精品解析：山东省德州市宁津县育新中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024—2025学年下学期 八年级数学第一次素养检测 一、选择题（共12题，每题4分，共计48分） 1. 下列各式中属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 将平行四边形放在平面直角坐标系中，顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 7. 如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图, 有一个直角三角形纸片, 两直角边 , , 现将直角边沿直线折叠,使它落在斜边上, 且与重合, 则的长为（ ）． A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC为底边分别向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面积为，△BCE的面积为，则的值为（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 10. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，两步尺），此时踏板升高离地五尺（尺），若绳索始终拉直，则秋千绳索OB的长是（ ） A. 12尺 B. 13.5尺 C. 14.5尺 D. 15.5尺 11. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（　　） A. B. 16 C. 18 D. 12. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 已知，则的值为________． 14. 与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________． 15. 设的小数部分为，则______． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 17. 我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是______型无理数． 18. 如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 三、解答题：（本题共7题，共78分） 19. 计算： （1）． （2）． 20. 求代数式的值，其中．下面是小明的解题过程，小明检查时发现有错误． （1）小明从第________步开始出错的，原代数式的值为________； （2）求代数式的值，其中． 21. 一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？ 22. 在中，点O是对角线的中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，．，求的长； 23. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明，并写出为最近路的依据； （2）求新路比原路少多少千米？ 24. 阅读下列材料，完成任务 我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示． 任务： （1）图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______； （2）图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理． （3）在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长． 25. 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如： 如图1，在四边形中，，平分，则称四边形是半对称四边形，称为四边形的分割对角线． （1）如图1，求证：． （2）如图2，在四边形中，，，．求证：四边形是半对称四边形． （3）如图3，在中，，，，是所在平面内一点，当四边形是半对称四边形且为分割对角线时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期 八年级数学第一次素养检测 一、选择题（共12题，每题4分，共计48分） 1. 下列各式中属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据形如（a≥0）是二次根式，可得答案． 【详解】解：A、x﹣1＜0即x＜1时，无意义，故A不一定是二次根式； B、x＜0时，无意义，故B不一定是二次根式； C、x2﹣2＜0时，无意义，故C不一定是二次根式； D、是二次根式，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式，注意二次根式的被开方数一定是非负数． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，故该选项正确； B、，故该选项错误； C、 ，故该选项错误； D、 ，故该选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，熟知概念是关键.． 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、乘法、加法、减法运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项正确，符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． 和不是同类二次根式，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法、乘法、加法、减法运算，掌握相关运算法则成为解答本题的关键． 4. 将平行四边形放在平面直角坐标系中，顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，CD=AB，，从而得出D点和C点的纵坐标相同，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴CD=AB，， ∵顶点A， B， C的坐标分别是(0，0)，(4，0)，(5，2)， ∴CD=AB=4， ∴D(1，2)， 故选∶C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由图可得的长度，即可得出点到原点的距离，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 点表示的数为,点表示的数为， ， 由图可得， 点到原点的距离为 点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为 即点所表示的数是， 故选：B． 6. 已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行运算即可． 【详解】解： . 故应选B 7. 如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长． 【详解】解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD， ∴∠ADE=∠CED， ∴∠CDE=∠CED， ∴CE=CD， ∵AD=6，BE=2， ∴CE=BC-BE=6-2=4， ∴CD=AB=4， ∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键． 8. 如图, 有一个直角三角形纸片, 两直角边 , , 现将直角边沿直线折叠,使它落在斜边上, 且与重合, 则的长为（ ）． A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、图形折叠的性质，设，则，根据，即可求得答案． 【详解】解：由勾股定理，得： 根据图形折叠的性质可知，，则． 设，则． 根据，可得 解得： 所以，． 故选：A 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC为底边分别向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面积为，△BCE的面积为，则的值为（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BE＝CE=BC，AF＝FC=AC，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8， ∴， ∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形， ∴BE＝CE=BC，AF＝FC=AC， ∴ =×64 ＝16； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 10. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，两步尺），此时踏板升高离地五尺（尺），若绳索始终拉直，则秋千绳索OB的长是（ ） A. 12尺 B. 13.5尺 C. 14.5尺 D. 15.5尺 【答案】C 【解析】 【分析】设绳索长尺，表示出的长，在中，利用勾股定理得到，从而列出关于x的方程，求解方程即可解答． 【详解】设尺， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵在中，， ∴， 解得：， 即秋千绳索OB的长是14.5尺． 故选：C 【点睛】此题考查了勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 11. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（　　） A. B. 16 C. 18 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接CE，根据平行四边形的性质可得AO＝CO，CD＝AB＝13，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE＝AE＝12，利用勾股定理的逆定理得到∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得结论． 【详解】解：连接CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，CD＝AB＝13， ∵OE⊥AC， ∴OE垂直平分AC， ∴CE＝AE＝12， ∵DE＝5， ∴CE2＋DE2＝122＋52＝132＝CD2， ∴∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴AC＝AE＝12， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，正确作出辅助线证得∠CED＝90°是解决问题的关键． 12. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 利用勾股定理、线段的和差、完全平方公式、直角三角形的面积公式逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，由勾股定理得，，， ∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意； 由得，，整理得， ∴， ∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）； 由③得， ∴， ∴， ∴选项①错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得、的值． 【详解】解： 和有意义， ， ，． ． 故答案为：． 14. 与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到2m－3＝2，然后解方程即可． 【详解】解：∵＝ ∴2m－3＝2， ∴m＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式，解题的关键是理解同类二次根式的含义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 15. 设的小数部分为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出的范围，即可求出b的值，最后代入求出即可． 【详解】∵3<<4， ∴b=-3， ∴ =11﹣9 =2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了估算无理数大小和二次根式的混合运算的应用，关键是求出b的值． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 17. 我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是______型无理数． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 所以，是型无理数， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握是解题的关键． 18. 如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 由，则时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可；②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； 综上，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或秒． 三、解答题：（本题共7题，共78分） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算整数指数幂，绝对值的化简，再根据二次根式的运算法则，即可求解， （2）先根据平方差公式，完全平方公式展开，再根据二次根式的运算法则，即可求解， 本题考查了，二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ． 20. 求代数式的值，其中．下面是小明的解题过程，小明检查时发现有错误． （1）小明从第________步开始出错的，原代数式的值为________； （2）求代数式的值，其中． 【答案】（1）二；4045 （2）； 【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式判断第一步，再根据二次根式性质判断第二步即可； （2）先根据完全平方公式化简，再根据二次根式性质代入计算即可． 【小问1详解】 解：小明从第二步开始出错的， 时， ， ， ． 故答案为：二；4045． 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质、完全平方公式，掌握是解题关键． 21. 一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？ 【答案】（1）米 （2） 解：梯子底部不是水平方向滑动了4米，理由如下： 由题意得：米， ∴米， ∴（米）， 则：（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）先求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可得到． 【小问1详解】 解：由题意得：米，米， ∴（米）， 答：这个梯子的顶端距地面有24米； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意确定直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 22. 在中，点O是对角线的中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，．，求的长； 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形，点O是对角线的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由“”可得，可得，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定以及勾股定理等知识内容，正确掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明，并写出为最近路的依据； （2）求新路比原路少多少千米？ 【答案】（1）是为从村庄C到河边的最近路，依据：点到直线的距离垂线段最短； （2）新路比原路少千米； 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得到，结合点到直线的距离垂线段最短即可得到答案； （2）设，根据勾股定理求出即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴是为从村庄C到河边的最近路， 依据：点到直线的距离垂线段最短； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：新路比原路少千米； 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键是先根据勾股定理逆定理得到垂直． 24. 阅读下列材料，完成任务 我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示． 任务： （1）图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______； （2）图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理． （3）在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个矩形的面积和计算即可． （2）根据正方形的面积不变性，三角形的面积公式计算证明即可． （3）根据勾股定理，公式变形计算即可． 【小问1详解】 解：根据正方形的面积等于边长的平方，得到正方形的面积为； 结合图形，得到正方形的面积还等于， 故， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴（舍去）． 【点睛】本题考查了数学公式的几何表示，完全平方公式的几何意义，勾股定理的证明，计算应用，熟练掌握公式和勾股定理是解题的关键． 25. 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如： 如图1，在四边形中，，平分，则称四边形是半对称四边形，称为四边形的分割对角线． （1）如图1，求证：． （2）如图2，在四边形中，，，．求证：四边形是半对称四边形． （3）如图3，在中，，，，是所在平面内一点，当四边形是半对称四边形且为分割对角线时，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ； （2） 证明：， ， ， ， ． ， ， 即为的平分线， ． ， ， ， ． ∴在四边形中，，平分， 四边形是半对称四边形； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，角平分线的定义和平行线的判定定理解答即可得出结论； （2）利用“半对称四边形”的定义解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分①当，平分时，②当，平分时，画出符合题意的图形，先计算得到的三边长度和它的面积，再计算的面积，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作，交的延长线于点，如图， ，，， ，， ，， ， ， ， ． ． ． ①当，平分时，如图， 由题意：， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ； ②当，平分时，如图， 由题意：， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， 则， ， ． 设，则，，， 在中， ， ， （不合题意，舍去）或， ，． ， ． 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题主要考查了四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $