精品解析：福建省福州市文博中学2024-2025学年九年级下学期3月份适应性练习数学试题

福州文博中学2024−2025学年第二学期3月份适应性练习 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 据工信部发布消息，2023年我国汽车产业继续蓬勃发展，全年汽车产销量突破万辆．数字万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 4. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲，乙两种机器人都被用来搬运某体育馆室内装潢材料甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运30千克，甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同，两种机器人每小时分别搬运多少千克？设甲型机器人每小时搬运x千克，根据题意，可列方程为(　　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 8. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，E是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 1.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 _____． 12. 分解因式：______． 13. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 14. 不等式组的解集是______． 15. 当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______． 16. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 如图，在中，点是边上一点，连接，延长至点，连接，，，求证：． 19. 先化简，再求值：(x－1)÷(x－),其中x =+1 20. 首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）． 组别 身高分组 人数 A 3 B 2 C D 5 E 4 根据以上信息回答： （1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的___________，扇形统计图中的度数是___________； （2）若组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率． 21. 如图，是等边三角形，． （1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形； 22. 如图，为的直径，为上一点，，平分． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 23. 年月日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．年2月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，，．（参考数据：，，，，） （1）求机械臂端点C到工作台的距离的长；（结果精确到） （2）求的长．（结果精确到） 24. 已知，抛物线与轴交于，两点（在的左侧）． （1）当时，求点，坐标； （2）若直线经过点，且与抛物线交于另一点，连接，，试判断的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若发生变化，请说明理由； （3）当时，若抛物线在该范围内的最高点为，最低点为，直线与轴交于点，且，求此时抛物线的解析式． 25. 如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，点P为线段上的动点（不与点B，O重合），连接并延长交边于点G，交的延长线于点H． （1）求线段的长； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）如图2，作线段的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，在点P的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州文博中学2024−2025学年第二学期3月份适应性练习 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 据工信部发布消息，2023年我国汽车产业继续蓬勃发展，全年汽车产销量突破万辆．数字万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故选A． 2. 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图． 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：左视图是． 故选：D． 3. 若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴可以得到实数m，n，p，q的大小关系，再根据n与q互为相反数，可以得到原点所在的位置，从而可以得到绝对值最大的数对应的点是哪个点． 【详解】解：由数轴可得， p＜n＜m＜q， ∵n与q互为相反数， ∴原点在线段NQ的中点处， ∴绝对值最大的数对应的点是点P， 故选：C． 【点睛】考查实数与数轴、相反数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想． 4. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念：图形绕着某点旋转后与原图重合的图形，对各选项分析判断求解． 【详解】A、绕着某点旋转后与原图不重合，故A选项不合题意； B、绕着某点旋转后与原图重合，故B选项不合题意； C、绕着某点旋转后与原图不重合，故C选项符合题意； D、 绕着某点旋转后与原图不重合，故D选项不合题意． 故选：C． 5. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可． 【详解】这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24． 故选C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，幂的运算法则，单项式乘以单项式运算法则以及完全平方公式进行计算，即可判断答案． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项错误，不符合题意； C、计算正确，符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意． 故选C． 7. 现有甲，乙两种机器人都被用来搬运某体育馆室内装潢材料甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运30千克，甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同，两种机器人每小时分别搬运多少千克？设甲型机器人每小时搬运x千克，根据题意，可列方程为(　　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【答案】A 【解析】 【分析】设甲型机器人每小时搬运x千克，则乙型机器人每小时搬运（x+30）千克，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设甲型机器人每小时搬运x千克，则乙型机器人每小时搬运（x+30）千克， 依题意，得：． 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可． 【详解】解析：关于x的方程有实数根， ， 解得， 故选C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键． 9. 如图，在中，E是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列出关系式是解题的关键．连接，由切线的性质得，则，由，得，所以，于是得，即可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， 的余弦值为， 故选：B． 10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 点，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键． 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 1.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 _____． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】利用平行线的性质定理和垂直的意义解答即可． 【详解】如图， ∵AC⊥BC， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝50°． ∴∠2＝90°﹣∠3＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到结果． 【详解】解：． 13. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解不等式组中两个不等式的解集，再依据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的原则确定不等式组的解集． 本题主要考查解一元一次不等式组，熟练运用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”原则是解题关键． 【详解】解： ， 解得， 解得， ∴原不等式组的解集为 ． 故答案为： ． 15. 当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质和得出是解题的关键．先由抛物线，可得抛物线的对称轴为直线，从而得到以a、b为横坐标的点关于直线对称，进而得到，再把代入，即可求解． 【详解】解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当或时，代数式的值相等， ∴当或时，抛物线的函数值相等， ∴以a、b为横坐标的点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， 即时，代数式的值为． 故答案为：． 16. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥AG于点G，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，（），即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可． 【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥AG于点G，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，如图所示： ∵四边形OABC为正方形， ∴AO=AB=BC=OC，， ∵AE⊥x轴，CF⊥x轴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴AE=OF，OE=CF， ∵BH⊥AG，AG⊥y轴， ∴， ，， ∴， ∴， ， ∵BM⊥y轴，CN⊥y轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 同理可得：四边形和四边形为矩形， ，，， 设点A的坐标为：，（）， ， ， ， ， 即， ∵正方形OABC的面积为12， ， 在Rt△OAE中，， 即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，点是边上一点，连接，延长至点，连接，，，求证：． 【答案】 证明：，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，邻补角．熟练掌握全等三角形的判定与性质，邻补角是解题的关键． 由，，可得，证明，进而结论得证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：(x－1)÷(x－),其中x =+1 【答案】，1+ 【解析】 【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可． 【详解】解：原式＝（x−1）÷ 当x＝＋1时， 原式＝ 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 20. 首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）． 组别 身高分组 人数 A 3 B 2 C D 5 E 4 根据以上信息回答： （1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的___________，扇形统计图中的度数是___________； （2）若组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率． 【答案】（1）20，6， （2） 【解析】 【分析】（1）用C组所占的比列出方程，即可求得m的值，再求出总数；用周角乘以D组所占的比，即可求出的度数； （2）列出树状图或表格，求出所有可能的情况总数，再找出刚好抽中两名女志愿者的数量，带入公式即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ 故填：20， 6，； 【小问2详解】 画树状图为： 或者列表为： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1男2） （男1女1） （男1女2） 男2 （男2男1） （男2女1） （男2女2） 女1 （女1男1） （女1男2） （女1女2） 女2 （女2男1） （女2男2） （女2女1） 共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种 （抽中两名女志愿者）． 【点睛】本题考查统计与概率综合，求出总数和列出树状图，或表格是解题的关键． 21. 如图，是等边三角形，． （1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形； 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 证明：由（1）可知：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）作，然后截取，连接即可完成作图； （2）由（1）可得，，根据是等边三角形，即可解决问题． 【小问1详解】 解：证明：在和中，， ∴ ∴绕点A逆时针旋转得到； 【小问2详解】 略 22. 如图，为的直径，为上一点，，平分． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． 平分， ． ， ． ， 即． 是的半径， 与相切． （2） 【解析】 【分析】本题主要查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质等知识： （1）连接．根据，可得，再由，平分，可得，即可求证； （2）根据圆周角定理可得，在中，根据勾股定理可得． 从而得到为等边三角形，进而得到．，再由直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的直径，， ，． ， 在中， ． ． 为等边三角形． ． 由（1）可知， ． 在中，． 23. 年月日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．年2月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，，．（参考数据：，，，，） （1）求机械臂端点C到工作台的距离的长；（结果精确到） （2）求的长．（结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． （1）过点B作于点E，过点B作于点F，过点A作于点G，可知四边形是矩形，四边形是矩形，根据，，利用锐角三角函数的定义即可求出、的长度； （2）利用锐角三角函数的定义可求出的长度，再根据勾股定理可求的长度，从而可求出的长度． 【小问1详解】 解∶ 过点B作于点E，过点B作于点F，过点A作于点G， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形． ，，，米． ，． ，． 米， 米． 在中，， （米） 米 (米) 答∶机械臂端点C到工作台的距离的长米． 【小问2详解】 在中，由勾股定理可知∶(米) 在中，由勾股定理可知∶(米) 米， 米 答∶的长为米． 24. 已知，抛物线与轴交于，两点（在的左侧）． （1）当时，求点，坐标； （2）若直线经过点，且与抛物线交于另一点，连接，，试判断的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若发生变化，请说明理由； （3）当时，若抛物线在该范围内的最高点为，最低点为，直线与轴交于点，且，求此时抛物线的解析式． 【答案】（1）， （2）的面积不变，恒为1 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入可得，令，解方程即可求解； （2）令，解得，，得到，，所以． 由直线经过点，可得．联立，解得，，得到，由点在上，得到，即可得到； （3）由可得，由题可知对称轴为，则对称轴，易得范围的中点为，，抛物线的对称轴在直线的右侧，分情况讨论：①若，， 由抛物线性质可得当时，取最高点．当时，取最低点，分别过点，向轴作垂线交于点，．易证，结合即可求解；②若，即．最低点在顶点处取得，所以，当时，取最高点，结合 求解即可． 【小问1详解】 解：当时，． 令，则． 故，． ∵在的左侧， ∴交点坐标， 【小问2详解】 解：的面积不变，恒为1． 与轴的交点，令， 则． ∴，． 又∵在的左侧， ∴，， ∴． ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴． 联立 得 ∴，． ∴ 又∵点在上， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：由可得， ∴． 由题可知对称轴为，则对称轴． 又∵，即范围的中点为 ∴，即抛物线的对称轴在直线的右侧 ①若，，即时， ∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小．（如图所示） ∴当时， 取最高点． 当时， 取最低点分别过点，向轴作垂线交于点，． 则． ∴，即 ∴ ∴当时，抛物线的解析式为 ②若，即． ∴最低点在顶点处取得，所以． 当时，取最高点． 由得， 解得，． ∵，∴与不符合题意，均合去． 综上所述，抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 25. 如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，点P为线段上的动点（不与点B，O重合），连接并延长交边于点G，交的延长线于点H． （1）求线段的长； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）如图2，作线段的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，在点P的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）的度数是定值， 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理进行列式即可求解； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求，，的长，通过证明，可得，即可求解； （3）先证点，点，点三点共线，由直角三角形的性质可得，可求，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解． 本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解： 四边形是菱形， ，，，， ，， ； 【小问2详解】 解：当时， 四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ∴， ， ； 当时， ， ， ，， ， ∴， ， ； 综上所述：或； 【小问3详解】 解：的度数是定值，理由如下： 如图，取的中点，连接，，， 是的垂直平分线， ，， ， 又点是的中点， ， 点是的中点，， ， 点，点，点三点共线， 点是的中点，， ， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $