精品解析：广东省深圳市龙岗区同心实验学校2024-2025学年下学期九年级3月月考数学试卷

2024-2025学年第二学期3月学业质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 绝对值的最早出现可以追溯到古希腊时期，绝对值在代数中有着重要的应用．已知数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是　　 A. B. C. D. 5. 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A. B. C. D. 7. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 10. 若，，则的值为______． 11. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了________． 12. 如图，在菱形中，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接．若，则阴影部分的面积为 _______________． 13. 如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则___________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____度； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 17. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二：①写出关于的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利元，请直接写出利润的最大值为________元． 18. 如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）作的角平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求的长． 19. 嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球看成点以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． （1）求出点P及抛物线最高点的坐标； （2）若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． （3）嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； （4）在x轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 20. 课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页） 问题解决 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形． （1）动手操作 小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______． （2）探究发现 小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，． ①求的面积； ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期3月学业质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 绝对值的最早出现可以追溯到古希腊时期，绝对值在代数中有着重要的应用．已知数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴，绝对值，去括号，解题的关键是掌握绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值是零．据此解答即可． 【详解】解：如图可知：， ∴， ∴， 即化简的结果为． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法的运算，合并同类项的方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．根据幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式以及合并同类项，逐项判断即可． 【详解】解：∵，∴选项A符合题意； ∵，∴选项B不符合题意； ∵，∴选项C不符合题意； ∵，不是同类项，不能合并，∴选项D不符合题意． 故选A． 4. 在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由单词 “APPLE” 中有2个p, 直接利用概率公式求解即可求得答案. 【详解】解：单词 “ APPLE” 中有2个p, 从单词 “ APPLE” 中随机抽取一个字母为p的概率为: 故选:C. 【点睛】本题主要考查概率的定义. 5. 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差即可解题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图—作角的平分线，根据角平分线的作法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 符合要求的作图是D选项， 故选：D． 7. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设运输这批公粮原计划每日行，根据运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 8. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及其实际应用，掌握直角三角形的边角间关系、计算折射率的公式及“同角的余角相等”等知识点是解决本题的关键．先利用互余关系得，再利用直角三角形的边角间关系表示出的正弦值，最后利用折射率公式列式计算即可． 【详解】解：∵折射光线沿垂直边的方向射出， ∴， ∵法线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 10. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，因式分解的应用，将转化为是解决问题的关键． 通过因式分解将转化为，再整体代入即可． 【详解】解：因为，， 所以， 故答案为：． 11. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设这个反比例函数的解析式为，求得，当时，求得，当时求得，，于是得到结论． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， 时，， ， ， 当时，， 当时，， ， 气体体积增大了， 故答案为：15． 12. 如图，在菱形中，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接．若，则阴影部分的面积为 _______________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算等知识点，能求出、和扇形的面积是解题的关键． 如图：连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图：连接，     ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵点E是的中点，是等边三角形， ∴， 同理：， ∵，， ∴， 由勾股定理得：，同理可得：， ∴， ∴阴影部分的面积∶ ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例．作于点，作于点，设，，求得，，，在中，利用勾股定理求得，再利用余弦函数的关系求得，证得，再利用平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算负整数指数幂，零次幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法，后算加减即可． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 16. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____度； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）；，； （2） 解：八年级的成绩更好， 理由：因为七、八年级学生的竞赛成绩的平均数相同，但是八年级学生的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好； （3）150人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数的定义和意义，扇形统计图，利用样本估计总体． （1）根据中位数、众数的定义，可求出、的值，用八年级C等级人数所占百分比，可求出； （2）根据平均数、中位数、众数的意义分析即可； （3）用八年级参赛学生总人数乘以样本中成绩为优秀的学生所占百分比求解即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，八年级A等级人数为人， 八年级10名学生的竞赛成绩中位数为第五、六名学生的成绩， ； 七年级10名学生的竞赛成绩中分出现了三次，次数最后， ； 八年级C等级人数为， ， 故答案为：；，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数为人． 17. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二：①写出关于的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利元，请直接写出利润的最大值为________元． 【答案】任务一：甲类图书每本进价为36元，乙类图书每本进价为45元；任务二：①；②380 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 任务一：设甲类图书每本的进价是a元，乙类图书每本的进价是b元， ，根据“购进3 本甲类图书和4本乙类图书共需元； 购进5本甲类图书和2本乙类图书共需270元．”列出方程组，即可求解； 任务二：①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出w关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：任务一：设甲类图书每本的进价是a元，乙类图书每本的进价是b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲类图书每本的进价是元，乙类图书每本的进价是元； 任务二：①根据题意得：， ∴关于的关系式为； ②设书店所获利润为w元， 根据题意得： ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵甲类图书的购进数量不少于本， ∴， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴最大利润为元． 18. 如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）作的角平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是半圆的直径， ， 即， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线； （2） ①如图，为所作； ② 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的性质得出即可； （2）①按照尺规作图方法画图即可； ②证明，得出为等腰直角三角形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②平分， ， ，， 而， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了切线的证明和等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明，利用等腰三角形的性质得出为等腰直角三角形． 19. 嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球看成点以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． （1）求出点P及抛物线最高点的坐标； （2）若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． （3）嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； （4）在x轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】（1）点P的坐标为，最高点的坐标为 （2）①；② （3） （4）2个或3个 【解析】 【分析】由点P在抛物线上，且在y轴上，得到当时，，求得点P的坐标为，得到抛物线最高点的坐标为； ①解方程得到，，求得，当时，，于是得到乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为，设抛物线的解析式为，把，代入得到，于是得到抛物线的解析式为； 根据的顶点为，的顶点为，得到可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，于是得到平移的最短路程为； 由，，得到，设竖直摆放的回收箱有m个，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：点P在抛物线上，且在y轴上， 当时，， 即点P的坐标为， 抛物线的解析式为：， 抛物线最高点的坐标为； 【小问2详解】 ①由题意，令， 整理得， 解得，， ， ， 当时，， 乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为， 设抛物线的解析式为， 把，代入得， 解得，， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 的顶点为，的顶点为， 可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到， 平移的最短路程为； 【小问4详解】 ，， ， 对于， 当时，， 当时，， 设竖直摆放的回收箱有m个， ， ， 答：竖直摆放的回收箱的个数为2个或3个． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 20. 课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页） 问题解决 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形． （1）动手操作 小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______． （2）探究发现 小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，． ①求的面积； ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1）平行于且 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理求解，即可解题； （2）①根据题意设，则，利用勾股定理建立方程求出，，进而得到，，再根据三角形面积公式求解，即可解题； ②根据与一边平行分情况讨论当时，当时，结合平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理进行求解，即可解题． 【小问1详解】 解：、边的中为点、， 与的位置关系为平行，数量关系为， 平行于且等于的一半， 故答案为：平行于且． 【小问2详解】 解：（2）①，． 设，则， ， ， ， 解得， ，， 、边的中为点、， ，， 的面积为； ②、、在同一直线上， 与不平行； 旋转过程中，记的对应点为， 当时， 四边形为矩形， ， ， ，的面积为， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ； 当时，作于点， ， ， ， 由旋转的性质可知，，，，， ， ， 四边形为矩形； ，， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $