第二章 一元二次方程 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.用配方法解方程时，原方程变形为(    ) A. B. C. D. 2.已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4.下列方程中，一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.若和为一元二次方程的两个根．则值为(    ) A. B. C. D. 7.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片若全班有名学生，根据题意，列出方程为(    ) A. B. C. D. 8.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.方程的实数解是           ． 10.关于的方程为实数且，恰好是该方程的根，则的值为          ． 11.关于的方程是，那么当 ______时，方程为一元二次方程． 12.若关于的方程的一个根为，则的值为           ． 13.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是          ． 14.设，是关于的方程的两个根，且，则的值为____． 15.若菱形的两条对角线的长分别是方程的两个实数根，则菱形的面积为          ． 16.若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的取值范围是          ． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.用配方法解下列方程： ； ． 18.解方程： ． 四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知关于的方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 20.本小题分 已知：关于的一元二次方程为常数． 证明：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根； 若方程有一个根为，求方程的另一个根． 21.本小题分 在西安市争创全国教育强市的宏伟目标指引下，高新一中初中新校区在今年如期建成．在校园建设过程中，规划将一块长米，宽米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的，求广场中间小路的宽． 22.本小题分 水果店林阿姨以每斤元的价格购进芦柑，若以每斤元的价格出售，每天可出售斤．通过调查发现，芦柑的售价每降低元，每天可多售出斤．林阿姨决定将芦柑每斤降低元销售． 降价后每天可销售多少斤芦柑？用含的代数式表示； 为保证每天盈利元且至少售出斤，需将每斤的售价降低多少元？ 23.本小题分 如图，中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，同时从点出发以相同和速度向点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为？ 用含的代数式表示、的长，并直接写出的取值范围； 多长时间后的面积为？ 设，直接求出的取值范围； 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键． 首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解． 【解答】 解：， ， ， ． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据根与系数的关系和已知和的值，可求、的值，再代入求值即可． 【解答】 解：，是关于的方程的两实数根， ，， 解得，， ． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选B． 本题考查根的判别式． 先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断方程根的情况． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是；一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】 解：是一元二次方程； B.不是一元二次方程； C.化简后不是一元二次方程； D.二次项系数可能为，不是一元二次方程． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式根据当，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，没有实数根，据此可得到本题的，从而得到的值． 【解答】 解：原方程可化为， 由题意得，解得． 故选A． 6.【答案】  【解析】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故选：． 先根据方程求出两根之和与两根之积的值，然后再根据，代入求值． 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得． 故选：． 根据判别式的意义得，然后解不等式即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 9.【答案】，  【解析】【分析】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】 解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 故答案为：，． 10.【答案】  【解析】根据方程的解的概念，将代入方程，然后利用等式的性质求解即可． 本题考查一元二次方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键． 解：把代入原方程可得：， ，等式左右两边同时除以，可得：， 即． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：关于的方程是为一元二次方程， ， 解得． 故答案为：． 根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程． 本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键． 把代入方程得出，求出方程的解即可． 【解答】 解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：关于的方程有实数根， ， ， ． 故答案为：． 由关于的方程有实数根知，求出的取值范围即可． 本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根． 14.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了根与系数的关系，掌握相关等式是解题的关键根据根与系数的关系求得，将其代入已知方程，列出关于的方程，解方程即可． 【解答】 解：根据题意，知，则， 将其代入关于的方程，得． 解得． 故答案是：． 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】且  【解析】【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据题意列出不等式组是解题的关键． 根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可． 【解答】 解：根据题意可知，． 解得：且， 故答案为且． 17.【答案】解：， ， ， ， ，． 由原方程，得， 配方，得， 即， ， ，．   【解析】本题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程，二次项系数化为是前提，方程两边同时加上一次项系数一半的平方是关键用配方法解方程一般是根据完全平方公式的结构特点，将一元二次方程转化为的形式求解． 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，转化为可直接开平方的形式，解之即可； 先把二次项系数化为，再配方转化为可直接开平方的形式，解之即可． 18.【答案】解：， ， ， 所以，； ， 或， 所以，．  【解析】利用配方法解方程； 利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． 19.【答案】解：关于的方程有两个实数根，． ， 解得． ，， 即， ， ，．  【解析】计算根的判别式，由题意得关于的不等式，求解即可； 利用根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和与积，代入关系式得关于的方程，求解即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解时，容易只注意解关于的方程，忽略的范围而出错．一元二次方程的根与系数的关系为：，． 20.【答案】证明：， ，， ， ， ， ， 无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根； 设方程的另一个根为， 则  ， 方程的另一个根为．  【解析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论； 利用两根之积为确定方程的另一根． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式． 21.【答案】解：设广场中间小路的宽为米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 又， ， ． 答：广场中间小路的宽为米．  【解析】设广场中间小路的宽为米，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】解：斤． 答：每天的销售量是斤； 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． ． 答：需将每斤的售价降低元．  【解析】利用每天的销售量降低的价格，即可用含的代数式表示出每天的销售量； 利用每天销售葡萄的利润每斤的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要保证每天至少售出斤，即可确定的值，进而可得出每斤的售价降低的钱数． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每天的销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23.【答案】解：，点从点出发以每秒的速度向点运动， 当运动时间为时，； 点从点出发以每秒的速度向点运动， ． ，，点，的运动速度为每秒，且当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动， 的取值范围为． 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：经过或时，的面积为； 根据题意得，， ， 的取值范围为．  【解析】根据题意即可得到结论； 根据题意列方程即可得到结论； 根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 第2页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$