6.4 平行线（暑期预习讲义）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册苏科版 第六章 平面图形的初步认识 6.4 平行线（暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解平行线的概念，知道在同一平面内两条直线的位置关系。 2. 会用符号表示两条直线平行。 3. 了解生活中存在的平行线现象。 4. 掌握用直尺和三角板画平行线的方法。 5. 了解“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”这一基本事实。 知识点梳理 1. 平行线的定义 · 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 · 关键词理解： · “同一平面内”：这是前提条件。如果两条直线不在同一平面内，即使不相交，也不能称为平行线（此阶段暂不深入）。 · “不相交”：这是平行线的特征。在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 · “直线”：平行线指的是直线，而不是射线或线段。两条线段或射线平行，是指它们所在的直线平行。 2. 平行线的表示方法 · 平行用符号“∥”表示。 · 如果直线AB和直线CD平行，记作“AB ∥ CD”，读作“AB平行于CD”。 · 注意：平行线是相互的，AB ∥ CD也可以写成CD ∥ AB。 3. 生活中的平行线 · 生活中有很多平行线的例子，例如：黑板相对的两条边、练习本上的横线、铁轨的两条铁轨、双杠的两根杠等。 4. 平行线的画法 · 工具：直尺、三角板。 · 步骤（以过直线外一点画已知直线的平行线为例）： 1. 一落：把三角板的一条直角边落在已知直线上。 2. 二靠：用直尺紧靠三角板的另一条直角边。 3. 三推：沿直尺推动三角板，使三角板原来落在已知直线上的那条直角边经过这个已知点。 4. 四画：沿三角板的这条直角边画直线。这条直线就是过已知点且与已知直线平行的直线。 5. 平行公理（基本事实） · 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 · 理解：“有”表示存在性，“只有一条”表示唯一性。即这样的直线肯定存在，并且只能画出一条。 易错点提醒 1. 忽略“同一平面内”这个前提：误认为空间中不相交的两条直线就是平行线。在初中阶段，我们主要研究同一平面内的直线位置关系。 2. 对“不相交”的理解不到位：平行线是指无限延伸后也不会相交的直线。有些图形中的线段或射线看起来不相交，但它们所在的直线延长后会相交，这样的线段或射线不叫平行线。 3. 画平行线时操作不规范：忘记用直尺紧靠三角板，或者推动三角板时直尺移动，导致画出的直线不平行。 4. 混淆“平行”和“相等”：平行是指直线的位置关系，相等是指线段的长度或角的大小关系，两者不能混为一谈。 5. “有且只有一条”的理解：要注意是“经过直线外一点”，如果这个点在直线上，是无法画这条直线的平行线的（因为它们会重合，而重合的直线通常看作一条直线）。 知识点总结 · 平行线的定义要抓住“同一平面内”和“不相交”两个关键。 · 平行线用符号“∥”表示。 · 会用直尺和三角板按步骤画出平行线。 · 牢记并理解平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 预习建议 1. 通读教材：仔细阅读课本中6.4节的内容，初步理解平行线的概念和相关知识。 2. 动手操作：准备好直尺和三角板，按照教材或讲义中的步骤，多练习画平行线，特别是过直线外一点画已知直线的平行线。 3. 联系生活：观察生活中的物体，找出其中存在的平行线，感受数学与生活的联系。 4. 思考辨析：对于易错点，要多加思考，区分易混淆的概念。 5. 提出疑问：在预习过程中，如果遇到不理解的地方，做好标记，带着问题到课堂上听老师讲解。 巩固练习 一、选择题 1．利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（　　） A． B． C． D． 3．如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 5．如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD 的度数为（　　）. A．20° B．30° C．40° D．70° 6．如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE 上，点 F 在DG上，设与∠α相等的角的个数为m（不包括∠α本身），与∠β互补的角的个数为n，若α≠β，则m+n 的值是（　　）. A．8 B．9 C．10 D．11 7．小明在复习《第3章图形的初步认识》和《第4章相交线和平行线》时，总结了这两章的基本事实如下：①两点确定一条直线；②两点之间直线最短；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等，两直线平行．他总结的三个正确基本事实是（　　） A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤ 8．如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 9．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④∠B+∠BAD＝180°，其中能推出AB∥DC的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题 10．如图，在两条笔直且平行的景观道AB，CD 上放置P，Q两盏激光灯如下图所示，当光线 PB按顺时针方向以每秒6°的速度旋转至 PA 便立即回转，并不断往返旋转；光线QC 按顺时针方向每秒2°的速度旋转至QD 边就停止旋转，若光线QC 先转5秒，光线 PB 才开始转到，当光线 PB 旋转时间为　 　秒时，PB1∥QC1. 11．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为　 　时，与平行． 12．如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为　 　．（填序号）． 13． 如图，直线，被所截，则的同旁内角是　 　． 14．如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝，则∠2＝　 　 15．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的大小为　 　． 16．如图，下列条件中： ①；②；③；④， 能判定的条件有　 　（填序号）． 17．如图，已知AB∥CD， =　 　 18．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上后，形成反射光束，发现，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则与天花板所形成的角的度数可用含的代数式表示为　 　． 19．一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 （ ）.在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为　 　. 20．如图，已知，，，则　 　． 三、解答题 21． 如图，已知CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC，求证：AB∥GF. 22．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 （1）几秒后与重合？ （2）如图2，经过t秒后，，求此时t的值； （3）若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ （4）在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 23．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数． 24．（感知）如图①， ， ，．求的度数． （提示：过点P作直线） （1）当点P在线段AB上运动时，，，之间的数量关系为　 　． （2）当点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出，， 之间的数量关系为　 　． 25．梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视.设灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心. （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 26．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°.求∠APC度数. 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°. 问题迁移： （1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系. 27．如图 （1）如图①， ， ， ．求 的度数． （提示：过点P作直线 ） （2）如图②， ，点P在射线OM上运动， ， ． ①当点P在线段AB上运动时， ， ， 之间的数量关系为　 　． ②当点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出 ， ， 之间的数量关系为　 　． 参考答案 1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．D 8．A 9．B 10．或 11．63 12．①②③ 13． 14．133° 15． 16．①③④ 17．85° 18．或. 19．30°或45°或120°或135°或165° 20． 21．证明：作CK∥FG，延长GF，CD 交于H 点， ∵CD∥EF， ∴∠1=∠H ∵CK∥FG ∴∠H+∠HCK=180° ∴∠1+∠2+∠BCK=180°， ∵∠1+∠2=∠ABC， ∴∠ABC+∠BCK=180°， ∴CK∥AB， ∴AB∥GF. 22．（1）10秒后与重合 （2）经过秒或80秒后， （3）经过20秒时间与重合 （4）的值为或 23．解： ∵AB∥CD， ∴∠1=∠CBA=65°，∠2=∠DBE， 又∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABC=130°， ∴∠DBE=180°-∠ABD=180°-130°=50°， ∴∠2=50°． 24．（1） （2）或 25．（1）∵灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒， ∴P灯照射一次需要的时间是： （秒） Q灯照射一次需要的时间是： （秒）； （2）∵转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚， ∴ ， ， 如下图示，过点 作 ， 则有 ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； （3）①当两灯开启时间小于18秒时， 如图1所示， 过点 作 ， 则有 ∵ ， ， ∴ ， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得： ； ②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第一次与 相遇，则如图2所示， 过点 作 ， 则有 ∴ ， ， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得： ； ③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第二次与 相遇，则如图3所示， 过点 作 ， 则有 ∵ ， ， ∴ ， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得： ； 综上所述，当开启15s或 s或 s后，两灯的光束互相垂直. 26．（1）解：∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下： 如图，过P作PE∥AD交CD于E. ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β. （2）当点P在B、O两点之间时， ； 当点P在射线AM上时， . 27．（1）解：过点P作直线 ， ∵ ， ∴ ． ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． ∴ 的度数为 ． （2）； 或 学科网（北京）股份有限公司 $$