精品解析：山东省泰安市宁阳县第十二中学（五四制）2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024—2025学年义务教育学月质量素养培优监测 八年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义，二次根式有意义的条件列出不等式求解即可 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 故选：D 2. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键． 根据二次根式的加法对A进行判断，根据二次根式的减法法则对B进行判断，根据二次根式的乘法对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A． ，计算错误，故选项不符合题意； B． ，计算错误，故选项不符合题意； C． ，计算错误，故选项不符合题意； D． ，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数，分母有理化，掌握有理化因式的确定是解题的关键． 根据互为倒数的数乘积为1，得，然后进行分母有理化即可； 【详解】互为倒数的数乘积为1， ， 故选：A． 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，根据数轴判断出式子的正负是解题关键．根据数轴推出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ， 故选：D． 5. 用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】解： ∴， ∴； 故选B． 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而菱形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．根据矩形和菱形的性质进行解答即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分，不一定相等． 故选：C． 7. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（　　） A. 20 B. 30 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图1中，连接，，交点为．在图2中，理由勾股定理求出，在图1中，只要证明等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1中，连接，，交点为，． 在图2中，∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在图1中，∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是_____． 甲：连接，作的中 垂线交于， 则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． A. 甲正确，乙错误 B. 甲、乙均错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙均正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据甲的作法作出图形，首先证明，可得，其次根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，可判断四边形是菱形；根据乙的作法作出图形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再由角平分线的定义和平行线的性质可得，可判断四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：根据甲的作法作出图形，如下图所示. ， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 故甲作法正确； 根据乙的作法作出图形，如下图所示. ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 故乙的作法正确； 综上所述，甲、乙均正确， 故选：D． 9. 四边形中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】A．，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； B． ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C． ， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形，故本选项符合题意； D．，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：B． 10. 如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E．连结，若，则的长为（　　） A. 5 B. 8 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点O． 由作图可知：平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∴ 在中，． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的判定是解题的关键． 11. 在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，，，则矩形的面积为（ ） A. 18 B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明是等边三角形是解题关键．由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而求得的度数，根据勾股定理，结合，即可求得的长，再求出的长，最后求出矩形的面积即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 12. 如图，正方形的边长为，动点从点出发，沿的路径以每秒的速度运动（点不与点、点重合），设点运动时间为秒，四边形的面积为，则下列图像能大致反映与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点P的路线，找到临界点为D点，则分段讨论P在边AD、边DC上运动时的y与x的函数关系式． 【详解】当0≤x≤4时，点P在AD边上运动， 则y=（x+4）4=2x+8. 当4≤x≤8时，点P在DC边上运动， 则y═（8-x+4）4=-2x+24， 根据函数关系式，可知D正确 故选D． 【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了一次函数图象性质，应用了数形结合思想． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同是同类二次根式，先化简，根据最简二次根式被开方数相等，由此可得出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：． 当时，与是同类二次根式． 故答案为：4． 14. 菱形的两条对角线长分别为12，16，则这个菱形的周长是_________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 如图：四边形是菱形，，利用菱形的性质先求出和，再利用勾股定理求出的长，再求菱形的周长即可． 【详解】解：如图四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴菱形的周长为40． 故答案为：40． 15. 已知，则的值为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． ∴ 故答案为：24． 16. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 17. 如图，四边形是菱形，于H，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理．利用菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为： 18. 已知，如图，，作正方形，周长记作；再作第二个正方形，周长记作，继续作第三个正方形，周长记作；点在射线上，点在射线上，．依此类推，则第个正方形的周长=_______． 【答案】2n＋1 【解析】 【分析】根据题意，；第二个正方形边长，则；同理；依此类推． 【详解】解： 则； 第二个正方形边长 ； 同理 依此类推，第n个正方形的边长为 故答案为：． 【点睛】本题考查找规律的题型，找到正方形边长的规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）2 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的加减运算法则计算即可； （2）按照二次根式的混合运算法则求解即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可； （4）运用二次根式的性质、平方差公式、完全平方公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 20. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） （5）用配方法解方程： 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握常见的一元二次方程求解方法成为解题的关键． （1）运用平方差公式和因式分解法求解即可； （2）先整理成，然后运用公式法求解即可； （3）直接运用因式分解法求解即可； （4）先把方程化成一般式，然后运用因式分解法求解即可； （5）运用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以该方程解为：． 【小问2详解】 解： ， ， 所以， 所以，该方程的解为：． 【小问3详解】 解：， ， ， 所以该方程的解为：． 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以该方程的解为：． 【小问5详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 所以该方程的解为：． 21. 已知：的两条高分别为，点M为的中点． （1）求证：． （2）连接，N是的中点，连接，若，求的长 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半以及等腰三角形“三线合一”的性质成为解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线的性质推出即可证明结论． （2）由等腰三角形的性质推出，由勾股定理求出，进而求得的长． 【小问1详解】 证明：如图：∵的两条高分别为， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，N是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴． 22. 如图，四边形为矩形，O为中点，过点O作的垂线分别交、于点E、F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由条件可先证四边形为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论； （2）由菱形的性质可求得，设，在和中，分别利用勾股定理可得到关于的方程，可求得的长． 【小问1详解】 证明：为中点，， 为的垂直平分线， ，， 则，． ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴， 四边形平行四边形． 又， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ，， ， 设， 在中，， 在中，． ， 解得， ． 23. 小明在解决问题：已知，求值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和求值，熟练掌握分母有理化的方法、弄清题干中提供的求值方法是解题的关键； （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将式子中的每一项都分母有理化，再计算加减即可； （3）仿照题干中的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴，即 ∴． 24. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为的中点，延长至G，使，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）当与满足时，四边形是矩形 【解析】 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是平行四边形得出，即可得，结合点分别为的中点，得出，即可证明； （2）当与满足时，四边形是矩形．根据是平行四边形得出，结合，得出，根据等腰三角形性质得出，即可得，，再根据是的中点，得出，故，根据，得出，得出，即可证明． 【小问1详解】 证明：平行四边形的对角线与相交于点， ， ， ∵点分别为的中点 ， ， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：当与满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵平行四边形的对角线与相交于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 25. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年义务教育学月质量素养培优监测 八年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 2. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 矩形具有而菱形不一定具有性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 7. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（　　） A. 20 B. 30 C. D. 8. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是_____． 甲：连接，作中 垂线交于， 则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． A. 甲正确，乙错误 B. 甲、乙均错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙均正确 9. 四边形中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 10. 如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E．连结，若，则的长为（　　） A 5 B. 8 C. 12 D. 10 11. 在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，，，则矩形面积为（ ） A. 18 B. C. D. 16 12. 如图，正方形的边长为，动点从点出发，沿的路径以每秒的速度运动（点不与点、点重合），设点运动时间为秒，四边形的面积为，则下列图像能大致反映与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则x值为______． 14. 菱形的两条对角线长分别为12，16，则这个菱形的周长是_________． 15. 已知，则的值为________． 16. 一元二次方程的根是______． 17. 如图，四边形是菱形，于H，则等于________． 18. 已知，如图，，作正方形，周长记作；再作第二个正方形，周长记作，继续作第三个正方形，周长记作；点在射线上，点在射线上，．依此类推，则第个正方形的周长=_______． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 20. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） （5）用配方法解方程： 21. 已知：的两条高分别为，点M为的中点． （1）求证：． （2）连接，N是的中点，连接，若，求的长 22. 如图，四边形为矩形，O为中点，过点O作的垂线分别交、于点E、F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 24. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为的中点，延长至G，使，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 25. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $