意;对于D,函数f(x)=sin 3πx的定义域为R,因为f(-x)=-sin 3πx=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为f=-1,所以x=是f(x)=sin 3πx的图象的一条对称轴,故D符合题意.故选D. 4.B　[解析] 由>0,得x<-或x>,所以f(x)的定义域为∪,令g(x)=ln,因为g(-x)=ln=ln=ln=-ln=-g(x),所以g(x)=ln为奇函数,因为f(x)=cos(2x+φ)ln为偶函数,所以y=cos(2x+φ)为奇函数,所以φ=+kπ,k∈Z,因为0≤φ≤π,所以φ=.故选B. 5.D　[解析] a=sin 110°=sin 70°<1,b=cos 305°=cos(-55°)=cos 55°=sin 35°<1,c=tan 230°=tan 50°>tan 45°=1,由于sin 35°<sin 70°,因此c>a>b.故选D. 6.B　[解析] 依题意得f(x)=-2sin2x+3sin x+2,令sin x=t,由x∈,得t∈,令y=-2t2+3t+2=-2+,t∈,当t=时,y取得最大值,当t=1时,y取得最小值3,故f(x)在上的取值范围为.故选B. 7.B　[解析] 对于函数y=sin,令-+2kπ≤πx-≤+2kπ,k∈Z,解得-+2k≤x≤+2k,k∈Z,所以函数y=sin的单调递增区间为,k∈Z,当k=0时,函数的一个单调递增区间为,又函数y=sin在[0,m]上单调递增,所以0<m≤,则m的最大值为.故选B. 8.BC　[解析] 对于A,由f(x)=sin,可得其最小正周期T==π,故A中说法正确;对于B,cos=cos=-sin≠f(x),故B中说法错误;对于C,设z=2x+,当x∈时,z∈,因为y=sin z在上不单调,所以f(x)在上不单调,故C中说法错误;对于D,当x=-时,2x+=-,而sin=1,故D中说法正确.故选BC. 9.[解析] 若函数f(x)=tan有意义,则-≠kπ-,k∈Z,解得x≠2kπ-,k∈Z,所以函数f(x)=tan的定义域为. 10.解:(1)f(x)=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-(cos 2x+1)+=sin 2x-cos 2x=sin,令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)因为x∈,所以2x-∈,所以≤sin≤1,故函数f(x)的取值范围为. 11.B　[解析] 由题可得函数f(x)=当sin x≥cos x时,f(x+2π)=sin(x+2π)=sin x;当sin x<cos x时,f(x+2π)=cos(x+2π)=cos x.则f(x)=f(x+2π).作出函数f(x)的大致图象,如图中实线所示,由图及f(x)=f(x+2π)可知,函数f(x)的值域为.故选B. 12.B　[解析] 由f(x)在上单调,f=-f,得f(x)的最小正周期T满足≥-=,解得T≥π,而=-,则f=0,由f=f,得T≠π,所以T>π.不妨设f(x)在上单调递增,作出f(x)的大致图象,如图所示,设f(x)的图象与直线y=f的四个交点为C,A,D,E,其位置如图, 若点C的横坐标为,则-==,则ω=,满足T>π;若点A的横坐标为,则-=T=,则ω=,满足T>π;若点D的横坐标为,则由=,得-=T=,则ω=,满足T>π;若点E的横坐标为,则-=2T=,则ω=,不满足T>π.又易知f(x)的图象与直线y=f的交点中除C,A,D,E外的点的横坐标不可能为,所以ω的所有可能取值为,,.故选B. 13.ABC　[解析] ∵f(x)=asin x+bcos x(ab≠0),且f=f,∴f(x)的图象关于直线x=对称,∴f(0)=f,即b=a,A正确;∵f(x)=a(sin x+cos x)=asin,∴f=asin=acos x,则y=f为偶函数,B正确;当x=时,x+=,而sin=-1,∴函数f(x)的图象关于直线x=对称,C正确;当x∈时,x+∈,则y=sin单调递增,∵a的正负不确定,∴函数f(x)在区间上的单调性不确定,D错误.故选ABC. 14.解:(1)由题可知f(x)=sin x+cos x=2=2sin,对于f(x),∵x∈[0,π],∴x+∈,故f(x)的值域为[-,2],又易知g(x)的图象与直线y=a,a∈[-,2)有4个交点,与直线y=2有3个交点,∴g(x)=2cos x,x∈[0,4π]不是f(x)的“4重覆盖函数”. (2)对于g(x),∵x∈,∴2x+∈,则g(x)的图象如图①所示, ∵g(x)是f(x)的“3重覆盖函数”,∴0≤f(x)≤1,∴0≤tan x≤1在[0,m](m>0)上有解,∴0<m≤. (3)∵f(x)=,x∈[5,6],∴≤f(x)≤,令f(x)=k,k∈,∵g(x)=,x∈(0,+∞)为f(x)=,x∈[5,6]的“9重覆盖函数”,∴关于x的方程=k在(0,+∞)上有9个实根,即关于x的方程1-|sin ωx|=kx在(0,+∞)上有9个实根,作出y=1-|sin ωx|与y=kx在(0,+∞)上的大致图象如图②所示, 由图可知,当k=时,解得1<<,当k=时,解得<<,综上,要满足题意,则<<,即<ω<. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$