专题1.3 勾股定理的应用（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题1.3 勾股定理的应用（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、勾股定理基础回顾 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 公式：若直角三角形两直角边为 2. 勾股定理逆定理：若三角形三边长 形。 3. 勾股数：满足的三个正整数。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41 等。 二、勾股定理的应用场景 1. 最短路径问题 立体图形表面路径： 圆柱体：将侧面展开为矩形，利用勾股定理求对角线长度（如蚂蚁爬行问题）。 例：圆柱高12cm，底面周长18cm，蚂蚁从下底A到上底B的最短路径为 正方体/长方体：展开相邻面为平面，构造直角三角形求解。 例：长方体长2、宽1、高4，蚂蚁从A到B的最短路径为 2. 实际测量与验证 判断垂直关系：通过测量三角形三边，验证是否满足 例：。 测量不可达距离：如河宽、旗杆高度、梯子滑落问题等。 3. 古算问题与经典模型 “葭生池中”问题（《九章算术》）： 设水深 x 尺，芦苇长 x+1 尺，根据勾股定理，解得水深12尺，芦苇长13尺。 “折竹抵地”问题： 设折断处高 x 尺，根据勾股定理 ，解得 x=4.55 尺。 三、解题步骤与方法 1. 立体图形路径问题 步骤：展开→找点→连线→计算。 关键：将三维问题转化为二维平面问题，利用“两点之间线段最短”原理。 2. 实际应用题 步骤： (1) 抽象为直角三角形模型； (2) 确定直角边与斜边； (3) 代入勾股定理公式求解（注意单位统一）。 方程思想：设未知数表示边长，列方程求解（如“折竹抵地”问题）。 四、常见题型分类 1. 梯子滑落问题 例：梯子长25米，靠墙时顶端距地24米，下滑4米后底端滑动距离： 原底端距墙7米，下滑后顶端12米，底端距墙15米，滑动距离8米。 2. 航海与距离问题 例：两船分别沿北偏东30°和北偏西60°航行，速度均为20海里/时，2小时后两船距离为 海里。 3. 折叠与对称问题 例：矩形折叠后顶点重合，利用勾股定理列方程求折痕长度或未知边长。 五、易错点与注意事项 1. 勾股定理逆定理应用：需先确定最长边，验证 2. 单位换算：如“丈”“尺”等古单位（1丈=10尺）。 3. 多解情况：注意分类讨论（如直角三角形斜边不确定时）。 六、经典例题解析 1. 例题1（最短路径） 圆柱底面半径5cm，高12cm，求蚂蚁从外壁A到内壁B的最短路径。 展开后矩形长 。 2. 例题2（实际测量） 旗杆绳子垂地多1米，拉开5米后刚好触地，求旗杆高度。 设旗杆高 x 米，则绳子长 x+1 米，方程 培优练习 一、选择题 1．一个长方形抽屉长 ，宽 ，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：这根木棒最长 (cm)， 故答案为：B． 【分析】利用勾股定理求解即可. 2．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部落在距根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．5米 B．7米 C．8米 D．12米 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形且∠BAC=90°， ∴BC=， ∴这棵树的高度=AB+BC=3+5=8， 故答案为：C. 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出这棵树的高度即可. 3．如图，将一根长25cm的细木棒放入长、宽、高分别为 的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（　　）cm ​​ A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得：盒子底面对角长为 盒子的对角线长为 则细木棒露在外面的最短长度为 故答案为：D． 【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候，露在外面的长度最短，然后利用勾股定理求出对角线的长度即可得． 4．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（　　）． A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【解析】【解答】解：∵在Rt△ACB中，， ∴AC＝2米， ∵BD＝0.9米， ∴CD＝BD+BC=0.9+1.5=2.4（米）， ∵在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49， ∴EC＝0.7米， ∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3（米），故B正确． 故答案为：B． 【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求出AC＝2米，在Rt△ECD中，根据勾股定理求出EC＝0.7米，由线段的和差运算AE＝AC﹣EC，代数求解即可. 5．如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：图中的直角三角形中一直角边为3m，斜边为5m，由勾股定理可知另一直角边长为m ，则需购买的红地毯长为4+3=7m，又因为台阶宽为3m，所以共需购买的红地毯为7×3=21m， 故选：A. 【分析】观察图形，结合勾股定理可知红地毯长为7，宽为3，根据长方形的面积公式即可求出结果. 6．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A．13cm B．2cm C．cm D．2cm 【答案】A 【解析】【解答】如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B= ==13（Cm）．故选：A 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 7．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得：， ∵ab=10， ∴， ∵a-b＞0， ∴， 故答案为：C. 【分析】根据正方形和三角形的面积公式以及勾股定理找出等量关系求出，再利用完全平方公式计算求解即可。 8．明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步，一步合5尺（尺），此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索的长度为（　　） A．尺 B．尺 C．20尺 D．29尺 【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得，OC=OA-CA，CA=CB-AB=A'D-AB， ∴ OC=OA-(A'D-AB)=OA-A'D+AB=OA-5+1=OA-4， 由勾股定理得，OA'²=OC²+CA'²，即OA²=(OA-4)²+10²， 解得，OA=14.5 (尺). 故答案为：B. 【分析】根据勾股定理列出方程求解即可. 二、填空题 9．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米　 　米． 【答案】9 【解析】【解答】解：在直角三角形ACD中由勾股定理得 ∴， 在直角三角形ACD中，∵CD=10 ∴ ∴BD=9 故答案为：9. 【分析】在三角形ABC中利用勾股定理求出AB，再在三角形ACD利用勾股定理求出AD的长然后即可求出BD. 10．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞　 　米. 【答案】13 【解析】【解答】解： 如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE=BD=12，AE=AB-CD=5， 在直角三角形AEC中， ， 则小鸟至少要飞13米. 故答案为：13. 【分析】如图，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC. 11．如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为　 　． 【答案】10 【解析】【解答】解：如图，由题意得， ， 故． 故答案为：10． 【分析】根据勾股定理解答即可． 12．如图，货车车高，卸货时后面挡板AB折落在地面处，已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则　 　m. 【答案】1.5 【解析】【解答】解：设BC=x m，则AB=BA1=(4-x) m， 在Rt△BCA1中，x2+22=(4-x)2，解得x=1.5 故答案为：1.5. 【分析】在Rt△BCA1中，设BC=x m，利用勾股定理列方程求解即可. 13．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长　 　． 【答案】2.6米 【解析】【解答】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． ∴此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 【分析】过点作于点，先利用线段的和差求出BE的长，再利用勾股定理求出BD的长即可. 14．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响　 　秒． 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CH⊥AB，令CM=CN=260m， ∵AB=500m，AC=300m，BC=400m， ∴， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴， ∵CM=CN=260m， ∴， ∴MN=200m， ∴ 着火点C受到洒水影响的时间为：（秒）， 故答案为：. 【分析】根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出，最后计算求解即可。 三、解答题 15．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米， ∴AB= =12（米）， ∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置， ∴CD=13﹣0.5×10=8（米）， ∴AD= = = （米）， ∴BD=AB﹣AD=12﹣ （米）， 答：船向岸边移动了（12﹣ ）米 【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用AB=AD可得BD长． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 【答案】（1）解：由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCB'＝90°， ∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°， 即∠ECF＝45°； （2）解：由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1， ∴∠EFC＝45°＝∠ECF， ∴CE＝EF＝4， ∴BE＝4+1＝5， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC＝ 设AE＝x，则AB＝x+5， ∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2， Rt△ABC中，AC2＝AB2-BC2， ∴AE2+CE2＝AB2-BC2， 即x2+42＝（x+5）2-41， 解得：x＝， ∴AE＝，AB＝AE+BE＝+5＝ ∴S△ABC＝ 【解析】【分析】⑴、由折叠（轴对称）知，三角形ACE和三角形DCE全等，三角形CBF全等于三角形B´CF，所以∠ACE等于∠DCE，∠BCF等于∠B´CF，故可知∠ECF等于二分之一的∠ACB，所以∠ECF可求； ⑵、由折叠知∠AEC等于∠DEC等于90度，且∠ECF等于45度，所以三角形ECF是等腰直角三角形，故EF等于EC等于4，所以EB等于5，直角三角形中由勾股定理可求CB长；三角形ABC是直角三角形且CB已经知道，所以求出AC的长，就可以求面积，利用共边直角三角形AEC和ACB，设 AE长从而建立方程求解，再求得AC长，从而求出三角形ABC的面积。 17．高州市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°． （1）求空地的面积； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1）解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝15（m）， ∵CD＝17m，AD＝8m， ∴AD2+AC2＝DC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝＝60+54＝114（m2）， 答：空地的面积为114m2； （2）解：150×114＝17100（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC的值，再求出 △ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可； （2）根据平均每平方米空地的绿化费用为150元，再结合（1）所求计算求解即可。 18．如图，一辆小汽车在一段限速高速公路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方的处，过了后，测得小汽车到达与车速检测仪之间的距离为的处． （1）你能计算这辆小汽车的速度吗？ （2）这辆小汽车超速了吗？ 【答案】（1）解：在中，，； 根据勾股定理可得：， 小汽车的速度为； （2）解：， 这辆小汽车不超速行驶． 答：这辆小汽车不超速． 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长度，再用BC的长度除以时间即可； （2）根据（1）中求出的速度与限速比较即可判断. 19．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得 AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m， 在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2， 即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2， 解得x＝3． 即秋千支柱AD的高为3m． 【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用，理清题意，列出方程是解题关键，根据题意设AD=x，则AB=x-0.5，AE=x-1，在Rt△ABE中，由勾股定理可得： AE2＋BE2＝AB2 ，即可列出关于x的方程，解得x=3即为答案. 20．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】（1）解：会受到台风的影响.理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图所示， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，利用三角形的面积公式求得的长，即可判断农场A是否会受到台风的影响 ， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，根据时间=路程➗速度即可求出台风影响该农场持续时间. （1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 勾股定理的应用（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、勾股定理基础回顾 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 公式：若直角三角形两直角边为 2. 勾股定理逆定理：若三角形三边长 形。 3. 勾股数：满足的三个正整数。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41 等。 二、勾股定理的应用场景 1. 最短路径问题 立体图形表面路径： 圆柱体：将侧面展开为矩形，利用勾股定理求对角线长度（如蚂蚁爬行问题）。 例：圆柱高12cm，底面周长18cm，蚂蚁从下底A到上底B的最短路径为 正方体/长方体：展开相邻面为平面，构造直角三角形求解。 例：长方体长2、宽1、高4，蚂蚁从A到B的最短路径为 2. 实际测量与验证 判断垂直关系：通过测量三角形三边，验证是否满足 例：。 测量不可达距离：如河宽、旗杆高度、梯子滑落问题等。 3. 古算问题与经典模型 “葭生池中”问题（《九章算术》）： 设水深 x 尺，芦苇长 x+1 尺，根据勾股定理，解得水深12尺，芦苇长13尺。 “折竹抵地”问题： 设折断处高 x 尺，根据勾股定理 ，解得 x=4.55 尺。 三、解题步骤与方法 1. 立体图形路径问题 步骤：展开→找点→连线→计算。 关键：将三维问题转化为二维平面问题，利用“两点之间线段最短”原理。 2. 实际应用题 步骤： (1) 抽象为直角三角形模型； (2) 确定直角边与斜边； (3) 代入勾股定理公式求解（注意单位统一）。 方程思想：设未知数表示边长，列方程求解（如“折竹抵地”问题）。 四、常见题型分类 1. 梯子滑落问题 例：梯子长25米，靠墙时顶端距地24米，下滑4米后底端滑动距离： 原底端距墙7米，下滑后顶端12米，底端距墙15米，滑动距离8米。 2. 航海与距离问题 例：两船分别沿北偏东30°和北偏西60°航行，速度均为20海里/时，2小时后两船距离为 海里。 3. 折叠与对称问题 例：矩形折叠后顶点重合，利用勾股定理列方程求折痕长度或未知边长。 五、易错点与注意事项 1. 勾股定理逆定理应用：需先确定最长边，验证 2. 单位换算：如“丈”“尺”等古单位（1丈=10尺）。 3. 多解情况：注意分类讨论（如直角三角形斜边不确定时）。 六、经典例题解析 1. 例题1（最短路径） 圆柱底面半径5cm，高12cm，求蚂蚁从外壁A到内壁B的最短路径。 展开后矩形长 。 2. 例题2（实际测量） 旗杆绳子垂地多1米，拉开5米后刚好触地，求旗杆高度。 设旗杆高 x 米，则绳子长 x+1 米，方程 培优练习 一、选择题 1．一个长方形抽屉长 ，宽 ，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　　） A． B． C． D． 2．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部落在距根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．5米 B．7米 C．8米 D．12米 3．如图，将一根长25cm的细木棒放入长、宽、高分别为 的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（　　）cm ​​ A．20 B．15 C．10 D．5 4．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（　　）． A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 5．如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（　　） A． B． C． D． 6．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A．13cm B．2cm C．cm D．2cm 7．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（　　） A． B．2 C． D．3 8．明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步，一步合5尺（尺），此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索的长度为（　　） A．尺 B．尺 C．20尺 D．29尺 二、填空题 9．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米　 　米． 10．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞　 　米. 11．如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为　 　． 12．如图，货车车高，卸货时后面挡板AB折落在地面处，已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则　 　m. 13．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长　 　． 14．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响　 　秒． 三、解答题 15．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 17．高州市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°． （1）求空地的面积； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 18．如图，一辆小汽车在一段限速高速公路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方的处，过了后，测得小汽车到达与车速检测仪之间的距离为的处． （1）你能计算这辆小汽车的速度吗？ （2）这辆小汽车超速了吗？ 19．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 20．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 学科网（北京）股份有限公司 $$