专题1.2 一定是直角三角形吗（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题1.2 一定是直角三角形吗（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、勾股定理的逆定理（核心知识点） 勾股定理逆定理的内容：如果一个三角形的三边长分别为，且满足。 理解要点： 条件：三角形三边长满足“两短边的平方和等于最长边的平方” 结论：该三角形为直角三角形，且最长边c对应的角为直角； 地位：勾股定理逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的主要依据，与勾股定理互为逆命题。 二、勾股定理逆定理的证明思路 教材中通过“构造全等三角形”证明逆定理，具体步骤如下： 1. 构造直角三角形：已知的三边长为a、b、c，且，构造一个直角三角形 2. 利用勾股定理求斜边： 3. 证明三角形全等： 4. 得出结论：由全等三角形对应角相等， 三、勾股定理逆定理的应用步骤 判断一个三角形是否为直角三角形，需按以下步骤进行： 1. 确定最长边：比较三角形三边长，找出最长边c（若三边相等则为等边三角形，不是直角三角形）； 2. 计算平方和：计算两条较短边的平方和，即 3. 比较关系：将较短边的平方和与最长边的平方进行比较： 则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角； 则该三角形不是直角三角形 四、勾股数的概念及性质 勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 核心特征：勾股数必须同时满足两个条件：①是正整数；②满足（c为最大数）。 常见勾数举例： 基本勾股数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，12，15）等； 勾股数的倍数性质：若（a，b，c）是勾股数，则对于任意正整数k，（ka，kb，kc）也是勾股数。例如（3，4，5）的2倍（6，8，10）、3倍（9，12，15）等仍为勾股数。 五、勾股定理与逆定理的区别与联系 对比维度 勾股定理 勾股定理的逆定理 已知条件 三角形是直角三角形 三角形三边长满足 结论 三边长关系（c为斜边） 三角形是直角三角形（c所对的角为直角） 作用 已知直角三角形，求边长或证明边的关系 已知三角形三边，判断是否为直角三角形 逻辑关系 互逆命题（原命题与逆命题） 互逆定理（均为真命题） 六、易错点与注意事项 1. 忽略“最长边”的判断：应用逆定理时，必须先确定最长边c，否则可能出现判断错误。例如，三边长为（2，3，4），若误将2和4视为“较短边”，计算不相等，会错误判断；正确做法是最长边为4，计算因此不是直角三角形。 2. 混淆勾股数与非正整数边长：勾股数特指“正整数”，若三边长为 3. 隐含的三角形三边关系 七、实际应用举例 1. 判断三角形形状：已知三角形三边长为（5，12，13），最长边为13，计算 2. 解决几何问题：在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，DA = 13，且，满足，因形，四边形面积为（6）与之和，即36。 3. 生活中的应用：工人师傅测量一个三角形零件是否为直角，测得三边长分别为6cm、8cm、10cm，计算，因此该零件是直角三角形。 培优练习 一、选择题 1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 2．如果将直角三角形的三条边长同时扩大10倍，那么得到的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 3．已知的三条边之比为3：4：5，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A． B．2 C． D．3 6．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD=5，则AE的长为（　　） A． B．2 C． D．4 7．如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（　　） A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定 二、填空题 9．如图，在的网格中，　 　． 10．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为　 　. 11．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A=　 　． 12．如图，点D在内，，，，，则图中阴影部分的面积为　 　． 13．如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ， ，那么四边形ABCD的面积是　 　． 14．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD＝12，BD＝5，AB＝13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值为　 　． 三、解答题 15．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 16．如图，四边形ABCD为正方形纸片，点E是CD的中点，若CD=4，CF=1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？试说明理由． 17． 如图，在中，，垂足为，平分交于点，，，． （1）求证：； （2）求点到边的距离． 18．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC=12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC、DB，且CD＝4，BD=3. （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 19．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山．某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，，． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 20．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 一定是直角三角形吗（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、勾股定理的逆定理（核心知识点） 勾股定理逆定理的内容：如果一个三角形的三边长分别为，且满足。 理解要点： 条件：三角形三边长满足“两短边的平方和等于最长边的平方” 结论：该三角形为直角三角形，且最长边c对应的角为直角； 地位：勾股定理逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的主要依据，与勾股定理互为逆命题。 二、勾股定理逆定理的证明思路 教材中通过“构造全等三角形”证明逆定理，具体步骤如下： 1. 构造直角三角形：已知的三边长为a、b、c，且，构造一个直角三角形 2. 利用勾股定理求斜边： 3. 证明三角形全等： 4. 得出结论：由全等三角形对应角相等， 三、勾股定理逆定理的应用步骤 判断一个三角形是否为直角三角形，需按以下步骤进行： 1. 确定最长边：比较三角形三边长，找出最长边c（若三边相等则为等边三角形，不是直角三角形）； 2. 计算平方和：计算两条较短边的平方和，即 3. 比较关系：将较短边的平方和与最长边的平方进行比较： 则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角； 则该三角形不是直角三角形 四、勾股数的概念及性质 勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 核心特征：勾股数必须同时满足两个条件：①是正整数；②满足（c为最大数）。 常见勾数举例： 基本勾股数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，12，15）等； 勾股数的倍数性质：若（a，b，c）是勾股数，则对于任意正整数k，（ka，kb，kc）也是勾股数。例如（3，4，5）的2倍（6，8，10）、3倍（9，12，15）等仍为勾股数。 五、勾股定理与逆定理的区别与联系 对比维度 勾股定理 勾股定理的逆定理 已知条件 三角形是直角三角形 三角形三边长满足 结论 三边长关系（c为斜边） 三角形是直角三角形（c所对的角为直角） 作用 已知直角三角形，求边长或证明边的关系 已知三角形三边，判断是否为直角三角形 逻辑关系 互逆命题（原命题与逆命题） 互逆定理（均为真命题） 六、易错点与注意事项 1. 忽略“最长边”的判断：应用逆定理时，必须先确定最长边c，否则可能出现判断错误。例如，三边长为（2，3，4），若误将2和4视为“较短边”，计算不相等，会错误判断；正确做法是最长边为4，计算因此不是直角三角形。 2. 混淆勾股数与非正整数边长：勾股数特指“正整数”，若三边长为 3. 隐含的三角形三边关系 七、实际应用举例 1. 判断三角形形状：已知三角形三边长为（5，12，13），最长边为13，计算 2. 解决几何问题：在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，DA = 13，且，满足，因形，四边形面积为（6）与之和，即36。 3. 生活中的应用：工人师傅测量一个三角形零件是否为直角，测得三边长分别为6cm、8cm、10cm，计算，因此该零件是直角三角形。 培优练习 一、选择题 1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 【答案】A 【解析】【解答】解：A、 ，故A不能构成直角三角形； B、 ，故B能构成直角三角形； C、 ，故C能构成直角三角形； D、 ，故D能构成直角三角形； 故答案为：A. 【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，从而即可一一判断得出答案. 2．如果将直角三角形的三条边长同时扩大10倍，那么得到的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】【解答】解：∵如图， 设原直角三角形的三边的长是a、b、c，则， ∴， 即， ∴将直角三角形的三条边长同时扩大10倍，得到的三角形还是直角三角形． 故答案为：C 【分析】利用勾股定理的逆定理证明即可。 3．已知的三条边之比为3：4：5，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】【解答】解：∵△ABC的三条线段之比为3：4：5， 设这三条线段长分别为AC=3x，BC=4x，AB=5x， ∵AC2+BC2=（3x）2+（4x）2=25x2，AB2=（5x）2=25x2， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形. 故答案为：B 【分析】利用已知：△ABC的三条线段之比为3：4：5，设这三条线段长分别为AC=3x，BC=4x，AB=5x，分别求出AC2+BC2和AB2，根据其值可得到AC2+BC2=AB2，据此可得到△ABC的形状. 4．在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接 由勾股定理得： 故答案为：C 【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC、BC和AB，再利用勾股定理求出。 5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB，AC，BC， ∵AB2+AC2＝25，BC2＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∴S△ABC， ∴， ∴AD＝2， 故答案为：B. 【分析】由勾股定理求出AB、AC、BC，然后利用勾股定理逆定理得出∠BAC＝90°，最后利用三角形的面积建立等式，从而求出AD. 6．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD=5，则AE的长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】【解答】解：∵DE垂直平分线段BC， ∴BE=EC，BD=CD=5， ∴BC=10， ∵AB=8，AC=6， ∴AB2+AC2=BC2， ∴∠A=90°， 设AE=x，则BE=EC=8﹣x， 在Rt△AEC中，则有x2=（8﹣x）2+62， 解得x= ， ∴AE= ， 故答案为：A. 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC，BD=CD=5，利用勾股定理的逆定理证明∠A=90°，设AE=x，则BE=EC=8﹣x，在Rt△AEC中，则有x2=（8﹣x）2+62，解方程即可解决问题. 7．如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：根据勾股定理，得 AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25， 根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD． 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． 8．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（　　） A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定 【答案】B 【解析】【解答】解：连接AC， ∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m， ∴， ∴AC=5m， ∵， ， ∴， ∴∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积=（）， ∴要投入资金为：（元）； 故答案为：B. 【分析】连接AC，根据勾股定理可得AC=5m，利用勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD求出其面积，再乘以每平方米的费用即可. 二、填空题 9．如图，在的网格中，　 　． 【答案】45 【解析】【解答】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：45． 【分析】连接，然后根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可得到，然后根据两直线平行，内错角相等得出，，即可得到． 10．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为　 　. 【答案】14 【解析】【解答】解：∵ ∴三角形ADC是直角三角形，∠ADC= ∴∠ADB=∠ADC= ∴BD==9 ∴BC=BD+DC=9+5=14 故答案为：14. 【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形；根据勾股定理，可得BD的长，进而可以求出BC的值. 11．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A=　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图： ∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E ∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC ∵BD2+CE2=DE2 ∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90° ∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180° ∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C= ∴∠A=180° -= 故答案为：. 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值. 12．如图，点D在内，，，，，则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵在Rt△BDC中 ， ∵， ∴， ∴∠ACB=90°， ∴S阴影部分=. 故答案为： 【分析】利用勾股定理求出BC的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形；然后根据阴影部分的面积等于△ABC的面积减去△BDC的面积，利用三角形的面积公式可求出阴影部分的面积. 13．如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ， ，那么四边形ABCD的面积是　 　． 【答案】 +24 【解析】【解答】解：连结BD， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴BD=6， ∵BD2=36，CD2=64，BC2=100， BD2+CD2=BC2， ∴∠BDC=90°， S△ABD= ， S△BDC= ， 四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC= +24 故答案为： +24． 【分析】连结BD，先利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理证明∠BDC=90°，再利用三角形的面积求出两个三角形的面积，最后进行相加即可。 14．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD＝12，BD＝5，AB＝13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： ， ， ， ， ， 为 的中点， ，AB=AC 垂直平分 ， 点 ，点 关于直线 对称， 则BP=CP 过 作 交 于 ，则此时 的值最小， ， ， ， 的最小值为 ， 故答案为： ． 【分析】根据勾股定理的逆定理即可得到∠ADB=90°，继而由对称的性质即可得到PE+PB=CE时最小，根据三角形的面积公式求出答案即可。 三、解答题 15．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】解：，，， ， ， 又，，， ， 是直角三角形， 四边形的面积为： ． 【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据四边形面积=，结合三角形面积即可求出答案. 16．如图，四边形ABCD为正方形纸片，点E是CD的中点，若CD=4，CF=1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？试说明理由． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=4，∠D=∠B=∠BCD=90°， ∴△ADE，△ABF和△CEF是直角三角形， ∵点E是CD的中点，CF=1， ∴DE=CE=2，BF=3， ∴AE= = ，EF= = ，AF= =5， ∵AE2+EF2=AF2， ∴△AEF是直角三角形， 故直角三角形有4个． 【解析】【分析】因为四边形ABCD是正方形，得出AB=BC=CD=AD=4，∠D=∠B=∠BCD=90°，得出△ADE，△ABF和△CEF是直角三角形，利用勾股定理得出AE的值，由AE2+EF2=AF2，得出△AEF是直角三角形。 17． 如图，在中，，垂足为，平分交于点，，，． （1）求证：； （2）求点到边的距离． 【答案】（1）解：证明：， ， ， ，， ， ， ； （2）解：过点作， ，平分， ， ， ， 解得：， 即点到的距离为． 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC和BC的长，再结合可得，最后利用勾股定理的逆定理可证出； （2）利用三角形的面积公式可得，再将数据代入求出EF的长即可. 18．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC=12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC、DB，且CD＝4，BD=3. （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝13，AC=12 ∴BC＝＝5； （2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BC＝5， ∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2， ∴∠D=90°， ∴△BCD是直角三角形． 【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据已知条件，利用勾股定理即可求得BC的长； （2）在△BCD中，利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形． 19．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山．某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，，． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1）在中，由勾股定理得， ， 答：小路的长为15米． （2）解：在中， 为直角三角形，且 答：改造这片空地共需花费17100元． 【解析】【分析】（1）根据题意，由勾股定理计算得到AC的长度； （2）根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，继而由三角形的面积公式求出答案即可。 20．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】（1）解：由题意得 ，，， 如图，过作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：， 答：山地C距离公路的垂直距离为； （2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则， ， ， 由（1）可知，， ， 有危险需要暂时封锁， 在中， ， ， 即需要封锁的公路长为． 【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用； （1）过作，因为，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再利用等面积法可列出式子，代入数据可求出答案； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三角形的性质可得：，比较与的大小可判断是否有危险需要暂时封锁 ，再利用勾股定理得，可求出 需要封锁的公路长． 学科网（北京）股份有限公司 $$