【第二十四章 圆 01讲 圆的有关性质】【六大知识点+18大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十四章 圆 01讲 圆的有关性质 题型归纳 【题型1. 圆的概念辨析】……………………………………………………………… 5 【题型2. 求圆内的弦】………………………………………………………………… 6 【题型3. 利用垂径定理求值】………………………………………………………… 6 【题型4. 利用垂径定理求平行弦问题】……………………………………………… 9 【题型5. 利用垂径定理求解其他问题】……………………………………………… 9 【题型6. 垂径定理的推论】…………………………………………………………… 11 【题型7. 垂径定理的实际应用】……………………………………………………… 12 【题型8. 利用弧、弦、圆心角的关系求解】………………………………………… 15 【题型9. 利用弧、弦、圆心角的关系求证】………………………………………… 16 【题型10. 圆心角的概念及简单运算】……………………………………………… 18 【题型11. 求圆弧的度数】…………………………………………………………… 19 【题型12. 求圆周角的概念及简单运算】…………………………………………… 20 【题型13. 圆周角定理】……………………………………………………………… 21 【题型14. 同弧或等弧所对的圆周角相等】………………………………………… 22 【题型15. 直径所对的圆周角是直角】……………………………………………… 24 【题型16. 90°的圆周角所对的弦是直径】………………………………………… 26 【题型17. 已知圆内接四边形求角度】……………………………………………… 27 【题型18. 求四边形外接圆的直径】………………………………………………… 29 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 31 知识清单 知识点1 圆 1.圆的概念：如图24.1-3，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点 O叫做圆心；线段OA叫做半径； 2.圆的表示：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 知识点2 与圆有关的概念 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图24.1-5，AC是弦； 2.直径：经过圆心的弦叫做直径，如图24.1-5，AB是直径； 3.圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，B为端点 的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 大于半圆的弧（用三个点表示，如图24.1-5中的 ）叫做优弧；小于半圆的弧（如图24.1-5中的 ）叫做劣弧. 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆. 半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等. 6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 知识点3 垂直于弦的直径 1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 【提示】圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线. 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.A B C D O 3.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧. 【提示】 ① 定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径， 甚至可以是过圆心的直线或线段； ② 推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立了，如图，当弦CD为直径时，AB平分CD于点O，但AB不垂直于CD； ③ 利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等，一条弦垂直平分另一条弦、一条线段是直径. 4.垂径定理的应用：应用时构造直角三角形，利用勾股定理求解， 如图，它们的关系为 ， . 知识点4 弧、弦、圆心角 1.圆心角的概念：把顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3.定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣弧分别相等. 【提示】 ① 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等； ② 在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 知识点5 圆周角 1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，把这样的角叫做圆周角. 如图24.1-11，∠ACB是圆周角. 【提示】（1）圆周角必须具备两个特征：① 顶点在圆上；② 两边都与圆相交. （2）同一条弧所对的圆周角有无数个. 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【提示】 ① 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦及两个圆周角中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等； ② 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这三角形是直角三角形. 知识点6 圆内接四边形 1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图24.1-16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形 ABCD的外接圆. 2.性质：圆内接四边形的对角互补. 【提示】 ① 内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系； ② 每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的，四边形才存在外接圆； ③ 圆内接四边形外角等于内对角（圆内接四边形的性质，解答题可直接用）. 如图，∵ ∠BAD+∠BAE=180°（平角的定义） ∠C+∠∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴ ∠BAE=∠C 题型专练 题型1. 圆的概念辨析 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】（2025·湖北恩施·二模）如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．① 【变式4】（24-25九年级下·湖北孝感·期中）如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型2. 求圆内的弦 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 题型3. 利用垂径定理求值 【例1】（2025·广西玉林·三模）高速公路的隧道和桥梁较多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（   ） A．5米 B．6米 C．米 D．米 【例2】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 【变式1】（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 【变式3】（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【变式4】（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 题型4. 利用垂径定理求平行弦问题 【例1】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 题型5. 利用垂径定理求解其他问题 【例1】（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【变式2】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 【变式3】（23-24九年级上·湖北十堰·期中）如图，内接于，于点，于点，求证：． 题型6. 垂径定理的推论 【例1】（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【变式1】（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ． 【变式3】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 【便是4】（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 题型7. 垂径定理的实际应用 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进厂门形状如图所示的某工厂（厂门上方为半圆形拱门），问这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由． 【变式1】（2025·江苏南京·二模）在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广西玉林·三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【变式4】（24-25九年级上·江西新余·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 图形 任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 题型8. 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【变式4】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 题型9. 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例1】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【例2】（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知：如图，在中，直径垂直弦于点，连接，．求证：． 【变式4】（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 题型10. 圆心角的概念及简单运算 【例1】（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 题型11. 求圆弧的度数 【例1】（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【变式3】（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 题型12. 求圆周角的概念及简单运算 【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型13. 圆周角定理 【例1】（2025·陕西渭南·三模）如图，已知是的直径，、是的弦，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，，，均是上的点，，，求证：． 【变式1】（2025·山西阳泉·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知点，，，是上的四个点，于点，若，，，，连结，求的度数． 【变式3】（2025·广东·二模）如图，点C在以为直径的上． (1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证： 题型14. 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例1】（2025·海南三亚·模拟预测）如图，为的直径，C，D为上两点，，连接，，则的度数为（   ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【例2】（24-25九年级上·西藏林芝·期中）如图，在中，，证明：． 【变式1】（2025·青海·中考真题）如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，则的长． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，，是的直径，点在上，，求证：． 题型15. 直径所对的圆周角是直角 【例1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在中，是直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【变式3】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，连接，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式4】（2025九年级下·全国·专题练习）已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数． 题型16. 90°的圆周角所对的弦是直径 【例1】（2025·江苏盐城·一模）如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ） A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【变式1】（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点． 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图 ． (1)如左图， A、B、C三点是格点，画出经过这三点的圆的圆心O ； (2)如右图， A、B、C、Q四点是格点，在劣弧上找一点D，使得弦 ． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，，过点作于点于点． 求证：． 题型17. 已知圆内接四边形求角度 【例1】（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 【变式1】（2025·云南临沧·一模）如图，点，，，，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·四川广元·三模）如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的关系，并给予证明． 题型18. 求四边形外接圆的直径 【例1】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·陕西西安·三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【变式3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，点C是的中点，点D在优弧上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·三模）如图，点A，B，C在半径为3的上，，则的长为（　　） A． B． C． D．3 3．（2025·山西长治·二模）将的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段上（不与A，B重合），则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，内接于是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交AC、BC于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线CD交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河北邢台·三模）如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 7．（2025·广西来宾·模拟预测）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ） A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 9．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 10．（2025·广东广州·二模）如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的直径是弧的三等分点，D是弧的中点，且位于直径的两侧，连接，则的度数为 ． 12．（2025·广东汕头·三模）如图，为的直径，是弦，若，则的度数为 ． 13．（2025·广东东莞·三模）如图，四边形是的内接四边形，若，则 ． 14．（2025·宁夏银川·三模）以下命题中，正确的有 ．（填序号） ①过三点一定有一个圆； ②同弧所对的圆周角相等； ③平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两段弧； ④三角形的外心是三个内角的角平分线交点． ⑤等边三角形的内心与外心重合； ⑥长度相等的弧是等弧 15．（2025·宁夏银川·二模）如图，已知四边形内接于，点是劣弧的中点，连接，若，则的度数为 ． 16．（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 17．（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度． 18．（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ． 19．（2025·浙江杭州·三模）如图，，皆为半圆，与相交于E点，其中、、、在同一直线，且为的中点，若，则的度数为 ． 20．（2025九年级下·北京·学业考试）如图，是的直径，是的弦，D为上一点，过点D作，交于点E，交于点F，，连接．若，则的长为 ． 三、解答题 21．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 22．（2025·河南周口·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，且为的直径，小明想知道四边形一组对角的平分线有怎样的位置关系，于是就作出的平分线交于点． (1)请你用尺规作图作出的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系，并说明理由． 23．（2025·宁夏中卫·二模）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：； 24．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，是的弦，是的半径，且，垂足为，连接，，． (1)求证：； (2)求的半径． 25．（2025·浙江·三模）如图，，，在上，连结，，求作的中点． 下面是甲同学的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点，即为所求． (1)请根据甲同学的作法，在图中画出点，并判断该作法是否正确，说明理由． (2)请尝试用其他方法，在图中画出点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 26．（2025·安徽安庆·三模）已知，四边形内接于，为直径，与的延长线相交于点，平分与相交于点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，求的半径． 27．（2025·湖南永州·模拟预测）回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 28．（2025·浙江丽水·二模）如图，内接于，直径交于点，已知． (1)求证：． (2)设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）． (3)若，求的值． 29．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：对角线相垂直的四边形为“优秀四边形”． (1)已知外接圆为为直径．将沿翻折得，恰好在上，连接交于为中点，．证明四边形为优秀四边形． (2)证明：． 31．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 32．（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 33．（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 探索求圆半径的方法 背景 素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题． 任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____． 任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径． 任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）． 任务四 （4）若矩形纸片的长，宽，猜想：绕______（填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆 01讲 圆的有关性质 题型归纳 【题型1. 圆的概念辨析】……………………………………………………………… 5 【题型2. 求圆内的弦】………………………………………………………………… 9 【题型3. 利用垂径定理求值】………………………………………………………… 10 【题型4. 利用垂径定理求平行弦问题】……………………………………………… 16 【题型5. 利用垂径定理求解其他问题】……………………………………………… 18 【题型6. 垂径定理的推论】…………………………………………………………… 22 【题型7. 垂径定理的实际应用】……………………………………………………… 26 【题型8. 利用弧、弦、圆心角的关系求解】………………………………………… 32 【题型9. 利用弧、弦、圆心角的关系求证】………………………………………… 37 【题型10. 圆心角的概念及简单运算】……………………………………………… 41 【题型11. 求圆弧的度数】…………………………………………………………… 44 【题型12. 求圆周角的概念及简单运算】…………………………………………… 47 【题型13. 圆周角定理】……………………………………………………………… 50 【题型14. 同弧或等弧所对的圆周角相等】………………………………………… 54 【题型15. 直径所对的圆周角是直角】……………………………………………… 58 【题型16. 90°的圆周角所对的弦是直径】………………………………………… 64 【题型17. 已知圆内接四边形求角度】……………………………………………… 67 【题型18. 求四边形外接圆的直径】………………………………………………… 72 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 77 知识清单 知识点1 圆 1.圆的概念：如图24.1-3，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点 O叫做圆心；线段OA叫做半径； 2.圆的表示：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 知识点2 与圆有关的概念 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图24.1-5，AC是弦； 2.直径：经过圆心的弦叫做直径，如图24.1-5，AB是直径； 3.圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，B为端点 的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 大于半圆的弧（用三个点表示，如图24.1-5中的 ）叫做优弧；小于半圆的弧（如图24.1-5中的 ）叫做劣弧. 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆. 半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等. 6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 知识点3 垂直于弦的直径 1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 【提示】圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线. 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.A B C D O 3.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧. 【提示】 ① 定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径， 甚至可以是过圆心的直线或线段； ② 推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立了，如图，当弦CD为直径时，AB平分CD于点O，但AB不垂直于CD； ③ 利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等，一条弦垂直平分另一条弦、一条线段是直径. 4.垂径定理的应用：应用时构造直角三角形，利用勾股定理求解， 如图，它们的关系为 ， . 知识点4 弧、弦、圆心角 1.圆心角的概念：把顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3.定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣弧分别相等. 【提示】 ① 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等； ② 在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 知识点5 圆周角 1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，把这样的角叫做圆周角. 如图24.1-11，∠ACB是圆周角. 【提示】（1）圆周角必须具备两个特征：① 顶点在圆上；② 两边都与圆相交. （2）同一条弧所对的圆周角有无数个. 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【提示】 ① 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦及两个圆周角中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等； ② 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这三角形是直角三角形. 知识点6 圆内接四边形 1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图24.1-16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形 ABCD的外接圆. 2.性质：圆内接四边形的对角互补. 【提示】 ① 内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系； ② 每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的，四边形才存在外接圆； ③ 圆内接四边形外角等于内对角（圆内接四边形的性质，解答题可直接用）. 如图，∵ ∠BAD+∠BAE=180°（平角的定义） ∠C+∠∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴ ∠BAE=∠C 题型专练 题型1. 圆的概念辨析 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆的相关定义，掌握相关知识点是解题关键．先证明，推出，再根据等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【例2】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，先连接，结合半径相等以及菱形的性质得，故都是等边三角形，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴都是等边三角形， ∴， 即， 故选：B 【变式1】（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次，故选：B． 【变式2】（2025·湖北恩施·二模）如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合等边对等角求得，，再根据平行线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．① 【分析】本题考查的是圆的认识．根据等圆、等弧的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】解：①直径是弦，说法正确； ②半径相等的圆是等圆，不是同心圆，原说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误． 综上，正确的只是①， 故选：D． 【变式4】（24-25九年级下·湖北孝感·期中）如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查圆的基本性质，等边三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 由题意得是等边三角形，则，进而可得． 【详解】解：如图所示，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 题型2. 求圆内的弦 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 【变式3】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 题型3. 利用垂径定理求值 【例1】（2025·广西玉林·三模）高速公路的隧道和桥梁较多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（   ） A．5米 B．6米 C．米 D．米 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是通过代数转换将所求用半径代数式代替，在直角三角形中用勾股定理进行求解．根据垂径定理可得米，表示出 ，再根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵且经过点O， ∴米， ∵米， ∴米， 在中根据勾股定理可得： ， 即 ， 解得：米， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到，设的半径为，则，利用勾股定理求出，即可得到直径的长． 【详解】证明：∵为的直径，， ， 设的半径为， 则， 在中，， ， 解得：， ∴的半径为13， ∴的直径为26． 【变式1】（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，进而由勾股定理得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：于点，， ，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：． 【变式2】（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ， ， ， ， 为直径，， ， 在中， ， ， 解得：（舍去），， 故的半径为． 【变式3】（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【变式4】（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； （1）连接，设喷泉的半径为，则：，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可知米，然后根据圆的周长可进行求解． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ， 是弦的中点， 平分弦，， ， ， ， 米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， ∴（盏） 答：大约需要安装24盏景观灯． 题型4. 利用垂径定理求平行弦问题 【例1】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2．故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 题型5. 利用垂径定理求解其他问题 【例1】（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 【分析】本题考查了垂径定理和等腰三角形的性质三线合一，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点O点作，垂足为M，根据垂径定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可求证． 【详解】证明：过点O点作，垂足为M． ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（23-24九年级上·湖北十堰·期中）如图，内接于，于点，于点，求证：． 【分析】本题考查了垂径定理，中位线的性质； 根据垂径定理，可得分别是的中点，进而根据中位线的性质，即可得证． 【详解】解：∵内接于，于点，于点， ∴ ∴是的中位线， ∴． 题型6. 垂径定理的推论 【例1】（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 【例2】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到是解答的关键．连接，先根据垂径定理的推论得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式1】（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ． 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理的推论，掌握垂径定理的推论，坐标与图形的关系是解题的关键． 根据垂径定理的推理“垂直平分弦的直线经过圆心”，分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，分别作的垂直平分线交于点， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”． 【详解】证明：∵是直径，点是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴． 【便是4】（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接，并设圆的半径为r；由垂径定理推论得，；在中，利用勾股定理建立方程即可求得半径． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为r； ∵D是中弦的中点， ∴，； ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：； 答：的半径为． 题型7. 垂径定理的实际应用 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，由垂径定理得到，且，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案，熟记圆的性质、垂径定理与勾股定理在圆中求线段长的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，隧道最高点，到地面的距离为， 由圆的对称性可知，延长，必过圆心，如图所示： 由垂径定理可知，且， 设的半径为， 在中，，，，，由勾股定理可得， 解得， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进厂门形状如图所示的某工厂（厂门上方为半圆形拱门），问这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由． 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理，进行解答，即可． 【详解】解：卡车能通过厂门，理由如下： 如图，，为卡车的宽度，过点，作的垂线交半圆于，，过点作，为垂足， ∴，， 由作法可得，，， ∴， ∴， ∵卡车高， ∴， ∴卡车能通过厂门． 【变式1】（2025·江苏南京·二模）在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C． 【变式2】（2025·广西玉林·三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：设寸， ，AB是直径， 寸， ， ， ， 寸． 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 【变式4】（24-25九年级上·江西新余·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 图形 任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 【分析】（1）根据线段垂直平分线交点得到圆心，即可求解； （2）根据题意，米，米，，如图所示，连接，设，则（米），在中，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可得，设二次函数解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，线段垂直平分线交点得到圆心， ∴不在同一条直线上的个点确定一个圆， 故答案为：； （2）根据题意，米，米，， 如图所示，连接， ∴， 设，则（米）， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴所在圆的半径是米； （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴函数解析式为． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，掌握垂径定理，二次函数图象的性质及运用是解题的关键． 题型8. 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， ∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， ∴这条弦的长度为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 【分析】本题主要考查了圆心角与弦之间的关系，等边三角形的性质与判定，连接，根据圆心角与弦之间的关系和平角的定义可证明，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， 连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即 【详解】解： 为的直径， 点 C、D 是的三等分点 的度数是 故答案为 【变式4】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 题型9. 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例1】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线定理、三角形的三边关系判断即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】解：A、在小圆O中，，O到弦距离等于O到弦距离，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵，，∴故本选项说法正确，不符合题意； C、∵大圆半径是小圆半径的2倍， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； D、在中，， ∵， ∴，故本选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【分析】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，根据 ，得出，进而可得，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知：如图，在中，直径垂直弦于点，连接，．求证：． 【分析】本题主要考查了垂径定理，弧与圆心角的关系等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得，然后根据弧与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】证明：直径垂直弦于点， ， ． 【变式4】（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 题型10. 圆心角的概念及简单运算 【例1】（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 【变式1】（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 【分析】本题主要考查了圆心角，特殊平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角和对应的弧的关系，分别分析得出答案，熟练掌握圆周角定理，矩形、菱形、正方形的判定进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故A说法错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B说法错误； 对角线相等的四边形不一定是矩形，故C说法错误； 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D说法正确， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 题型11. 求圆弧的度数 【例1】（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 【变式3】（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 题型12. 求圆周角的概念及简单运算 【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 【变式3】（2023·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 题型13. 圆周角定理 【例1】（2025·陕西渭南·三模）如图，已知是的直径，、是的弦，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先求得，然后由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，，，均是上的点，，，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，圆周角定理，先根据圆周角定理得，再根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（2025·山西阳泉·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了垂径地理，圆周角定理，根据垂直得到，由圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设于点， ∴， ∵， ∴， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， 故选：D ． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知点，，，是上的四个点，于点，若，，，，连结，求的度数． 【分析】本题考查了圆周角定理，三线合一，等边对等角，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．在延长线上截取，结合圆周角定理得，整理线段的关系得，因为，则，即，整理得，得，结合，则，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：在延长线上截取，连接，，，如图所示： ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 则． 【变式3】（2025·广东·二模）如图，点C在以为直径的上． (1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证： 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，圆周角定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，作的平分线交于点D，即可作答． （2）根据直径所对的圆周角是直角，再结合角平分线的定义，得出，因为等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可作答． 【详解】（1）解：的平分线交于点D，如图所示： （2）解：依题意，连接， ∵点C在以为直径的上， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， 即． 题型14. 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例1】（2025·海南三亚·模拟预测）如图，为的直径，C，D为上两点，，连接，，则的度数为（   ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理的推论，熟悉相关知识点是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得出，再结合及圆周角定理可求的度数． 【详解】为的直径， ， 又， ， ． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·西藏林芝·期中）如图，在中，，证明：． 【分析】本题考查圆周角定理的推论，全等三角形的判定．先根据圆周角定理的推论得到，然后根据证明两三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． 【变式1】（2025·青海·中考真题）如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，则的长． 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得出，证明，由圆周角定理得，即可得出结论； （2）由垂径定理得，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是直径， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，，是的直径，点在上，，求证：． 【分析】题目主要考查圆周角定理及平行线的判定，连接，根据题意得出，确定，即可证明． 【详解】证明：连接， ∵，   ∴， ∴， ∵ ∴, ∵ ∴， ∴， ∴． 题型15. 直径所对的圆周角是直角 【例1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在中，是直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和． 先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵是直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【例2】（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，以及平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，则直线即为直线，由圆周角定理可得，即，而，则； （2）连接，并延长交于点，过点的直线即为直线，由圆周角定理可得，那么，则，而，则． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，根据直径所对的圆周角为直角，得，由圆周角定理，得，求得，再由等腰三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，三角形内角和定理等知识，属于基础题． （1）连接，则，由等腰三角形的性质即可证得结论成立； （2）由等腰三角形的性质及，可求得等腰三角形的两个底角的度数，再直径对的圆周角是直角，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，连接，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，和等量代换的思想，正确应用定理是解题的关键． （1）连接，利用垂径定理及其推论，圆周角定理，等量代换思想即可证明； （2）根据题意，得，结合为的直径，得到，继而得到，利用三角函数计算即可得解． 【详解】（1）证明:连接， 为的直径，为弦，于点， ，，， ， ， ，， ， ， . （2）解:根据题意，得， ， ， ， 为的直径， ， ，     在中，， ， 解得:， ． 【变式4】（2025九年级下·全国·专题练习）已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数． 【分析】本题综合考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型16. 90°的圆周角所对的弦是直径 【例1】（2025·江苏盐城·一模）如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴的半径为， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ） A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 【变式1】（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是是解题的关键．由经过圆心O，即是的直径，可得，再根据圆周角定理可得，即可求出的度数． 【详解】解：经过圆心O，即是的直径， ， 又， ． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点． 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图 ． (1)如左图， A、B、C三点是格点，画出经过这三点的圆的圆心O ； (2)如右图， A、B、C、Q四点是格点，在劣弧上找一点D，使得弦 ． 【分析】（1）根据两直径相交于圆心，进而可求解． （2）根据直径垂直平分弦，作弦的垂线即可求解． 【详解】（1）解：连接，，作网格直线， ，且平分， 经过直径， ， 是直径， 则与的交点O即为圆心O， 如图所示，即为所求： （2）连接，取格点E，连接，则是的垂线，与圆相交于D，连接，， 由（1）得：直径， 是线段的垂直平分线， 是等腰三角形， ， 又， ， 如图，点D即为所求：    【点睛】本题考查了作图——尺规作图、垂径定理，熟练掌握直径垂直平分弦及两直径相交于圆心是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，，过点作于点于点． 求证：． 【分析】】本题考查了圆周角定理，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，根据圆周角定理得到，推出四边形是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到． 【详解】证明：是直径， ， 于点，于点， ， 四边形是矩形， ， ∵，， ， ， ， ． 题型17. 已知圆内接四边形求角度 【例1】（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 【例2】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，即为所求： 【变式1】（2025·云南临沧·一模）如图，点，，，，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，由题意可得四边形是的内接四边形，进而得到，结合，由即可求解． 【详解】解：由题意可得四边形是的内接四边形， ， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（2025·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3】（2025·四川广元·三模）如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由圆内接四边形的性质推出，求出，由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A ． 【变式4】（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的关系，并给予证明． 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形的性质． （1）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可； （2）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可． 【详解】（1）解：在优弧上取一点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 在优弧上取一点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 题型18. 求四边形外接圆的直径 【例1】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 【变式2】（2023·陕西西安·三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【分析】连接，则：，得到当三点共线时，P、C两点间的距离最小，根据菱形的性质，求出长，证明四点共圆，得到为的直径，即可得解． 【详解】解：连接， 则：， ∴当三点共线时，P、C两点间的距离最小， ∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵的外心为点P，三点共线， ∴为的直径， ∴， ∴P、C两点间的最小距离为1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明为的直径． 【变式3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【分析】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接，，， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，，， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，点C是的中点，点D在优弧上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系． 连接，可知，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·广东广州·三模）如图，点A，B，C在半径为3的上，，则的长为（　　） A． B． C． D．3 【分析】该题考查了圆周角定理和等边三角形的性质和判定，连接，根据圆周角定理得出，证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 3．（2025·山西长治·二模）将的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段上（不与A，B重合），则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，，根据题意可得，，得出，，再利用三角形外角的性质和三角形内角和定理得出的范围，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，， 由题意得，，， ，， ，， ，， ， 的度数可能为， 故选：A． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，内接于是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交AC、BC于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线CD交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了直径所对的圆周角是直角，尺规作角平分线，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，由作图可得，平分，求出，然后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】∵内接于是的直径， ∴ 由作图可得，平分 ∴ ∵ ∴． 故选：C． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，关键是判定是等腰直角三角形，由圆周角定理得到； 连接，判定是等腰直角三角形，得到，由圆周角定理推出 【详解】解：连接， 于点B， ， 是等腰直角三角形， ， 故选： 6．（2025·河北邢台·三模）如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、的圆周角所对的弦是直径、弧长计算，由，那么点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上，点O与点E不会重合，即点E不可能落在上；从点E在点C位置开始，点，运动路径的长度为以点A为圆心，分别以，为半径的弧长，且与转过的角度相等，那么点，运动路径的长度比始终保持与一致，据此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：， ∴， ∴点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上， ∴点O与点E不会重合，即点E不可能落在上，故甲对； 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 从点E在点C位置开始，点运动路径的长度为以点A为圆心，分别以为半径的弧长，且与转过的角度相等， ∵， ∴点运动路径的长度比始终为，故乙对； 故选：D． 7．（2025·广西来宾·模拟预测）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而了得出．根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， ∴， ∴ 故选：． 8．（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ） A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，方向角，关键是由圆的内接四边形的性质求出和的度数． 由平行线的性质推出，求出，故可判断A选项；连接，由圆的内接四边形的性质推出，求出，得到点D在点A的南偏东的方向上，故可判断B选项；求出，得到，因此点E在点A的南偏东方向上，故可判断C选项；由圆的内接四边形的性质求出，得到，故可判断D选项． 【详解】解：如图，    由题意可得， ∴， ∴， ∴，故A选项错误； 连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点A的南偏东的方向上，故B选项错误； ∵， ∴ ∴在四边形中，， ∴， ∴点E在点A的南偏东方向上，故C选项错误； ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴，故D选项正确． 故选：D 9．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 10．（2025·广东广州·二模）如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 【分析】利用垂径定理，勾股定理求出OD，即可由求解． 本题考查垂径定理，勾股定理，熟知 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ，故选：A 二、填空题 11．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的直径是弧的三等分点，D是弧的中点，且位于直径的两侧，连接，则的度数为 ． 【分析】由圆周角定理得到，，即可求出的度数． 本题考查圆周角定理，关键是掌握一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧度数的一半． 【详解】解：是弧的三等分点， ∴的度数， ， ， ， 是弧AB的中点， 的度数， ， 故答案为： 12．（2025·广东汕头·三模）如图，为的直径，是弦，若，则的度数为 ． 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟知上述性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ∵， ∴ ， 故答案为：． 13．（2025·广东东莞·三模）如图，四边形是的内接四边形，若，则 ． 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，由圆内接四边形对角互补，可得答案． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 故答案为：． 14．（2025·宁夏银川·三模）以下命题中，正确的有 ．（填序号） ①过三点一定有一个圆； ②同弧所对的圆周角相等； ③平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两段弧； ④三角形的外心是三个内角的角平分线交点． ⑤等边三角形的内心与外心重合； ⑥长度相等的弧是等弧 【分析】本题主要考查了垂径定理，弧、弦的关系定理，等边三角形的性质，弧与圆周角的关系定理，综合性较强，熟练掌握各个定理及性质是解题的关键，注意定理中应满足的条件． 【详解】①过共线的三点不存在圆，只有过不共线三点有且只有一个圆，故错误； ②根据圆周角定理，同弧所对的圆周角，故正确； ③若弦为直径，则平分它的直径不一定垂直于弦，故错误； ④三角形的外心是三边垂直平分线的交，故错误； ⑤等边三角形的内心、外心、重心等均重合，故正确； ⑧等弧需在同圆或等圆中，仅长度相等不满足条件，故错误． 故答案为②⑤． 15．（2025·宁夏银川·二模）如图，已知四边形内接于，点是劣弧的中点，连接，若，则的度数为 ． 【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，同弧所对圆周角的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用点是劣弧的中点，得出，再得出，利用三角形内角和定理，得出，最后利用圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 16．（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【分析】本题主要考查确定点的坐标，由点的坐标为得，连接，过点B作轴于点，则，再求出，可得，从而得点B的坐标． 【详解】解：连接，过点B作轴于点，如图， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点Ｂ是第四象限内的点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17．（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度． 【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出，再根据得出，进而即可求出答案． 【详解】解：连接， 是的直径， ， 又， ， ， 故答案为：45． 18．（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ． 【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接，则，当在上时，取最小值，即可求解；分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴ ∵， ∴当在上时，取最小值，最小值为； ∵为直角三角形， 当时， ∵点N是边上的中点，， ∴， ∵， ∴点B的对应点不能落在所在直线上， ∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得， ， ∴； 当时，如图所示 ∵， ∴、N、C三点共线， 设，则， ∴， 解得：， 综上所述的长为或5． 故答案为：8；或5． 19．（2025·浙江杭州·三模）如图，，皆为半圆，与相交于E点，其中、、、在同一直线，且为的中点，若，则的度数为 ． 【分析】本题主要考查圆的相关知识，涉及直径所对的圆周角为直角、圆周角定理和三角形内角和定理，连接和，则，利用直径所对的圆周角为直角和三角形内角和定理即可求得，再结合圆周角定理即可知的度数为． 【详解】解：连接和，如图， ∵的度数是， ∴， ∵为直径所对的圆周角为直角， ∴， ∴， 则的度数为， 故答案为：． 20．（2025九年级下·北京·学业考试）如图，是的直径，是的弦，D为上一点，过点D作，交于点E，交于点F，，连接．若，则的长为 ． 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，由垂径定理得到，则设，则，由勾股定理可得，解方程可求出，求出，则由勾股定理可得，即，解之即可得到答案． 【详解】解；，是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵是的直径， ． ， ∴在中，由勾股定理得，即， 或（舍去）， 故答案为：6． 三、解答题 21．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 22．（2025·河南周口·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，且为的直径，小明想知道四边形一组对角的平分线有怎样的位置关系，于是就作出的平分线交于点． (1)请你用尺规作图作出的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系，并说明理由． 【分析】本题考查了平行线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，作图-基本作图． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）根据圆内接四边形的性质及直径所对应的圆周角为直角推出，再根据角平分线的定义推出，再由圆周角定理得，进而得，即，再得，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：，理由如下 ，为的直径， ， ． 平分，平分， ，， ， 连接，由为的直径，得， ， ，即， ， ． 23．（2025·宁夏中卫·二模）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：； 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答． 本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，是的弦，是的半径，且，垂足为，连接，，． (1)求证：； (2)求的半径． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，进而得出，即可得到结论； （2）由题意得，由在中，，得到，根据勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， 根据勾股定理可得， 解得， ∴的半径为2． 25．（2025·浙江·三模）如图，，，在上，连结，，求作的中点． 下面是甲同学的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点，即为所求． (1)请根据甲同学的作法，在图中画出点，并判断该作法是否正确，说明理由． (2)请尝试用其他方法，在图中画出点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用尺规作图作的平分线交于点，根据圆周角定理可知点即为的中点． 作线段的垂直平分线，交弧于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图所示，点即为所求． 正确， 理由：由作图知，平分， ， ； （2）如图，连接，作线段的垂直平分线，交弧于点， 则点即为所求． 26．（2025·安徽安庆·三模）已知，四边形内接于，为直径，与的延长线相交于点，平分与相交于点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，求的半径． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）利用证得，进而可求证结论； （2）利用先证得，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， （2）解：平分， ， 由（1）得：， 在和中， ， ， ， ，， 设，， 由勾股定理得：，， ，， ，即：， 解得：， 为直径， 的半径为． 27．（2025·湖南永州·模拟预测）回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）直接根据圆周角定理得出，；根据勾股定理即可求出；根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 （2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形的性质，余角的性质可得出，证明，得出，，进而证出，然后根据勾股定理求解即可； （3）类似（2）判断即可． 【详解】解：（1）是的直径， ，； ， ； 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：8，； （2）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ； （3）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ． 28．（2025·浙江丽水·二模）如图，内接于，直径交于点，已知． (1)求证：． (2)设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）． (3)若，求的值． 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由是的直径可得，再由同角的余角相等可得，根据等边对等角即可得出结论； （2）由已知可求，再根据同弧所对圆周角相等即可得出； （3）根据（2）的结论可知求出，即，进而可得是等腰直角三角形，设的半径为，可求，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 是的直径， ， ， ， ， ； （2），，， ， ， ， （3）如图，连接， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 令的半径为， 则， ， ， ， ， ， ． 29．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 30．（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：对角线相垂直的四边形为“优秀四边形”． (1)已知外接圆为为直径．将沿翻折得，恰好在上，连接交于为中点，．证明四边形为优秀四边形． (2)证明：． 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质. （1）由翻折知，进而得到，即可证明； （2）由翻折知，将化为，根据三角形面积公式计算即可 【详解】（1）∵将沿翻折得，恰好在上， ∴ ∴， ∴， ∴四边形为优秀四边形； （2）∵将沿翻折得，恰好在上， ∴ 即 ∵， ∴成立. 31．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答． （2）先根据勾股定理算出，设，，结合勾股定理整理得，代入数值得，再证明是的中位线，则，分别算出和，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等内接四边形， ∴四点共圆，且为直径， 把的中点记为点，即四点在上， 连接，，相交于点， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 则在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴ 则 即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 则． ， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 32．（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 34．（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 探索求圆半径的方法 背景 素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题． 任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____． 任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径． 任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）． 任务四 （4）若矩形纸片的长，宽，猜想：绕______（填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆柱体体积． 任务一：根据勾股定理求出的长即可求解； 任务二：作于点N，交于点M，连接，，由垂径定理得，根据求出的值，进而可求出半径； 任务三：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论； 任务四：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论． 【详解】解：任务一：∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径． ∵，， ∴， ∴该圆的半径为． 故答案为：； 任务二：如图3，作于点N，交于点M，连接，， 则四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：圆的半径为； 任务三：解：绕旋转得到的圆柱体积； 绕旋转得到的圆柱体积， ∴ 任务四：解：绕旋转得到的圆柱体积； 绕旋转得到的圆柱体积， ∵， ∴ ∴， 故绕旋转得到的圆柱体积更大 1 学科网（北京）股份有限公司 $$