专题2.2 平方根与立方根（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题2.2 平方根与立方根（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、平方根 1.1 平方根的概念 定义：如果一个数。 例如：因为。 1.2 平方根的表示方法 一个非负数 ”。 其中， 1.3 平方根的性质 数的类型 平方根的个数 平方根的性质 举例 正数（ a > 0 ） 2个 互为相反数 4 的平方根是 0（ a = 0 ） 1个 0 0 的平方根是 0 负数（ a < 0 ） 0个 没有平方根 -4 没有平方根 1.4 算术平方根的非负性 算术平方根的双重非负性：对于 例如：若 。 二、立方根 2.1 立方根的概念 定义：如果一个数 。 2.2 立方根的表示方法 ， 2.3 立方根的性质 数的类型 立方根的个数 立方根的符号 举例 正数（ a > 0 ） 1个 正数 0（ a = 0 ） 1个 0 负数（ a < 0 ） 1个 负数 2.4 开方与乘方的互逆关系 开平方：求一个数平方根的运算，与平方运算互为逆运算。即若 开立方：求一个数立方根的运算，与立方运算互为逆运算。即若 三、平方根与立方根的对比 对比项目 平方根 立方根 被开方数范围 非负数 任意实数（ a 为全体实数） 结果个数 正数有2个，0有1个，负数没有 任意实数都有1个 符号表示 ） 与原数符号关系 正数的平方根互为相反数，0的平方根为0 正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0 四、典型应用与注意事项 4.1 实际应用举例 平方根的应用：已知正方形的面积为（算术平方根的应用）。 立方根的应用：已知正方体的体积为 4.2 易错点提醒 混淆“平方根”与“算术平方根”：例如 。 忽略被开方数的取值范围：负数没有平方根，但负数有立方根（且为负数）。 根指数的省略： 培优练习 一、选择题 1．2的算术平方根是（　　） A． B．2 C．± D．±2 【答案】A 【解析】【解答】解：∵=2， ∴2的算术平方根为. 故答案为：A 【分析】根据算式平方根的定义即可求出答案. 2．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：A、，A不符合题意； B、，B符合题意； C、，C不符合题意； D、 ，D不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据平方根、立方根的定义及性质即可求解. 3．下列实数，，π，中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】【解答】解：，是有理数， 是无理数，有2个． 故答案为：B． 【分析】先求立方根，然后利用无限不循环小数是无理数判断即可． 4．若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得： 则 等号两边同时立方可得：a=-b ∴a+b=0 故答案为：C 【分析】根据相反数的定义可得，等号两边同时立方可得：a=-b，则a+b=0，即可求出答案. 5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵输入的x为64， ∴， ∴， ∵2是有理数， ∴2的算术平方根是，是无理数， 则输出的y是， 故选：C． 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根.先根据程序得出，据此可得：，再求它的算术平方根可得：，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，进而可得2是有理数，2的算术平方根是，是无理数，进而可求出答案. 6．已知x为实数，且 ﹣ ＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（　　） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ﹣ ＝0， ∴ ． ∴x﹣3＝2x+1． ∴x＝﹣4． ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9． ∴x2+x﹣3的算术平方根为 ． 故答案为：A． 【分析】根据立方根的性质及 ﹣ ＝0，可得x﹣3＝2x+1，求出x的值，再将x的值代入 x2＋x﹣3 ，再根据算术平方根的性质求解即可。 7．若a，b是两个连续自然数，且满足，则ab的算术平方根为（　　） A． B． C．20 D． 【答案】D 【解析】【解答】∵， ∴a=4，b=5， ∴ab=4×5=20， ∴ab的算术平方根为， 故答案为：D. 【分析】先利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再利用算术平方根的计算方法求解即可. 8．若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．6 【答案】B 【解析】【解答】解：，且， ， 解得， ，恰好是等腰三角形的两条边的长，故分两种情况讨论： ①当腰长为，底边长为时，，不满足三角形三边关系定理，即“腰长为，底边长为”不符合题意； ②当腰长为，底边长为时，得的周长是， 故答案为：B． 【分析】根据绝对值和二次根式非负性可得关于m、n的方程，解方程求得，的值，根据等腰三角形的性质分两种情况讨论并结合三角形的三边关系定理即可求解． 二、填空题 9．　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：． 故答案为：． 【分析】 正数有两个平方根，是一对相反数；0有一个平方根，是它本身；负数没有平方根． 10．计算： 　 　． 【答案】1 【解析】【解答】原式=3-2=1 ． 故答案为：1． 【分析】原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 11．一个正方体的体积为8cm3，则这个正方体的棱长为　 　cm。 【答案】2 【解析】【解答】解：设这个正方体的棱长为acm， 根据题意可得：a3=8， 解得：a=2， 故答案为：2. 【分析】设这个正方体的棱长为acm，利用正方体体积的计算方法列出方程a3=8，再求出a的值即可. 12．是的算术平方根，是立方根，则　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：∵是的算术平方根，是立方根， ∴ ∴， 故答案为：． 【分析】 根据算术平方根和立方根的定义，得出，代入代数式计算即可． 13．某正数的平方根分别是和，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵某正数的平方根分别是和， ∴+=0， 解得：a=-2. 故答案为：-2. 【分析】根据平方根的性质，即可得出+=0，解得a=-2. 14．对于正实数a，b作新定义：，在此定义下，若，则x的值为　 　． 【答案】16 【解析】【解答】解：由题意可知，，解得． 故答案为：． 【分析】根据对，的新定义，可把，变形为，解方程求出x的值即可． 三、解答题 15． 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义可以求出的值，由立方根的定义可计算出、的值，带入原式利用有理数的混合运算即可求解； （2）根据算术平方根、立方根的定义，可求出、的值，利用绝对值的性质可对进行化简得代入原式即可求解. 16．已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 是 的整数部分，求 的平方根． 【答案】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4， ∴5a+2=27，3a+b-1=16， ∴a=5，b=2， ∵c是 的整数部分， ∴c=3， ∴3a-b+c=16， 3a-b+c的平方根是±4． 【解析】【分析】由立方根的意义可得 5a+2= 3 3，由算术平方根的意义可得 3a+b-1= 4 2，解方程组可求得a、b的值，由3 4可得c=4，再将求得的a、b、c的值代入所求代数式计算即可求解。 17．如果一个正数m的两个平方根分别是和是的立方根． （1）求m和n的值． （2）求的算术平方根． 【答案】（1）解：一个正数m的两个平方根分别是和， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， 的算术平方根是． 【解析】【分析】（1）根据平方根的性质可得，则a=4，即可得m值，再根据立方根性质即可求出答案. （2）根据算术平方根的性质即可求出答案. 18．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，且． （1）求的平方根； （2）若在轴的正半轴上有一点，且的面积是27，求点的坐标； （3）过（2）中的点作直线轴，在直线上是否存在点，使得的面积是面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：由题意得， （2）解：， 假设点的坐标为，则有，， 点的坐标为 （3）解：由题意得，点的横坐标为3 设点的纵坐标为，则有，， ， 点的坐标为或 【解析】【分析】（1）根据平方根和绝对值的非负性求出a和b的值； （2）根据三角形的面积求出三角形的高，求出点C的坐标即可； （3）根据（2）的结论△ABC的面积为27，即可得到△ACD的面积为3，根据MN∥y轴得到△ACD的高为3，求出底得到点C的坐标即可。 19．如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点， （1）点表示的数为　 　；点B表示的数为　 　，线段的长度为　 　； （2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为， ①实数的值为 ▲ ； ②求的值； （3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。 【答案】（1）；； （2）解：①； ② （3）解：因为与互为相反数 所以 因为， 所以 解得或者 当时：没有平方根 当时： 综上，的平方根为 【解析】【解答】解：（1） 面积为2的正方形 点A表示的数为 故第一空填： 面积为3的正方形 点B表示的数为 故第二空填： 线段AB的长度为 故第三空填： 【分析】（1）理解开方的意义，会在数轴上表示数，会求两点间的距离； （2）掌握用加减法表示数轴上的点的运动，向右为加，向左是减，会借助数轴提示的正负性给绝对值化简； （3）根据题意，互为相反数的两个数代数和是0，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出m、n的值，代入求平方根即可。 20．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … （1）表格中的　 　，　 　． （2）从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：　 　． （3）若，求的值． （参考数据：） 【答案】（1）80； （2）被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 （3）解：根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【解析】【解答】解：（1）， . 故答案为：80；0.4. （2）立方根的变化规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位. 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位. 【分析】（1）利用平方根、立方根的定义代入数值进行计算即可； （2）根据表格中的数字变化规律得出结论； （3）根据（2）中得到的算术平方根、立方根的变化规律进行解答即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 平方根与立方根（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、平方根 1.1 平方根的概念 定义：如果一个数。 例如：因为。 1.2 平方根的表示方法 一个非负数 ”。 其中， 1.3 平方根的性质 数的类型 平方根的个数 平方根的性质 举例 正数（ a > 0 ） 2个 互为相反数 4 的平方根是 0（ a = 0 ） 1个 0 0 的平方根是 0 负数（ a < 0 ） 0个 没有平方根 -4 没有平方根 1.4 算术平方根的非负性 算术平方根的双重非负性：对于 例如：若 。 二、立方根 2.1 立方根的概念 定义：如果一个数 。 2.2 立方根的表示方法 ， 2.3 立方根的性质 数的类型 立方根的个数 立方根的符号 举例 正数（ a > 0 ） 1个 正数 0（ a = 0 ） 1个 0 负数（ a < 0 ） 1个 负数 2.4 开方与乘方的互逆关系 开平方：求一个数平方根的运算，与平方运算互为逆运算。即若 开立方：求一个数立方根的运算，与立方运算互为逆运算。即若 三、平方根与立方根的对比 对比项目 平方根 立方根 被开方数范围 非负数 任意实数（ a 为全体实数） 结果个数 正数有2个，0有1个，负数没有 任意实数都有1个 符号表示 ） 与原数符号关系 正数的平方根互为相反数，0的平方根为0 正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0 四、典型应用与注意事项 4.1 实际应用举例 平方根的应用：已知正方形的面积为（算术平方根的应用）。 立方根的应用：已知正方体的体积为 4.2 易错点提醒 混淆“平方根”与“算术平方根”：例如 。 忽略被开方数的取值范围：负数没有平方根，但负数有立方根（且为负数）。 根指数的省略： 培优练习 一、选择题 1．2的算术平方根是（　　） A． B．2 C．± D．±2 2．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列实数，，π，中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　） A． B．2 C． D． 6．已知x为实数，且 ﹣ ＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（　　） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 7．若a，b是两个连续自然数，且满足，则ab的算术平方根为（　　） A． B． C．20 D． 8．若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．6 二、填空题 9．　 　． 10．计算： 　 　． 11．一个正方体的体积为8cm3，则这个正方体的棱长为　 　cm。 12．是的算术平方根，是立方根，则　 　． 13．某正数的平方根分别是和，则　 　． 14．对于正实数a，b作新定义：，在此定义下，若，则x的值为　 　． 三、解答题 15． 计算： （1）； （2）． 16．已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 是 的整数部分，求 的平方根． 17．如果一个正数m的两个平方根分别是和是的立方根． （1）求m和n的值． （2）求的算术平方根． 18．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，且． （1）求的平方根； （2）若在轴的正半轴上有一点，且的面积是27，求点的坐标； （3）过（2）中的点作直线轴，在直线上是否存在点，使得的面积是面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点， （1）点表示的数为　 　；点B表示的数为　 　，线段的长度为　 　； （2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为， ①实数的值为 ▲ ； ②求的值； （3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。 20．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … （1）表格中的　 　，　 　． （2）从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：　 　． （3）若，求的值． （参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $$