6.3 相交线（暑期预习讲义）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册苏科版 第六章 平面图形的初步认识 6.3 相交线（暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解相交线的概念，知道两条直线相交会形成四个角。 2. 能准确识别对顶角，并掌握对顶角的性质：对顶角相等。 3. 能准确识别邻补角，并了解邻补角的数量关系。 知识点梳理 1. 相交线的概念 · 定义：如果两条直线只有一个公共点，那么称这两条直线为相交线，这个公共点叫做它们的交点。 · 图形说明：可以想象成两条直线交叉在一起，比如字母“X”的形状，它们中间的那个点就是交点。 2. 对顶角 · 定义：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫做对顶角。 · 图形说明：当两条直线AB和CD相交于点O时，会形成四个角，分别标记为角1、角2、角3、角4（按顺时针或逆时针顺序）。其中，角1和角3是对顶角，角2和角4是对顶角。 · 性质：对顶角相等。（也就是说，角1的度数等于角3的度数，角2的度数等于角4的度数） 3. 邻补角 · 定义：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。 · 图形说明：同样在直线AB和CD相交于点O形成的角1、角2、角3、角4中，角1和角2有公共顶点O，有一条公共边OA，另一边OB和OD互为反向延长线，所以角1和角2是邻补角。类似地，角2和角3，角3和角4，角4和角1也都是邻补角。 · 数量关系：邻补角的和是180度（或者说邻补角互补）。 易错点提醒 1. 对顶角的识别： · 易错点：误认为只要有公共顶点的两个角就是对顶角，或者看起来大小差不多的角就是对顶角。 · 提醒：对顶角必须同时满足两个条件：（1）有公共顶点；（2）一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。两者缺一不可。 2. 邻补角与对顶角的区别： · 易错点：混淆邻补角和对顶角的概念。 · 提醒：邻补角强调“相邻”（有一条公共边）且“互补”（和为180度）；对顶角强调“相对”（两边互为反向延长线）且“相等”。对顶角没有公共边，邻补角有一条公共边。 3. “对顶角相等”的理解： · 易错点：认为“相等的角就是对顶角”。 · 提醒：“对顶角相等”是一个正确的性质，但反过来，相等的角不一定是对顶角。对顶角一定相等，但相等的角其位置关系不一定是对顶角。 知识点总结 · 相交线：两条直线只有一个公共点。 · 对顶角： · 特征：有公共顶点，两边互为反向延长线。 · 性质：对顶角相等。 · 邻补角： · 特征：有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线。 · 关系：邻补角互补（和是180度）。 · 两条直线相交，会形成两组对顶角，四组邻补角。 预习建议 1. 认真阅读课本：仔细阅读教材中关于相交线、对顶角、邻补角的内容，重点理解它们的定义和图形。 2. 动手画图：自己动手画几条相交的直线，标出形成的角，尝试找出其中的对顶角和邻补角，加深对概念的理解。 3. 思考辨析：对于课本上的例题或思考题，先尝试自己独立思考，区分对顶角和邻补角。 4. 简单练习：可以找一些与本节内容相关的基础练习题（比如识别对顶角、邻补角，利用对顶角相等进行简单的角度计算），检验自己的预习效果。 5. 记录疑问：在预习过程中，如果遇到不理解的地方，及时记录下来，带着问题听课，效率会更高。 巩固练习 一、选择题 1． 下列结论中，错误的是(　　) A．一个角的补角一定大于这个角 B．已知一个角的度数为 则它的补角的度数为 125°48'37" C．若 则∠2=∠3 D．已知一个角的余角是这个角的2倍，则这个角是30° 2．下列说法中错误的是(　　) A．两点之间线段最短 B．如果∠α=53°38'，那么∠α余角的度数为36°22' C．一个锐角的余角比这个角的补角小 D．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 3．已知 ，那么它的余角是（ ） A． B． C． D． 4．如图，∠β>∠α，则 ∠α与 的关系为(　　) A．互补 B．互余 C．和为45° D．和为22.5° 5．下列说法中，正确的是（　　） A．两点之间直线最短 B．如果，那么 C．0是整数，但它不是自然数 D．相等的角是对顶角 6．两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有（　　） A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点 7．如果同一平面内有三条直线，那么它们的交点个数是(　　) A．1或3 B．0或1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 8．如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 9．已知OA⊥OC，∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数为(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或150° 10． 如图，已知∠AOB=90°，∠COD 在∠AOB内部且∠COD=45°。下列说法：①如果∠AOC=∠BOD，则图中有两对互余的角；②如果作 OE 平分∠BOC，则∠AOC=2∠DOE；③如果作 OM 平分∠AOC，ON 在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON；④如果 在 ∠AOB 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则∠AOP+∠BOQ=3∠COD。其中正确的个数是 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．平面内的9条直线任意2条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于(　　) A．36 B．37 C．38 D．39 12．若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 13．已知一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为　 　。 14．与互余，与互补，，那么　 　． 15．如图，O是直线上一点，若，则　 　． 16．如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为　 　． 17．平面内有八条直线，两两相交最多有 个交点，最少有 个交点，则 　 　. 18．平面内三条直线两两相交，最多有　 　个交点. 19．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下： 画法：如图， ⑴连接AB； ⑵过点A画线段直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求． 请回答：工人师傅的画图依据是　 　． 20．如图，已知∠AOB=120°，∠COD 在∠AOB 内部且 .如果在 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则 　 　 三、解答题 21．如图，直线，相交于点，． （1）若，判断与的位置关系； （2）若，求的度数． 22．如图，已知直线a，b，点P在直线a上．过点P分别画直线a，b的垂线． 23．综合探究. 【实践操作】三角尺中的数学. 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图①，使直角顶点重合于点C. （1）【问题发现】 ①填空：如图①，若 ，则∠ACE 的度数是 ▲ ， ∠DCB的度数是 ▲ ， ∠ECD 的 度数是 ▲ ； ②如图①，你发现∠ACE 与∠DCB 的大小有何关系? ∠ACB与∠ECD 的大小又有何关系? 请直接写出你发现的结论. （2）【类比探究】 如图②，当 与 没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立? 请说明理由. 24．如图1，将两块直角三角板（一块含有30°，60°角，另一块含 45°角）摆放在直线 MN上，三角板ODC绕点O 以每秒15°的速度逆时针旋转。当OD第一次与射线OM 重合时三角板ODC 停止转动，设旋转时间为t秒。 （1）当 t=2 s 时，求∠BOC 和∠AOD 的度数。 （2）如图2，若两块三角板同时旋转，三角板OAB 以每秒20°的速度绕点 O顺时针旋转，当OA 第一次与射线ON 重合时三角板 OAB 立即停止转动。 ①用含 t 的代数式表示射线OA 和射线OD 重合前∠BOC 和∠AOD 的度数。 ②整个旋转过程中，当满足|∠AOD- 时，求出相应的t的值。 25．已知，如图，点 、 分别代表两个村庄，直线 代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道 上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道． （1）若计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据． （2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据． 26．如图，∠AOB＝150°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每秒6°；射线OD从OB开始，绕点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒14°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t秒（0≤t≤25）． （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，∠COD＝90°； （3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC、OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 参考答案 1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 13．45° 14． 15． 16． 17．29 18．3 19．两点之间，线段最短；垂线段最短 20．2 21．（1）解：．理由如下： 因为，所以， 所以． 又因为，所以， 即，所以； （2）解：由（1）知， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 22．解：如图： 23．（1）解：①55°，55°，35°； ②∠ACE=∠DCB， ∠ACB+∠ECD=145°+35°=180°； （2）解：当△ACD 与△BCE 没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立. 理由如下： ∵∠ACD=∠ECB=90°， ∴∠ACD +∠DCE =∠ECB +∠DCE， ∠ACD +∠ECB= 180°， ∴∠ACE =∠DCB， ∵∠ACD +∠ECD+∠ECB+∠ACB=360°， ∴∠ACB+∠ECD=180°， ∴∠ACE=∠DCB， ∠ACB+∠ECD=180°， 即上述②中发现的结论依然成立. 24．（1）解：如题图1，∠BOC=180°-45°=135°， ∠AOD=180°-30°=150°， 当t=2s时，三角板ODC 绕点O 逆时针旋转，∠BOC与∠AOD 减小的度数相同为15°×2=30°， 故∠BOC=135°-30°=105°， ∠AOD=150°-30°=120° （2）解：①由图1，得∠AOC=105°， 当 OA 与OD 重合时，t= 当OB与OC 重合时， 设运动时间为 ts， 如图2，当 时， ∠BOC=180°-20°t-15°t-45°=135°-35°t，∠AOD=180°-20°t-30°-15°t=150°-35°t；当 时， ∠BOC=(20°t+15°t)-(180°-45°)=35°t-135°，∠AOD=180°-20°t-30°-15°t=150°-35°t。 ②当OA与OC 重合时，t=3；当OB与OC 重合时 当OA 与OD 重合时 当OA 与ON 重合时 当OB与OC 在一条直线上且OB 在MN 上方，OC在MN下方时，t=11；当OD与OM重合时，t=12。 当0≤t≤3时，如图2，|∠AOD-∠BOC|=|(150°-35°t)-(135°-35°t)|=15°≠5°； 当 时，如图3，|∠AOD-∠BOC|=|∠COD-∠BOA|=|45°-30°|=15°≠5°； 当 时，如图4，|∠AOD-∠BOC|=|(150°-35°t)-(35°t-135°)|=5°，t=4或 当 时，如图5，|∠AOD-∠BOC|=|(35°t-150°)-(35°t-135°)|=15°≠5°； 当7.5<t≤11时，如图6， ∠BOC=15°t+45°-30°=15°t+15°， ∠AOD=15°t， 所以|15°t-15°t-15°|=15°≠5°， 故不存在t的值； 当11<t≤12时，如图7， ∠BOC=360°-15°t-45°+30°=-15°t+345°， ∠AOD=15°t。因为|∠AOD-∠BOC|=5°， 所以15°t+15°t-345°=±5°，解得 或 综上所述，t的值为4或 或 或 25．（1）解：∵计划建一个离村庄 最近的燃气管理站， 过点M作MP⊥直线l， 则MP为垂线段， ∴点P为所求， 根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短， 故依据为：垂线段最短 （2）解：∵燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小， ∴连结MN， ∵根据所有连结两点的线中，线段最短， ∴MQ+NQ=MN， ∴点Q为所求． 故依据为：两点之间，线段最短． 26．（1）解：设 ， ， 当射线OC与OD重合时， ， 即 ，解得 ， ∴当 时，射线OC与OD重合 （2）解：①射线OC与OD重合前， ， 即 ，解得 ； ②射线OC与OD重合后， ， 即 ，解得 ， ∴当 或 时，∠COD＝90° （3）解：①如图， 平分 ，则 ， ∴ ， 即 ，解得 ； ②如图， 平分 ，则 ， ∴ ， 即 ，解得 ； ③如图，OB平分 ，则 ， 即 ，解得 ， ∵ ， ∴不成立，舍去； 综上， 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$