第二十四章 圆 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012 河北专用)

点Q, 由题意知QA=QC,OB⊥AC. ,八边形ABCDEFGH是正八边形，.∠AOB= 360° 8 =45°， ..QA=0Q.AQ2+0Q2=0A2, 由(1)，得∠BAF=∠EAD=60° .AB-AF-AD. “△ABF与△ADF都是等边三角形， 六2AQ1,解得AQ-咨AC=204=E ∴.AB=AD=DF=BF, (2),AFD所对的圆心角为 .四边形ABFD是菱形， 5∠AOB=225°， 1 ∴.∠AGB=90°，BG三)BD=2×6=3,BF/CD， ∴.AFD所对的圆周角为 ∴.AB=2V3,S△ABr=S△cBF· ∠ABD= 2×225°=112.5 ∴S阴影=S扇形ABF, S扇形ABF= 60πX(2√3)2 一2π， AC=×45=25 360 ∴.∠APD=∠ABD+∠BAC=135° .阴影部分的面积为2元. 14.解：(1)证明：如图所示，连 (3)如图②所示，当DE恰好 接AE 与⊙A相切时，∠ADE=90°. ,四边形ABCD是平行四 由旋转的性质，得∠DAE= 边形， ∠BAC=60°，AE=AC=6, ∴.AD=BC,AD∥BC, AB=AD, AD-TAE-3. .∠DAE=∠AEB. .AE=AB, ② ,'.∠AEB=∠ABC, 由(1)，得∠BAE=60°， ∴∠DAE=∠ABC, .∠CAE=∠DAB=120°， .△AED≌△BAC(SAS), 点E是定点，点B在一条直线上运动. .∠DEA=∠CAB=90°，.DE⊥AE. 设B',D分别是AB,AD上一点，且AB'=AD', :AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切. 此时D'E与BD只有一个交点， (2),∠ABC=60°，AB=AE=4, ∴.当0<AB≤3时，DE与BD只有一个交点. △ABE是等边三角形， 如图③所示，当点E恰好在⊙A上时， .AE=BE,∠EAB=60°. .∠CAB=90°， .∠CAE=90°-∠EAB=30°， ∠ACB=90°-∠B=90°-60°=30°， ∴.∠CAE=∠ACB, ∴AE=CE,.CE=BE, 1 SAACE=SAABE-2SAAIC ,在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4, ∴.AE=AD=AB=6. .BC=2AB=8. 设B',D'分别是AB,AD延长线上一点，且 由勾股定理，得AC=4√3， AB'=AD', 此时D'E与BD只有一个交点， S=号AB·AC=2×4X43=85, .当AB>6时，DE与BD只有一个交点. 1 ×8√3=4√3. 综上所述，0<AB≤3或AB>6. SAACE-2SAABC2 阶段检测七(24.3~24.4) .∠CAE=30°，AE=4, 1.B2.A3.D4.D5.A6.B7.C8.C .S扇形EAF 30π·AE2_30元·4_4π 360 360-3 9610.3:211.3 4 S男影=SACE一S角形Ee=45-4红 3 12.解：(1)设扇形的半径是R,则90πXR =16π， 本章综合提升 360 【本章知识归纳】 解得R=8(负值舍去). 等于线段直径 圆弧等圆等弧弧弦 之扇形的弧长为高 =4π. 平分平分垂直平分圆心角 直角直径 互补d>rd=rd<rd>rd=rd<r (2)设圆锥的底面圆的半径为r nπR2 根据题意，得2πr=4π，解得r=2. 垂直半径半径切线长”πR 180 360 所以这个圆锥的高为√82一22=2√15 【思想方法归纳】 13.解：(1)如图所示，连接OA,OB,设OB与AC交于【例1】思路分析：根据直线与圆的位置关系得出相切时 36 有一公共点，再结合图形得出另一种有一个公共点 ,E是△ABC的内心， 的情况即可 .∴.∠ABE=∠EBH. 解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. 在△GBM和△HBM中， AC=4,AB=5,∠C=90°， I∠GBM=∠EBH, ∴BC=√JAB2-AC=√52-47=3. BM=BM, 若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一 ∠BMG=∠BMH, 个公共点，则直线AB与圆相切，此时d=R, .△GBM≌△HBM, .CDXAB=ACXBC, ∴.MG=MH. CD=R-号 又，ME=MB,BE⊥GH, .四边形BHEG是菱形， 当直线与圆的关系如图所示，此时也有一个交点， ∴.GE=BG=3,GE∥BC .3<R≤4. E是△ABC的内心，AD是△ABC的外接圆的 综上，R的取值范围是R-或3<R≤4. 直径， .AD⊥BC,∴.GE⊥AD, ∴.在Rt△AGE中，AE=√AG2-GE2= √52-32=4. 设BD=x,则DE=x,AD=x十4. AD是直径， ∴.∠ABD=90°， 【变式训练1】15°或75 ∴.在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2, 【例2】思路分析：(1)利用圆锥侧面展开图孤长与其底 .82十x2=(x十4)2，解得x=6. 面周长的长度关系，求出侧面展开图中∠ABC的 DE的长为6. 度数即可.(2)由(1)，利用勾股定理求出AC的长 即可 解：(1)设∠ABC=n°， 根据题意，得2xX1=nXπX4 解得n=90,即 180 ∠ABC=90° (2)一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回 到A点， 【变式训练4】10cm 而圆锥展开图中A点的对应点为C, 【例4】思路分析：根据题意画出图形，分别求出各部分 ∴.这只蚂蚁爬过的最短距离为AC的长 的面积，再比较大小即可 连接AC,如图所示. .∠ABC=90°，BA=BC, 9 【变式训练5】(1)3(2)2.4(3)3<r<4 .AC=√2BA=4√2， 【通模拟】 ∴.这只蚂蚁爬过的最短距离为4√2. 1.B2.A3.B4.B5.C6.C7.D 8.π3π4041π 【通中考】 9.A10.B11.A12.B 13.解：(1)如图所示，连接OA11,OA,由题意，得 ∠A,0A11=120°， 【变式训练2】C 六A,A1的长为120元·6 =4π>12， 180 【变式训练3】B 【例3】思路分析：连接BD,设DG与BC相交于点H, ∴.A,A1的长度比直径长 BE和DG相交于，点M,连接EH,则证明四边形 (2)结论：PA1⊥A7A1· BHEG是菱形，即可求得GE的长，然后证明 理由：如图所示，连接A1A,. △AGE是直角三角形，利用勾股定理求得AE的 A1A,是⊙O的直径， 长，设BD=x,则DE=x,在Rt△ABD中利用勾 ∠A7A11A1=90°， 股定理即可列方程求解. .PA1⊥A,A1 解：如图所示，连接BD,设DG与BC相交于点H, (3).PA,是⊙O的切线， BE和DG相交于点M,连接EH, :∠ADB=∠C,∠ADG-2∠C, .PA,⊥A1A, .∠PA7A1=90° ∠PA1A,=60°， ∴.∠ADG=∠GDB .∠P=90°-60°=30° 又BD=DE, ∴.BM=EM,BE⊥DG, 又，A1A,=12,.A1P=24, 即∠BMG=∠BMH=90°. .PA,=√A1P2-A1A=√24-12=123， 37 25.2用列举法求概率 第1课时用直接列举法、列表法求概率 3 1 1.B2.B3.54.125.B6.2 7.解：(1)王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 学习，恰好选中观看视颜的概率是日 25.1.1随机事件 (2)将阅读文章、观看视频、专题考试分别记为A, 1.C2.C3.C4.D5.C6.2 B,C,列表如下： 7.解：(1)袋子中放5个红球.（答案不唯一，合理即可） 王老师 (2)袋子中放5个白球.（答案不唯一，合理即可） A B 李老师 (3)袋子中放1红1白两个球，一次摸出2个球， (4)袋子中放红、白两色的球若干，但是总数要大于 A (A,A) (B,A) (C,A) 或等于5，且保证每种颜色的球少于5个. 25.1.2概率 B (A,B) (B,B) (C,B) 1.A2.B3.B C (C,C) 4.解：抽取一张扑克牌，共有13种可能出现的点数，这 (A,C) (B,C) 些点数出现的可能性相等， 由表可知，共有9种等可能出现的结果，其中他们选 (1):点数为6的只有1张，P(抽到点数6)=3： 中不同学习方式的结果有6种， 所以他们选中不同学习方式的概率为 (2):有人头像的共3张，P(抽到人头像)= 3 13 (3)点数小于5的有1,2,3,4，共4张， 8.4 9.C10.A P(抽到点数小于5》-总 11.解：(1)转动转盘一次，所有等可能的结果有5种， 其中转盘停止后指针指向奇数的结果有1,3,5三 1 5.B6.C7.28.C9.A10.2<P(B)<1 种，则P(转盘停止后指针指向奇数)=3 51 11.元 (2)若转动转盘两次后，棋子到达点F,转动转盘两 12.解：这3条线段共有5种可能的结果，分别为1cm, 次可能得到的数字分别是1,5；2,4；3,3；4,2；5,1. 4 cm,5 cm;2 cm,4 cm,5 cm;3 cm,4 cm,5 cm; (3)列表如下： 4cm,4cm,5cm;5cm,4cm,5cm.这些结果出现 和 第1次 的可能性相等. 1 2 3 4 5 (1),除1cm,4cm,5cm外，其余4种情况均符合 第2次 条件， 1 2 4 6 ·P(能构成三角形)=4 2 3 4 5 6 (2)符合条件的只有1种情况：3cm,4cm,5cm. 心 5 6 7 P(能构成直角三角形)=行 4 5 6 7 8 9 (3)符合条件的有2种情况：4cm,4cm,5cm; 67 8910 5 cm,4 cm,5 cm. 所有等可能的结果有25种，其中转动转盘两次数 2 字之和为7的结果有4种， ∴P(能构成等腰三角形)= 5 13.解：(1)随机取出一颗棋子，共有(x+y)种可能出 则P(转动转盘两次能道过游戏)- 现的结果，这些结果出现的可能性相等. 12.解：(1)用列表法表示所有可能出现的结果如下： .取出一颗棋子是黑色棋子有x种可能， x=3 5 差的八小伟 六千y8,解得y=32, 绝对值 1 2 3 4 5 6 .5 即y关于x的函数解析式是)=3x(x为正整数). 小梅 (2)放入10颗黑色棋子后，再随机取出一颗棋子， 义 0 2 3 4 5 共有(x十y十10)种可能出现的结果，这些结果出 现的可能性相等. 2 2 3 .取出一颗棋子是黑色棋子有(x+10)种可能， U 3 4 2 ∴x+y8 x十101解得z二15， (y=25. 5 x+y+10-2, 6 4 2 1 0 则x的值是15，y的值是25. 由表可知，共有36种可能出现的结果，每一种结果 出现的可能性相等.“差的绝对值”为0,1,2的结果 38本章综合提升（答案P36) 本章知识明纳 定义：到定点距离 定长的所有点组成的图形 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 直径：经过圆心的弦叫做 弧：圆上任意两点间的部分叫做 圆的有关概念 半圆：任意一条直径的两个端点分圆成两条孤，每一条孤都叫做半圆 等圆：能够重合的两个圆叫做 等孤：在同圆或等圆中，能够互相重合的孤叫做 对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 孤、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等； 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条孤、两条弦中有一组量 相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的孤 圆的基本性质 推论：平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的孤 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对孤上的 度数的一半 推论1：同孤或等孤所对的圆周角相等 推论2：直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 推论3：圆内接四边形的对角 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 确定圆的条件三角形的外接圆、外心 点在圆外台 点和圆的位置关系点在圆上台 点在圆内台 相离台 与圆有关的位置关系 直线和圆的位置关系相切台 相交台 切线的性质定理：圆的切线 于过切，点的半径 切线 切线的判定定理：过 外端且垂直于的直线是圆的切线 三角形的内切圆、内心 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条 相等 圆内接正多边形中心角、半径、边心距、面积等的计算 孤长公式：= 孤长及扇形的面积 扇形的面积：S扇形 127 优*学秦·课时通 思想方法阴纳 (2)如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从 0>>>>>>>>>>>>>>>>>> 点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只 1.分类讨论思想 蚂蚁爬过的最短距离. 白链接本章 与圆周角及与圆的位置有关的问题常 会出现多解问题，结合题意画图时要分类 讨论，以防漏解. 【例1】在△ABC中，∠C=90°，AC=4, AB=5,以点C为圆心，以R长为半径画圆，若 ⊙C与边AB只有一个公共点，求R的取 值范围. 【变式训练2】如图所示是一块四边形绿化园 地，四角都有直径为1m的圆形喷水池，则这四 个喷水池占去的绿化园地（阴影部分）的面积 为() 绿化园地 A.πm2 B.0.5πm2 【变式训练1】在半径为1的⊙0中，弦 C.0.25πm2 D.不能确定 AB=√3，弦AC=√2，则∠BAC= 【变式训练3】如图所示，利用圆的等分，在半 2.转化思想 径为2√3的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部 台链接本章 《…- 分的面积为() 对于扇形的面积或圆锥的曲面问题， 常常化“曲面”为“平面”；化不规则图形面 积的求解为规则图形面积的求解。 【例2】如图所示是一个圆锥与其侧面展开 图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4. (1)求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的 A.6 B.6√3 度数 C.12 D.123 一九年级·上册数学」河北专用 128 3.方程思想 4.数形结合思想 方程思想是指对所求的数学问题通过列方 :台子链接本章 程（组）使问题得以解决的思想。 结合圆的有关性质求角的度数和线段 台子链接本章 的长，利用弧长、扇形面积等公式求阴影部 解决圆的有关计算问题，应用方程思 分的面积都是结合直观的图形研究抽象的 想可达到事半功倍的效果. 数，并进行形数互化 - 【例3】如图所示，已知点E是△ABC的内 【例4】如图所示，边长为12m的正方形池 心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点 塘的周围是草地，池塘边A,B,C,D处各有一棵 D,AD,BC交于点F.AD为△ABC外接圆的直 树，且AB=BC=CD=3m,现用长4m的绳子 将羊拴在一棵树上，为了使在草地上活动区域的 径，G为AB上一点，且∠ADG= 日∠C,若 面积最大，应将绳子拴在其中的一棵树上，为了 BG=3,AG=5,求DE的长. 使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴 在() 池塘 A B C D A.A处 B.B处 C.C处 D.D处 【变式训练5】如图所示，已知在矩形ABCD中， AB=3,BC=4,以点A为圆心，r为半径作⊙A, (1)当半径r为 时，⊙A与BC 相切. (2)当半径r为 时，⊙A与BD 相切. (3)当半径r的范围为 时，⊙A与 直线BC相交且与直线CD相离， 【变式训练4】如图所示是一圆柱形输水管的 横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽 为8cm,水的最大深度为2cm,则该输水管的直 径为 通模拟》沙22>>>2 1.(2023·沧州南皮模拟)下列由实线组成的图 形中，为半圆的是( 129 优学案·课时通 2.(2023·衡水三模)以下对圆心和△ABC的关6.(2023·石家庄新华区模拟)如图所示，已知点 系描述正确的是() A,C在⊙O上，AB是⊙O切线，连接AC,若 ∠ACO=65°，则∠CAB的度数为() ② A.35° B.30 Q C.25 D.20° ③ 7.(2023·保定模拟)如图所示，A,B,C是某社 A.图①中M是△ABC的外心 区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基 B.图②中N是△ABC的外心 站，其覆盖半径为300m,则这三栋楼中在该 C.图③中P是△ABC的内心 D.图④中Q是△ABC的内心 5G基站覆盖范围内的是( 3.(唐山玉田期末)下列说法：①直径是圆中最长 的弦；②同弧所对的圆周角相等；③圆中90°的 角所对的弦是直径；④相等的圆心角所对的弧 -500m 相等.其中正确的有() A.A,B,C都不在 B.只有B A.1个 B.2个C.3个D.4个 4.(邢台二模)如图所示，在△ABC中，∠ACB= C.只有A,C D.A,B,C 45°，∠BAC=30°，过点A,C的圆的圆心在边 8.(河北模拟)如图所示，四边形ABCD是正方 AB上，点M是优弧AC(不与点A,C重合)上 形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度 的一点，则∠AMC的度数为( ) 的弧组成的.其中DA,的圆心为点A,半径为 AD;A1B1的圆心为点B,半径为BA1;B1C 的圆心为点C,半径为CB1;C1D1的圆心为点 A.75° B.60° C.55° D.52.5° D,半径为DC1；;DA1,A1B1,B1C1,C1D1, 5.(2023·邯郸三模)如图所示，图①是边长为1 的等边三角形铁丝框ABC,按图②方式变形 …的圆心依次按点A,B,C,D循环.若正方形 成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周 ABCD的边长为1，则A1B1= ,A2B2的 长保持不变)，则所得扇形ABC的面积 是() 长是 ,A2021B2021的长是 A.1 B.2 C. 1 D.π 一九年级·上册数学」河北专用 130 通中考 12.(河北中考)如图所示，点I为△ABC的内 >>>>>>>>>>>>>> 心，AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使 9.(河北中考)某款“不倒翁”（如图①所示）的主 其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长 视图如图②所示，PA,PB分别与AMB所在 为() 圆相切于点A,B.若该圆半径是9cm,∠P= A.4.5B.4 C.3 D.2 40°，则AMB的长是() 13.(河北中考)如图所示，⊙O的半径为6，将该 11 A.11πcm B.2元cm 圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 An(n为1~12的整数)，过点A,作⊙O的切 C.7πcm D.cm 线交A1A1的延长线于点P. (1)通过计算比较直径和劣弧A,A1长度哪 个更长 (2)连接A,A1,则A,A11和PA1有什么特 正面 殊位置关系？请简要说明理由. 第9题图 第10题图 (3)求切线长PA,的值. 10.(河北中考)如图所示，点O为正六边形 ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO=8, A3 S△CDO=2,则SE六边形ABCDEF的值是( ) A.20 B.30 C.40 D.随点O位置变化而变化 11.(河北中考)有一题目：“已知点O为△ABC 的外心，∠BOC=130°，求∠A.”嘉嘉的解答： 画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC. 如图所示，由∠BOC=2∠A=130°，得∠A= 65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还 应有另一个不同的值.”下列判断正确的 是() A.淇淇说得对，且∠A的另一个值是115 B.淇淇说得不对，∠A就得65 C.嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D.两人都不对，∠A应有3个不同值 第11题图 第12题图 131 优学秦·课时通一