专题1.1 探索勾股定理（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题1.1 探索勾股定理（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、勾股定理的探索过程 1. 面积法探索：通过数格子的方法观察直角三角形三边关系 在网格中计算直角三角形两直角边对应的正方形面积（A和B）和斜边对应的正方形面积（C） 发现规律：A + B = C，即两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 特例验证： 等腰直角三角形中，两直角边相等，斜边平方等于直角边平方的2倍 一般直角三角形中，通过割补法验证面积关系 二、勾股定理的内容 1. 定理表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 数学公式：若直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则 a² + b² = c² 3. 符号说明： a、b表示直角三角形的两条直角边 c表示直角三角形的斜边（直角所对的边） 三、勾股数 1. 定义：满足a² + b² = c²的三个正整数，称为勾股数 2. 常见勾股数组合： 勾股数组合 倍数扩展示例 3，4，5 6，8，10（×2）；9，12，15（×3） 5，12，13 10，24，26（×2） 7，24，25 - 8，15，17 - 3. 性质：勾股数的倍数仍然是勾股数 四、勾股定理的简单应用 1. 已知两边求第三边： 已知两直角边求斜边：c = 已知斜边和一直角边求另一直角边：a = 或 b = 2. 实际应用示例： 求直角三角形的边长 判断物体尺寸（如电视机屏幕尺寸指对角线长度） 解决最短路径问题的基础 五、历史背景 中国古代贡献：早在三千多年前，周朝数学家商高就提出"勾三、股四、弦五"的关系，比西方早五百多年 国际名称：西方称为"毕达哥拉斯定理"，但我国是最早发现和应用勾股定理的国家之一 六、注意事项 1. 勾股定理仅适用于直角三角形 2. 应用公式时需先确定直角边和斜边 3. 计算结果需注意单位统一 培优练习 一、选择题 1．若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（　　）． A．13 B． C．7或17 D．13或 2．如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形， 如果CD=8，BE=3，则AC等于（　　） A．8 B．5 C．3 D． 3．如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（　　） A．144 B．196 C．256 D．304 4．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（　　） A．0 B．1 C． D． 5．如图，四边形中，，且，若，则（　　） A．6 B．9 C．12 D．16 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P'是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（　　） A． B．2 C． D． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝5，AC＝13，则△ABE的周长为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 二、填空题 9．如图，在△ABC中，CB=90°，∠ACB=60°，点D，E分别为AB，AC上的动点，若BC=1，则CD+DE的最小值是　 　. 10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，则AD的长为　 　. 11．如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为　 　． 12．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的边长为 　 　． 13．如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为　 　. 14．如图，在等腰三角形中，平分垂直平分交于点，则的长是　 　． 三、解答题 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF//AB交DE的延长线于点F. （1）求证：FC=DB； （2）若AC=8，CF=5.求BC的长. 17．如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线， ，点 是 中点． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． 18．如图，在等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连结AD，过点A作 AD的垂线，过点B作BC的垂线，两条垂线交于点E。 （1）证明： ΔAEB≌ΔADC； （2）若CD=3BD=3，求 AD 的长。 19．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若． （1）当时，求的度数； （2）当时，，求的长． 20．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB. （1）求证：EF=DF； （2）若EF=2，求PE的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 探索勾股定理（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、勾股定理的探索过程 1. 面积法探索：通过数格子的方法观察直角三角形三边关系 在网格中计算直角三角形两直角边对应的正方形面积（A和B）和斜边对应的正方形面积（C） 发现规律：A + B = C，即两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 特例验证： 等腰直角三角形中，两直角边相等，斜边平方等于直角边平方的2倍 一般直角三角形中，通过割补法验证面积关系 二、勾股定理的内容 1. 定理表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 数学公式：若直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则 a² + b² = c² 3. 符号说明： a、b表示直角三角形的两条直角边 c表示直角三角形的斜边（直角所对的边） 三、勾股数 1. 定义：满足a² + b² = c²的三个正整数，称为勾股数 2. 常见勾股数组合： 勾股数组合 倍数扩展示例 3，4，5 6，8，10（×2）；9，12，15（×3） 5，12，13 10，24，26（×2） 7，24，25 - 8，15，17 - 3. 性质：勾股数的倍数仍然是勾股数 四、勾股定理的简单应用 1. 已知两边求第三边： 已知两直角边求斜边：c = 已知斜边和一直角边求另一直角边：a = 或 b = 2. 实际应用示例： 求直角三角形的边长 判断物体尺寸（如电视机屏幕尺寸指对角线长度） 解决最短路径问题的基础 五、历史背景 中国古代贡献：早在三千多年前，周朝数学家商高就提出"勾三、股四、弦五"的关系，比西方早五百多年 国际名称：西方称为"毕达哥拉斯定理"，但我国是最早发现和应用勾股定理的国家之一 六、注意事项 1. 勾股定理仅适用于直角三角形 2. 应用公式时需先确定直角边和斜边 3. 计算结果需注意单位统一 培优练习 一、选择题 1．若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（　　）． A．13 B． C．7或17 D．13或 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：斜边长=＝13，故答案为：A。 【分析】根据勾股定理： 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，代入数据即可求解。 2．如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形， 如果CD=8，BE=3，则AC等于（　　） A．8 B．5 C．3 D． 【答案】D 【解析】【解答】因为CB=BE=3，所以 BD=BA=8-3=5，所以AC= . 故答案为：D 【分析】等腰三角形的性质，两腰相等。再在△ABC中，利用勾股定理即可求出AC。 3．如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（　　） A．144 B．196 C．256 D．304 【答案】A 【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：正方形B的面积=169-25=144， 故答案为：A. 【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式求解即可. 4．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：连接AB，如图所示： 根据题意得：∠ACB=90°， 由勾股定理得：AB= 故选：C． 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果． 5．如图，四边形中，，且，若，则（　　） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【解析】【解答】解：记交于点，如图所示： ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即， ． 故选：D． 【分析】这道题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用；依据勾股定理，在直角三角形ABO和BCO中，得出AB2-AO2=BO2和BC2-CO2=BO2，所以得到AB2-AO2=BC2-CO2；已知AB=8，且AC=BC=BD，得出CO=AC-AO=BD-AO，进而得出BD·AO=32；最后根据三角形面积公式，代入得出. 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P'是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，过点B作D'B⊥BC，使BD'＝6，连接CD'交AB于点P ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC ∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP ∴△BPD≌△BPD'（SAS） ∴DP＝D'P ∴CP+DP＝CP+D'P ∴PC+PD的最小值为D'C， ∵BD＝6，CD＝2 ∴BC＝8， ∴D'C＝ ∴PC+PD的最小值为10 故答案为：D． 【分析】过点B作D'B⊥BC，且BD'＝6，连接CD'交AB于点P，根据全等三角形判定定理可得△BPD≌△BPD'（SAS），则DP＝D'P，再根据边之间的关系可得PC+PD的最小值为D'C，再根据勾股定理即可求出答案. 7．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC于D， 由网格特征和勾股定理可得，， S△ABC＝BC•AD， ， ∴AD＝， 故答案为：C. 【分析】过点A作AD⊥BC于D，由勾股定理可得BC的值，根据面积间的和差关系可得S△ABC=SMECF-S△ABM-S△BEC-S△ACF，结合三角形、矩形的面积公式可得S△ABC，然后利用三角形的面积公式可得AD的值. 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝5，AC＝13，则△ABE的周长为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】【解答】解： 即 由作图知，DE是线段AC垂直平分线， 所以 则 周长为 ， 故答案为：B. 【分析】根据勾股定理求出. 由作图知DE是线段AC垂直平分线，据此得 进一步求解即可. 二、填空题 9．如图，在△ABC中，CB=90°，∠ACB=60°，点D，E分别为AB，AC上的动点，若BC=1，则CD+DE的最小值是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：延长CB到F，使得 过F作 于点E，如下图： ∴AB垂直平分CF， ∴CD+DE的最小值是 故答案为： 【分析】先找到C关系AB的对称点，再根据垂线段最短找到最小值，再根据勾股定理求解. 10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，则AD的长为　 　. 【答案】1.75 【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠A=90°， AB=6， BC=10， BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，连接BD， ∴BC的垂直平分线为DE， ∴CD=BD， 在△ABC中， ∠A=90°， AB=6， BC=10， 由勾股定理得： 设CD =x， 则BD =x， AD =8﹣x， 在直角三角形由ABD中，由勾股定理： 解得x=6.25， ∴AD=8-6.25=1.75. 故答案为：1.75. 【分析】连接BD， 由勾股定理求得AC =8，推导出CD=BD， 设CD=x， 则BD=CD=x，AD=8--x， 由勾股定理得 进一步解答即可得解. 11．如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为　 　． 【答案】4 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， 如图所示，延长，交于，延长交于， ∵和的平分线相交于点O，交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． ∴的周长为． 故答案为：4． 【分析】延长，交于，延长交于，先利用全等三角形的判定方法和性质可得，再结合，利用线段的和差及等量代换可得，从而可得的周长为． 12．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的边长为 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点D作EF⊥L1交l1于点E，交l2于点F ∵l1//l2//l3 ∴EF⊥l3 ∴∠AED=∠ADC=∠CFD=90，DE=1，DF =2， ∴∠ADE+∠DAE =90°，∠ADE+∠CDF=90° ∴∠DAE=∠CDF ∵四边形ABCD是正方形 ∴CD=AD ∴△ADE≌△DCF(AAS) ∴AE=DF=2 ∴ 故答案为：. 【分析】过点D作EF⊥L1交l1于点E，交l2于点F，根据一线三垂直模型得到：△ADE≌△DCF(AAS)，得出：AE=DF=2，再根据勾股定理求出AD的长，即：. 13．如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点， 过点作于点，交于点， 点即为所求作的点，此时有最小值， 连接，根据对称性的性质， ， 在中，，，， ， 在和中， ≌， ， 即， ， . 故答案为：. 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，最小值为B'D的长，求出此时B'D的长即可. 14．如图，在等腰三角形中，平分垂直平分交于点，则的长是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：连接， ， ∵，平分， ∴是边中线， ∴， ∴在中应用勾股定理：， ∵垂直平分交于点， ∴设，则， 在中应用勾股定理：， ∴，解得：， 故答案为：． 【分析】连接，根据三角形中线性质可得，再根据勾股定理可得AD=2，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 三、解答题 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示： ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴M是BC的中点， ∵AB＝5，BC＝6， ∴BM＝CM＝3， ∴AM＝＝4， ∴△ABC的面积＝BC•AM＝×6×4＝12； （2）解：过点B作BN⊥AC于点N，如图所示： ∵BD＝AB， ∴AN＝DN＝AD， ∵△ABC的面积＝AC•BN＝×5•BN＝12； ∴BN＝， AN＝ ∴AD＝2AN＝． 【解析】【分析】（1）过点A作于点M，根据等腰三角形的性质可得M是中点，利用勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式计算即可. （2）过点B作于点N，先根据三角形的面积求出BN，再根据勾股定理求出AN即可. 16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF//AB交DE的延长线于点F. （1）求证：FC=DB； （2）若AC=8，CF=5.求BC的长. 【答案】（1）证明：∵CF//AB， ∴∠F=∠FDB，∠FCB=∠B， 又∵E是BC中点， ∴CE=BE， ∴△CFE≌△BDE（AAS） ∴FC=DB. （2）解：由（1）得，BD=CF=5， ∵D是AB中点， ∴AB=10， ∵AC=8，∠ACB=90°， ∴BC=6. 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和线段中点定义得出∠F=∠FDB，∠FCB=∠B，CE=BE，从而证出△CFE≌△BDE，即可证出FC=DB； （2）先根据线段中点的定义得出AB的长，再根据勾股定理即可得出BC的长. 17．如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线， ，点 是 中点． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． 【答案】（1）证明：连结DE，如图， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB=∠ADC =90°， ∵CE是AB边上的中线， ∴E是AB边上的中点， ∴AB =2DE， ∵AB=2CD， ∴CD= DE， ∵点F是CE中点， ∴DF⊥EC， ∵∠DFC =90°， ∴∠FDC+∠DCF=90°， ∵∠ADC =90°， ∴∠FDC+∠ADF =90°， ∴∠DCE=∠ADF （2）解：∵∠BAC =90°， 在直角三角形ACB中，由勾股定理得： EC===10， ∵点F是CE中点， ∴CF=5， ∵∠ADB=90°，E是AB边上的中点， ∴DE =AE =6， ∴CD=DE =6， ∵∠DFC =90°， 在直角三角形CDF中，由勾股定理得： DF=== 【解析】【分析】(1)连结DE，证明CD=DE得DF⊥EC，然后根据余角的性质即可证明∠DCE=∠ADF； (2)由勾股定理求出EC的长度，从而求出CF的长度，由直角三角形斜边的中线得DE的长度，从而得CD=DE的长度，然后再利用勾股定理即可求出DE的长. 18．如图，在等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连结AD，过点A作 AD的垂线，过点B作BC的垂线，两条垂线交于点E。 （1）证明： ΔAEB≌ΔADC； （2）若CD=3BD=3，求 AD 的长。 【答案】（1）证明： ∵AB = AC， ∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C =45°， ∵BE⊥BC， AD⊥AE， ∴∠EAD=∠EBD=90°=∠BAC， ∴∠ABE=∠ACB=45° E ， ∠BAE=∠CAD， ∴△AEB≌△ADC(ASA)； （2）解：如图， 过点A作AF⊥BC B于F， ∵CD=3BD=3， ∴BD=1， ∴BC=4， ∵AB=AC， ∠BAC=90°， AF⊥BC， ∴BF=AF=2， ∴DF =1， ∴AD= (负值舍去)。 【解析】【分析】(1)由ASA可证△AEB≌△ADC； (2)由等腰直角三角形的性质可得BF=AF =2，由勾股定理可求解. 19．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若． （1）当时，求的度数； （2）当时，，求的长． 【答案】（1）解：为的垂直平分线， 又为的角平分线 （2）解：由（1）得 ， 在中，． 【解析】【分析】（1）因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以EB＝EC，则；由角平分线的概念知BD平分，等量代换得，再利用三角形的内角和定理求解即可。（2）由三角形内角和定理的推论可判定 为直角三角形，直接使用勾股定理即可。 20．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB. （1）求证：EF=DF； （2）若EF=2，求PE的长. 【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB ∴AB=AE ∵AB=AD ∴AE=AD ∵∠DFA=90° ∴EF=DF （2）解：由（1）得：EF=DF ∵EF=2 可以求得 AG=HE=2， 证△APG≌△EPH ∴PG=PH=1 ∴PE= 【解析】【分析】(1)先通过∠ABE=∠AEB判定AB=AE=AD，再利用等腰三角形的性质证得EF=DF. (2)由题意可得EF=DF=AG=HE=2，通过AAS判定△APG≌△EPH ，进而得到PG=PH=1，再利用勾股定理计算出 PE的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$