第50讲 巧求面积-【小学数学新思维】三年级全国通用版

170 小学数学新思维  三年级 第 50 讲  巧求面积 【知识要点】 面积公式：长方形的面积 = 长 × 宽，正方形的面积 = 边长 × 边长。 【例题精讲】 【例题 1】 已知下面图形中各线段的长度，求它们的面积。（单 位：米） （1）                        （2） 【解析】利用分割的方法。（1）分割成 1 个长方形和 1 个正方形，长 方形的面积是 2×（4+1） =10（平方米），正方形的面积是 1×1=1（平方 米），整个图形的面积是 10+1=11（平方米）。（2）竖向或者横向分割，分 割成 3 部分，分别求各部分的面积，再相加。 巧求面积 平移法 分割法 添补法 旋转法 对称法 2 3 4 1 2 2 2 3 3 5 171 【例题 2】把一张长为 4 米，宽为 3 米的长方形木板，切割掉一个 面积最大的正方形。剩下的面积是多少平方米？ 【解析】切割掉的正方形的边长是 3 米，面积是 3×3=9（平方米）。原 来长方形的面积是 4×3=12（平方米），剩下的面积是 12-9=3（平方米）。 【例题 3】有一块长方形菜地，长 16 米、宽 8 米。菜地中间留 了两条宽 2 米的小路，把菜地分成了 4 块（如下图）。菜地的实际面积是 多少？ 【解析】方法一：利用平移的方法，把小路平移到最上面和最左边， 菜地的长就是 16-2=14（米），宽就是 8-2=6（米），实际面积是 14×6=84 （平方米）。方法二：用原来菜地的面积减去小路的面积，原来菜地的面积 是 16×8=128（平方米），小路的面积是 2×8+2×16-2×2=44（平方米）， 菜地的实际面积就是 128-44=84（平方米）。 第 50 讲  巧求面积 172 小学数学新思维  三年级 【例题 4】有两个相同的长方形，长是 8 厘米，宽是 3 厘米。如果 把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少？ 【解 析】 方法一：直接求 3 个图形的面积，5×3×2+3×3=39（平 方 厘 米）。方法二：两个长方形的面积和减去重叠的正方形的面积，8×3×2- 3×3=39（平方厘米）。 【例题 5】一个长为 10 厘米，宽为 6 厘米的长方形，将一个边长 为 5 厘米的正方形遮住了一部分（如下图），两个阴影部分的面积差是多 少平方厘米？ 【解析】把长方形中的阴影面积表示为 ①，正方形中的阴影面积表示 为 ②，要求它们的面积差，即 ① - ②。根据同增同减差不变，所以两部分 173 的阴影同时增加空白部分的面积，差是不变的。两个阴影部分的面积差就 是长方形的面积与正方形的面积差，即 10×6-5×5=35（平方厘米）。 【随堂练习】 1. 计算下面图形的面积。（单位：厘米） （1）                      （2） 2. 把一块长 2 米、宽 6 分米的长方形铁板，切割成一个面积最大的正 方形，剩下的铁板面积是多少？ 11 2 2 3 10 2 5 5 6 10 第 50 讲  巧求面积 174 小学数学新思维  三年级 3. 两张边长是 8 厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌子上（如下 图），桌面被盖住的面积是多少？ 4.有一块边长是10米的正方形菜地，在菜地里修了一条宽2米的“十” 字形小路（如下图）。这条“十”字形小路的面积是多少？         8 8 8 8 4 4 209 随堂练习参考答案 （2）可以平移成长 8 厘米、宽 3 厘米的长方形，还有 2 条长 2 厘米的线段，所以图形的周 长是（8+3）×2+2+2=26（厘米）。 3. 拼成长方形后，减少了 2 条边长，正方形的边长是 10÷2=5（厘米），周长是 5×4=20 （厘米）。 4. 方法一：小长方形的长是 30÷2=15（厘米），宽是 30÷3=10（厘米），6 个小长方形的 周长和是（15+10）×2×6=300（厘米），正方形的周长是 30×4=120（厘米），增加了 300- 120=180（厘米）。 方法二：剪 1 刀，多 2 条线段，剪 3 刀就多了 6 条线段。每条线段长 30 厘米，增加了 30×6=180（厘米）。 【第 49 讲随堂练习】 1. 正方形的周长是 38-5-5=28（厘米），边长是 28÷4=7（厘米）。大长方形的长是 7+5=12 （厘米），宽是 7 厘米。 2. 长方形的周长是（12+9）×2=42（厘米），正方形的周长是 78-42=36（厘米），边长是 36÷4=9（厘米）。 3. 先剪去一个最大的正方形后，剩下的长方形长为 15 厘米，宽为 28-15=13（厘米）。再剪 去一个最大的正方形后，剩下的长方形长为 13 厘米，宽为 15-13=2（厘米），周长是（13+2）×  2=30（厘米）。 4. 长方形有 1+2+3+4+…+7+8+9+10=（1+10）×10÷2=55（个）。刚好平移成一个长方形， 长是 10×10=100（厘米），宽是 4×10=40（厘米），周长是（100+40）×2=280（厘米）。 5. 大长方形的长是 12×5=60（厘米），小长方形的长是 60÷4=15（厘米），大长方形的宽 是 15+12=27（厘米），大长方形的周长是（60+27）×2=174（厘米）。 6. 剪 1 刀，会多出 2 条线段。沿着宽剪 2 刀，多出 2×2=4（条）线段，多出的长度是 12×4=48（厘米）；沿着长剪 2 刀，多出 2×2=4（条）线段，多出的长度是 18×4=72（厘米）。 一共多出 48+72= 120（厘米）。 【第 50 讲随堂练习】 1.（1）利用分割法。上面一块的面积是 2×2=4（平方厘米）。下面一块的长是 2+1+1=4 （厘米），面积是 4×3=12（平方厘米）。总面积是 4+12=16（平方厘米）。 （2）利用分割的方法：竖着分成 3 个长方形。 第一个长方形的面积是 6×（10-2-5）=18（平方厘米），第二个长方形的面积是（10-5）×  2=10（平方厘米），第三个长方形的面积是 10×5=50（平方厘米），总面积是 18+10+50=78（平 210 小学数学新思维  三年级 方厘米）。 2. 2 米 =20 分米。最大的正方形的边长是 6 分米，剩下的长方形的长是 20-6=14（分米）， 宽是 6 分米，面积是 14×6=84（平方分米）。 3. 方法一：利用分割法。分割成 7 个小正方形，每个小正方形的边长是 4 厘米，总面积是 4×4×7= 112（平方厘米）。 方法二：两个大正方形的面积 - 小正方形的面积 =8×8+8×8-4×4=112（平方厘米）。 4. 方法一：小路的面积 = 两条小路的面积 - 重合部分的面积 =10×2+10×2-2×2=36（平 方米）。 方法二：利用平移法，将横着的小路平移到最上面，竖着的小路平移到最左边。小路的面 积 = 大正方形的面积 - 空白部分的面积 =10×10-（10-2）×（10-2）=36（平方米）。 【第 51 讲随堂练习】 1. 先洗水壶 2 分钟；再烧开水，烧水的同时去买茶叶和洗茶杯，需要 12 分钟；最后冲茶 1 分钟。一共需要 2+12+1=15（分钟）。 2. 第一个烧饼的正面和第二个烧饼的正面一起烙，用时 2 分钟。第一个烧饼拿下来，烙第 二个烧饼的反面和第三个烧饼的正面，用时 2 分钟。再烙第三个烧饼的反面和第一个烧饼的反 面，用时 2 分钟。一共需要 2+2+2=6（分钟）。 3. 在安排收割的顺序时，应该使等待的时间尽可能少，所以应该安排收割时间少的人先收 割，收割的顺序是乙、丁、丙、甲。 四人收割的时间和为 1+2+3+4=10（小时），等待的时间为 1×3+2×2+3=10（小时），最少 用时 10+10=20（小时）。 4. 每次赶的两匹马的过河时间要接近。第一次把甲、乙两匹马赶过去，骑甲马回来，用时 3+2=5（分钟）；第二次赶丙、丁两匹马过河，骑乙马回来，用时 7+3=10（分钟）；第三次赶 甲、乙两匹马过河，用时 3 分钟。最少需要 5+10+3=18（分钟）。 【第 52 讲随堂练习】 1. 1 个人唱 3 首歌是 9 分钟，9 个人同时唱 3 首歌也是 9 分钟。 2. 利用倒推法。19 天长到 36÷2=18（厘米），18 天长到 18÷2=9（厘米）。 3. 让其他 4 堆数量最少，分别是 1 颗、2 颗、3 颗、4 颗，所以最多的一堆可以放 20-1-2- 3-4=10（颗）。 4. 要一个人来回划船，所以每次只能载 5-1=4（人）。（20-1）÷4=4（次）……3（人），一 共需要 4+1=5（次）。