精品解析：甘肃省陇南市礼县第六中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

八年级第一次学情评估数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：，A错误； 是最简二次根式，B正确； ，C错误； ，D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，掌握最简二次根式定义是解题的关键． 2. 如图，在中，，若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得：． 故选；B． 3. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质分别判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 而对角线不一定相等，故不成立， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的性质是：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A. 4，5，6                            B. 2，3，4                            C. 1，1，                             D. 1，2，2 【答案】C 【解析】 【详解】根据勾股定理的逆定理可得，三条边满足，因为， 故选：C． 点睛：本题主要考查勾股定理的逆定理，解决本题的关键是要熟练利用勾股定理逆定理进行判定． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， ， ， ， 故选B． 6. 以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ） A. 6 B. 36 C. 64 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】∵两个正方形的面积分别为8和14， 且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方， ∴正方形A的面积=14-8=6． 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 7. 如图，平行四边形的对角线交于点，且，的周长为19，则的两条对角线的和是（ ） A. 12 B. 13 C. 26 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】首先由平行四边形的性质可求出的长，由条件的周长为19，即可求出的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵的周长为19， ∴， ∵，， ∴平行四边形的两条对角线的和， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．熟记平行四边形的性质，由三角形的周长求出是解决问题的关键． 8. 如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度.若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 表示的实数为． 故选：A． 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】由题意可知，， ∴． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：． 故选：B． 10. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A. ﹣7 B. ﹣6 C. ﹣5 D. ﹣4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可． 【详解】解：去分母得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴ ， ∴， 又∵是增根，当时， ，即， ∴， ∵有意义， ∴， ∴， 因此 且， ∵m为整数， ∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4， 故选：D． 【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式计算即可． 【详解】解：二次根式有意义，则， ∴． 故答案为：． 12. 若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为___． 【答案】13或##或13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，学会分类讨论直角三角形的边长是解题的关键．根据题意，分2种情况讨论，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：若两直角边长为12和5，则第三边长为； 若斜边长为12，其中一条直角边长为5，则第三边长为． ∴综上所述，第三边长为13或． 13. 计算：____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：． 故答案为：30． 14. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为_______尺． 【答案】 【解析】 【分析】设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 答：绳索长为尺． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 15. 在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的面积为________． 【答案】18 【解析】 【分析】由题意可求得正方形的边长，从而可求得原长方形的长和宽，故可求得原长方形的面积． 【详解】∵正方形纸片的面积为， ∴边长为， ∴原长方形的长为（），宽为（）， ∴原长方形纸片的面积为（）． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的运算，关键是由正方形的面积求得正方形的边长． 16. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为___． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键． 首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴， 故答案为：． 17. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米）， 故答案为：． 18. 下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形 ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有 ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数 ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则，，必是勾股数 其中正确的是___________（填序号）． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故④说法正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除，再合并即可； （2）根据二次根式、绝对值的性质化简，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的减法，再化除为乘并约分，最后代入x的值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 21. 在中，其中两边长为a，b，且a，b满足． （1）求a，b的值． （2）求的斜边长． 【答案】（1）， （2）或4 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理： （1）根据非负数的性质得到，则，解方程即可得到答案； （2）分边长为4的边为斜边和直角边两种情况结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：当边长为4的边为直角边为，则斜边的长为，当边长为4的边为斜边时，斜边长即为4； 综上所述，的斜边长为或4． 22. 如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若为等边三角形，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据三角形的中位线定理，得到，根据，得到，即可得证； （2）过点作，交于点，求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 23. 如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形． （1）使三角形的三边长分别为3，，；（在图①中画一个即可） （2）使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可） 【答案】（1）图见解析（答案不唯一）； （2）图见解析（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作图-网格作图，掌握相关知识是解题的关键． （1）先在正方形网格中取线段长为整数的线段，然后根据勾股定理找出点的位置； （2）先在正方形网格中取，然后由三角形的面积公式入手求得边上的高线的长度；最后根据钝角三角形的定义确定点的位置． 【小问1详解】 解：先在正方形网格中取线段长为整数的线段，然后根据勾股定理找出点的位置，依次连接三点，则即为所求，如图： 由网格可知，， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示： 由网格可知，， 根据三角形的面积公式知， ，即， 解得：， 取格点，依次连接，是符合题意的钝角三角形（答案不唯一）． 24. 一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，先将部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了，则铁桶的底面边长是多少？（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与二次根式性质的应用；设铁桶的底面边长是，根据容器中倒出的水的体积等于铁桶中水的体积，列出方程，利用算术平方根求解即可． 【详解】解：设铁桶的底面边长是． 则， 即， 所以． 答：铁桶的底面边长是． 25. 如图，在长方形中，，，点P在边上，将沿折叠，使点C落在点E处，，分别交于点O，F．已知，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等；由可判定，由全等三角形的性质得，，设，由勾股定理得，即可求解；能根据折叠的性质熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质得：，，， 在和中， ， （）， ，， ， ， 设，则，， ， 在中， ，即， 解得：， 即． 26. 在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 小明从第③步开始出错的； 故答案为：③； 【小问2详解】 原式 ． 27. 先化简，再求值：，，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握以上知识是解题的关键；本题先根据二次根式的性质把、和进行化简，然后求得和的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把和代入： 即； 28. 中，，垂足为点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． （1）如图1，当点在线段上，时，求证：； （2）如图2，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系； （3）如图3，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系； 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． （1）由，，得，则，由旋转得，则，即可证明，得，由平行四边形的性质得，则，即可得到答案； （2）当点E在线段延长线上，则，所以，则，而，则，即可证明，所以，则即可得到答案； （3）当点E在线段延长线上，时，则，，所以，证明，得，所以，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：于点E， ， ， ， ， 将绕点E逆时针旋转，得到， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【小问2详解】 ，理由如下： ∵交的延长线于点E， ， ， ， ， 将绕点E逆时针旋转，得到， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 ，理由如下： ∵交的延长线于点E， ， ， ， ， ， 将绕点E逆时针旋转，得到， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第一次学情评估数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A. 4，5，6                            B. 2，3，4                            C. 1，1，                             D. 1，2，2 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 12 D. 18 6. 以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ） A. 6 B. 36 C. 64 D. 8 7. 如图，平行四边形的对角线交于点，且，的周长为19，则的两条对角线的和是（ ） A. 12 B. 13 C. 26 D. 24 8. 如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度.若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 10. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A. ﹣7 B. ﹣6 C. ﹣5 D. ﹣4 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为___． 13. 计算：____． 14. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为_______尺． 15. 在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的面积为________． 16. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为___． 17. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 18. 下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形 ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有 ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数 ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则，，必是勾股数 其中正确的是___________（填序号）． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 在中，其中两边长为a，b，且a，b满足． （1）求a，b的值． （2）求的斜边长． 22. 如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若为等边三角形，，求的面积． 23. 如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形． （1）使三角形的三边长分别为3，，；（在图①中画一个即可） （2）使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可） 24. 一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，先将部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了，则铁桶的底面边长是多少？（结果保留根号） 25. 如图，在长方形中，，，点P在边上，将沿折叠，使点C落在点E处，，分别交于点O，F．已知，求的长． 26. 在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 27. 先化简，再求值：，，求的值． 28. 中，，垂足为点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． （1）如图1，当点在线段上，时，求证：； （2）如图2，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系； （3）如图3，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $