精品解析：天津市塘沽第五中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

八年级第二学期数学素养评价 一．选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键．根据二次根式的性质化简后，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、，是最简二次根式，故B符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 故C不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 2. 下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握两小边的平方和等于最长边的平方是解答本题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴能组成直角三角形； B、∵， ∴不能组成直角三角形； C、∵， ∴不能组成直角三角形； D、∵， ∴不能组成三角形． 故选：A． 3. 估计的值（　　） A. 在3和4之间 B. 在5和6之间 C. 在6和7之间 D. 在7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数大小可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 即的值在5和6之间． 故选：B． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可． 【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意； B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项正确，符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算． 5. 如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，，于是，即． 故选C． 6. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-，其结果是（　　） A. B. 2a C. 2b D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可得=|a|，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|， 则a+b＜0，b-a＜0， ∴原式=-（a+b）+（b-a） =-a-b+b-a =-2a， 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，关键是掌握=|a|． 7. 如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AB的长，再根据同圆的半径相等可知AB=DB，再根据条件：点B对应的数是3，可求出D点坐标． 【详解】解：在中，，，， ∴AB=， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴BD=AB= ， ∴点D表示的数是： ． 故选A． 【点睛】本题考查实数与数轴，勾股定理，解题的关键是求出AB的长． 8. 如图，中，是斜边上的高，，则的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 根据题意易得：，然后根据角的直角三角形的性质先在中求出，再在中即可求出，即可求出答案． 【详解】解：中， ∵， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 故选：D 9. 化简+的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：=+=． 故选：A． 10. 若a、b为实数，且，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题． 首先根据题意，列出不等式组，即可解得，，即可得解． 【详解】根据题意，得 解得 ∴ ∴ 故答案为A． 11. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 12. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP． 此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小． ∵DC＝2，BD＝6， ∴BC＝8， 连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°， ∴∠CBC′＝90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°， ∴BC＝BC′＝8， 根据勾股定理可得DC′＝． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时 PC＋PD的值最小是解题的关键． 二．填空题 13. 若有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 14. 计算的结果是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，正确运用平方差公式计算是本题的关键． 15. 若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为_______． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，根据非负数的性质可求出，再分边长为4的边是斜边和边长为4的边是直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ①在直角三角形中，当边长为4的边是斜边，则第三边的长为； ②在直角三角形中，当边长为4的边是直角边，则第三边的长为． 综上所述，该直角三角形的第三边长为或5． 故答案为：或5． 16. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根据计算求解，即可解题． 【详解】解：根据上图，进行如下标注： 由题知，，，，，， ， 梯子长度不变， ， ， ， 故答案为：． 17. 若，且，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式对两边平方化简，得，再求得值，根据确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴==12， ∵， ∴﹥1， ∴﹤0， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、不等式的基本性质、平方根，熟记完全平方公式的几个变形公式，观察到和确定的符号是解答的关键． 18. 设，，则_____． 【答案】15 【解析】 【详解】试题解析：∵a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，两式相加得，a﹣c=4， 原式=a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac = = = = =15． 三．解答题 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可求解； （2）括号内先化简二次根式，计算加减法，再计算除法即可求解； （3）先算乘法，再算加减法即可求解； （4）根据乘法公式计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 如图，四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，AD＝，CD＝3，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积． 【答案】． 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再分别求出△ABC和△ACD的面积即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，由勾股定理得：AC＝， ∵AD＝，CD＝3， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记知识点是解此题的关键． 21. 如图，在长方形纸片中，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点F处， （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）由翻折得：，求出，，设，则，在中，由勾股定理得，代入求出x即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 由翻折得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确掌握矩形的性质及勾股定理的计算是解题的关键． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质等知识．先证明，可得，，进而得出是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即． 23. 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒． （1）出发秒后，求线段的长； （2）当为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2） （3）秒，秒，秒 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，，再根据勾股定理求解即可； （2）由等腰三角形的定义结合勾股定理可列出关于的等式，解之即可； （3）分类讨论：①当时，②当时和③当时分别求解即可． 【小问1详解】 解：出发秒后，，， ∴； 【小问2详解】 解：当是等腰三角形时，只存在， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：分类讨论：①当时，如图， 则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴秒； ②当时，如图， ∵， ∴， 解得：秒； ③当时，过点作于点，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒． 综上可知当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，一元一次方程的实际应用，等积法的应用等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第二学期数学素养评价 一．选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，2，3 3. 估计的值（　　） A. 在3和4之间 B. 在5和6之间 C. 在6和7之间 D. 在7和8之间 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 6. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-，其结果是（　　） A. B. 2a C. 2b D. 7. 如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，是斜边上的高，，则的长度是（　　） A. B. C. D. 9. 化简+的结果为（　　） A. B. C. D. 10. 若a、b为实数，且，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 5 11. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 二．填空题 13. 若有意义，则x的取值范围是________． 14. 计算的结果是________． 15. 若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为_______． 16. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为______． 17. 若，且，则=________． 18. 设，，则_____． 三．解答题 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，AD＝，CD＝3，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积． 21. 如图，在长方形纸片中，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点F处， （1）求的长； （2）求的长． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点，若，求的长． 23. 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒． （1）出发秒后，求线段的长； （2）当为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $