专题2.1 认识实数（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题2.1 认识实数（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、无理数的概念 1. 定义：无限不循环小数称为无理数 不能表示为两个整数之比（分数形式） 小数部分无限且不循环 2. 常见类型： 开方开不尽的数：如（1.4142...）、（2.2360...） 含π的数：如π（3.1415926...）、2π、π-1 特定结构的无限小数：如0.1010010001...（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 3. 与有理数的区别： 有理数 无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 可表示为分数形式（p/q, p、q为整数） 不能表示为分数形式 二、实数的定义与分类 1. 定义：有理数和无理数统称为实数 符号表示：实数集记作 R 2. 分类： 按正负性分类： 正实数（正有理数、正无理数） 0 负实数（负有理数、负无理数） 三、实数的相关概念 概念 定义/性质 示例 相反数 实数a的相反数为-a，0的相反数是0；a与b互为相反数 ⇨ a+b=0 的相反数是-，π的相反数是-π 绝对值 实数a的绝对值 a 表示数轴上该点到原点的距离，非负性 - 四、实数与数轴的关系 1. 一一对应： 每一个实数都可以用数轴上的唯一点表示 数轴上的每一个点都对应唯一实数 2. 无理数的几何表示： 例：在数轴上表示 (1) 以原点为直角顶点，作两直角边为1的等腰直角三角形 (2) 以斜边为半径画弧，与数轴正半轴交点即为对应的点 3. 意义： 实数填满整个数轴，无“空隙”，体现实数的连续性 五、易错点提示 1. π与3.14的区别：π是无理数，3.14是有理数近似值 2. 带根号的数不一定是无理数：如=2是有理数 3. 无理数加减运算结果：可能是有理数（如+(-=0）或无理数（如+） 培优练习 一、选择题 1．下列四个实数中，最大的数是（　　） A． B．2 C．0 D． 2．估计 的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．若a＜ ＜b，且a与b为连续整数，则a与b的值分别为（　　） A．1；2 B．2；3 C．3；4 D．4；5 4．在给出的一组数0，π， ，3.14， 中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 5．已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（　　） A． B． C． D． 6． 、 在数轴上的位置如图所示，那么化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 7．如图，数轴上表示1，的对应点分别为点A，B，点B关于点A对折后的点C，则点C所表示的数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A．2 B．+1 C．2 D．﹣1 二、填空题 9．的相反数是 　 　. 10．比较大小：　 　（填或）． 11．若 +1的值在两个整数a与a+1之间，则a=　 　． 12．数轴上A，B两点表示的数分别为﹣2和 ，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为　 　． 13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是-1，它介于整数"和n+1之间，则"的值是　 　 14．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是　 　． 三、解答题 15．将下列各数的序号填入相应的括号内： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 整数集合：{______}； 负分数集合：{______}； 正有理数集合：{______}； 无理数集合：{______}； 16．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 17．已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简 18．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中画出如图所示的一条数轴. （1）实践与操作：在数轴上找出对应的点（不写作法，保留画图痕迹）； （2）比较与的大小，并说明理由. 19．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 20．如何将 用数轴上的点表示？关键是画出长为 的线段.方法1：因为 ，所以我们可以通过画两条直角边分别为1、2的直角三角形来解决，我们把此法称为“和法”；方法2：因为 ，所以我们可以通过画直角边为2，斜边为3的直角三角形来解决，我们把此法称为“差法”. （1）用“差法”将 用数轴上的点表示（注：需用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法） （2）对于正整数n，猜想当n是什么数时，我们都能通过“差法”，将 用数轴上的点表示，并证明你的猜想. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 认识实数（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、无理数的概念 1. 定义：无限不循环小数称为无理数 不能表示为两个整数之比（分数形式） 小数部分无限且不循环 2. 常见类型： 开方开不尽的数：如（1.4142...）、（2.2360...） 含π的数：如π（3.1415926...）、2π、π-1 特定结构的无限小数：如0.1010010001...（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 3. 与有理数的区别： 有理数 无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 可表示为分数形式（p/q, p、q为整数） 不能表示为分数形式 二、实数的定义与分类 1. 定义：有理数和无理数统称为实数 符号表示：实数集记作 R 2. 分类： 按正负性分类： 正实数（正有理数、正无理数） 0 负实数（负有理数、负无理数） 三、实数的相关概念 概念 定义/性质 示例 相反数 实数a的相反数为-a，0的相反数是0；a与b互为相反数 ⇨ a+b=0 的相反数是-，π的相反数是-π 绝对值 实数a的绝对值 a 表示数轴上该点到原点的距离，非负性 - 四、实数与数轴的关系 1. 一一对应： 每一个实数都可以用数轴上的唯一点表示 数轴上的每一个点都对应唯一实数 2. 无理数的几何表示： 例：在数轴上表示 (1) 以原点为直角顶点，作两直角边为1的等腰直角三角形 (2) 以斜边为半径画弧，与数轴正半轴交点即为对应的点 3. 意义： 实数填满整个数轴，无“空隙”，体现实数的连续性 五、易错点提示 1. π与3.14的区别：π是无理数，3.14是有理数近似值 2. 带根号的数不一定是无理数：如=2是有理数 3. 无理数加减运算结果：可能是有理数（如+(-=0）或无理数（如+） 培优练习 一、选择题 1．下列四个实数中，最大的数是（　　） A． B．2 C．0 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：， ，即， 最大的数是. 故答案为：B. 【分析】先估算出，再根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，即可得出答案. 2．估计 的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【解析】【解答】∵32=9，42=16， ∴估计 在3和4之间，则 在2和3之间. 故答案为：B. 【分析】先找出与最接近的两个整数，估出的值，即可判断 的值 . 3．若a＜ ＜b，且a与b为连续整数，则a与b的值分别为（　　） A．1；2 B．2；3 C．3；4 D．4；5 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ＜ ＜ ， ∴2＜ ＜3， ∴a与b的值分别为2，3． 故答案为：B． 【分析】根据 ＜ ＜ ，可得2＜ ＜3，即可得到a、b的值。 4．在给出的一组数0，π， ，3.14，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】C 【解析】【解答】解：无理数有：π，，共有3个． 故选C． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 5．已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴a=3，b=， ∴， 故答案为：D. 【分析】先利用估算无理数大小的方法可得的整数部分为3，小数部分为，即可得到a=3，b=，再将a、b的值代入计算即可. 6． 、 在数轴上的位置如图所示，那么化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：原式=a-b-a =-b． 故答案为：C． 【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案． 7．如图，数轴上表示1，的对应点分别为点A，B，点B关于点A对折后的点C，则点C所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】由题意得：AC= ， 点C所表示的数为：1-（）= ， 故答案为：A， 【分析】根据数轴上表示1，的对应点分别为点A，B，点B关于点A对折后的点C，得到AC的长度，进而得到点C表示的数为1-AC的长度，进而求解. 8．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A．2 B．+1 C．2 D．﹣1 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意可得CD=CB=1，AD=AE， ∵点A，B表示的数分别为0，2， ∴AB=2， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴， ∴， ∴E表示的数为：． 故答案为：D． 【分析】先求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长，最后利用线段的和差求出AD的长，即可得到点E表示的数. 二、填空题 9．的相反数是 　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：的相反数是， 故答案为：. 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答. 10．比较大小：　 　（填或）． 【答案】 【解析】【解答】解：， ， 故答案为：． 【分析】先利用估算无理数大小的方法分析求解，再比较大小即可. 11．若 +1的值在两个整数a与a+1之间，则a=　 　． 【答案】5 【解析】【解答】∵ +1的值在两个整数a与a+1之间，4< <5， ∴5< +1<6， ∴a=5. 故答案为：5. 【分析】先找出与最接近的两个整数（4< <5），利用不等式的性质可得5< +1<6，进而可得a的值. 12．数轴上A，B两点表示的数分别为﹣2和 ，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵点B关于点A的对称点为C， ∴CA=AB=| -（-2）|= +2， 设点C所表示的数是x， ∴CA=|-2-x|= +2， ∴x=-2±（ +2）=-4± ， ∵C点在原点左侧， ∴C表示的数：-4- ， 故答案为： ． 【分析】根据点B关于点A的对称点为C，可以得到CA=AB=| -（-2）|= +2，设点C所表示的数是x，即可得到CA=|-2-x|= +2，求出x的值，即可得到答案。 13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是-1，它介于整数"和n+1之间，则"的值是　 　 【答案】1 【解析】【解答】解：∵4＜5＜9， ∴， ∴2＜＜3， ∴1＜＜2， ∵介于整数n和n＋1之间， ∴n＜＜n＋1， ∴n＝1， 故答案为：1． 【分析】先利用估算无理数大小的方法求出2＜＜3，再求出1＜＜2，从而可得n＝1. 14．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是　 　． 【答案】4 【解析】【解答】解：∵小正方形的边长为3 ∵两个小正方形拼成一个大正方形 ∴最接近的整数为4 故答案为：4 【分析】本题考查无理数的估算与正方形的面积，熟知正方形的面积公式与估算方法是解题关键.根据正方形的边长可得出：小正方形的面积为9，两个小正方形可平成一个大正方形，可得出大正方形的面积为9+9=18，面积开方即为边长，也就是说大正方形的边长为，由于，所以，即可得出答案. 三、解答题 15．将下列各数的序号填入相应的括号内： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 整数集合：{______}； 负分数集合：{______}； 正有理数集合：{______}； 无理数集合：{______}； 【答案】【解答】解：整数集合：； 负分数集合：； 正有理数集合：； 无理数集合：． 【解析】【分析】本题考查实数的分类.根据整数包括正整数，0，负整数可找出整数集合；根据负分数为小于0的负数可找出负分数集合；根据正有理数包括正整数，正分数可找出正有理数集合；根据无理数是无限不循环小数可找出无理数集合． 16．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是 【解析】【分析】根据题意，利用算术平方根和平方根的含义，列出关于a和b的二元一次方程组，即可得到a和b的值；估算的值，得到c，最后计算代数式3a+2b-c的值，求出其平方根即可。 17．已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简 【答案】解：由题意可得，， 又∵， ∴，， ∴ ， ， ． 【解析】【分析】利用数轴可知c＜a＜0＜b，由|a|=|b|可知a+b=0，同时可得到c-a＜0；再利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简，然后合并同类项. 18．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中画出如图所示的一条数轴. （1）实践与操作：在数轴上找出对应的点（不写作法，保留画图痕迹）； （2）比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2）解： ， ， . 【解析】【分析】（1）构建直角三角形，斜边长度即为，截取此长度即可找到对应的点； （2）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系，故，再利用不等式的性质即可求得. 19．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】（1）5； （2）解：∵， ∴的小数部分为：， ∵， ∴的整数部分为， ∴． 【解析】【解答】解：（1）∵25<29<36， ∴5<<6， ∴的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5；. 【分析】（1）先利用估算无理数大小的方法可得5<<6，再求出的整数部分是5，小数部分是即可； （2）先利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将其代入计算即可. 20．如何将 用数轴上的点表示？关键是画出长为 的线段.方法1：因为 ，所以我们可以通过画两条直角边分别为1、2的直角三角形来解决，我们把此法称为“和法”；方法2：因为 ，所以我们可以通过画直角边为2，斜边为3的直角三角形来解决，我们把此法称为“差法”. （1）用“差法”将 用数轴上的点表示（注：需用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法） （2）对于正整数n，猜想当n是什么数时，我们都能通过“差法”，将 用数轴上的点表示，并证明你的猜想. 【答案】（1）解：过原点作竖直线OA，再以原点O为圆心，用圆规截取一个单位长度为半径画弧交OA为点B，以B为圆心截取两个单位长度为半径画弧交x轴于点C，此时线段OC= ； （2）解：当n为奇数时，均可通过“差法”，将 用数轴上的点表示； 当n为奇数时： ① ② ③ ④ …… ∴观察可知：差法的前一个数比它后面的数大1， ∴设 （x=y+1）， ∴ ∴ 当n为奇数时，均可通过“差法”，将 用数轴上的点表示. 【解析】【分析】（1）过原点作竖直线OA，再以原点O为圆心，用圆规截取一个单位长度为半径画弧交OA为点B，以B为圆心截取两个单位长度为半径画弧交x轴正半轴于点C，此时点C所表示的数就是 ； （2）当n为奇数时：1=12-02，3=22-12，5=32-22，7=42-32，观察可知：差法的前一个数比它后面的数大1，设n=x2-y2（x=y+1），则n=(y+1)2-y2，化简即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$