精品解析：四川省广安市前锋区2026届高三上学期模拟月考（二）（8月）数学试题

前锋区高2026届高考模拟月考试题（二） 八月·数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. “圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 3或 D. 2或 6. 《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（ ） A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 7. 已知函数，则下列错误的个数是（ ） ①只有1个极小值点 ②曲线在点处的切线斜率为9 ③当有3个零点时，m的取值范围为 ④当只有1个零点时，m的取值范围为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在 中，，，分别是角， ，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足， 的面积，则（    ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，没有零点 B. 当 时，在区间上不存在极值 C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形 D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立方体的边长为，作两条互相垂直的直线，相交于点，在一条直线上截取，在另一条直线上截取，在直线上分别取点，使（只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点，另一个直角尺的边缘通过点 ，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为），则线段即为所求立方体的一边.以直线、分别为轴、轴建立直角坐标系，若圆经过点，则圆的方程为______. 14. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点． （1）求证： 平面； （2）求二面角的余弦值． 16. 已知和，直线与椭圆切于点. （1）求的离心率； （2）若过的直线交于另一点 ，且的面积为，求的方程. 17. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．以该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 （1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联? （2）现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. （1）判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； （2）若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； （3）已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 19. 已知数列的首项为3，且满足，令. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前 项和； （3）在与之间插入 个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前锋区高2026届高考模拟月考试题（二） 八月·数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得出答案. 【详解】由题可知，又因为，故. 故选：C 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算． 【详解】， 故选：B． 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标运算，即可求解参数. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 即，解得. 故选：B. 4. “圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设出球的半径，求出圆柱的体积与球的体积，进而求出圆柱的体积与球的体积之比. 【详解】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径， 设球的半径为R， 则圆柱的体积为：， 球的体积为， 所以圆柱的体积与球的体积之比为 故选：B 5. 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 3或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分双曲线的焦点在轴和轴上，两种情况求得，进而求得双曲线的离心率的值，得到答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，可得，所以； 当双曲线的焦点在轴上时，可得，所以， 综上可得，双曲线的离心率为2或. 故选：D. 6. 《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（ ） A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 7. 已知函数，则下列错误的个数是（ ） ①只有1个极小值点 ②曲线在点处的切线斜率为9 ③当有3个零点时，m的取值范围为 ④当只有1个零点时，m的取值范围为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值，得到的分段解析式，分段求导，可判断命题①②；把的零点问题转化成与的交点问题，令，画出图象可判断命题③④. 【详解】由得： 当 （即  或 )，； 当 （即 )，. 求导分析极值点： 当 ，设 ，则 ， 由，可得；由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当 时，， 则 ， 由，可得，由，可得； 所以在单调递减，在上单调递增； 所以在上有一个极小值； 因此极小值点有  和  .命题①错误； 当时，，，代入 得， 命题②正确. 令=0得，令， 画出的图象，如下图， 的零点问题等价于与的交点问题， 由图可知：有三个零点时，，命题③正确 只有1个零点时，命题④正确 故选：A 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求得，得到函数的单调性与最大值，再由当且时，设且，求得，即可求解. 【详解】解：由， 令函数，可得， 当，可得，单调递增； 当，可得，单调递减， 所以当，函数取得极大值，即为最大值， 函数的图形，如图所示， 对于函数，当且时，. 设且， 则，可得，所以，所以, 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】变形给定的等式，再利用赋值法逐项分析计算. 【详解】原等式化为： 对于A，取 ，得，A正确； 对于B，取，得，则，B正确； 对于C，取，得，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 10. 在 中，， ，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足， 的面积，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形面积及内切圆半径求解判断A；利用正弦定理边化角，再利用二倍角公式求解判断B；利用三角恒等变换，结合三角形面积公式求解判断D；利用正弦定理结合三角形外接圆半径求解判断C. 【详解】对于A，在 中，，，A正确； 对于B，由，得， 整理得：，B正确； 对于D，， 即，又，， 则， 整理得， 又， 则，，D正确； 对于C，，，由正弦定理得 故，C错误， 故选：ABD 11. 设函数，则（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，在区间上不存在极值 C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形 D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对选项逐一判断，分别利用图象研究零点，用导数研究极值，用对称性的定义研究对称性即可. 【详解】解法一：对A，函数的定义域为且，由得且. 作出 与的图像，二者有唯一交点，不合题意，故没有零点，故A正确. 对B，由题， 令，， 因为，所以， 又，所以，所以， 则在上无极值，故B正确. 对CD，令， 因为，所以或，由对称性可知，故若存在对称轴或对称中心，必在直线上. 考虑 ， 当时，，所以关于对称，故C正确. 考虑， 所以不存在符合题意的常数，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式计算可得，再由三角函数值域代入化简计算可得结果. 【详解】由题意可知， 所以， 由题意可知，， 由可得， 所以. 故答案为： 13. 求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立方体的边长为，作两条互相垂直的直线，相交于点，在一条直线上截取，在另一条直线上截取，在直线上分别取点，使（只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点，另一个直角尺的边缘通过点，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为），则线段即为所求立方体的一边.以直线、分别为轴、轴建立直角坐标系，若圆经过点，则圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有求、，再求出坐标和圆的半径，进而写出圆的方程. 【详解】由题设，，则， 所以， 由，要使圆经过点，则圆心为中点， 所以且半径为， 故圆的方程为. 故答案为： 14. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求出总情况数，利用分类加法计数原理结合组合数的性质求出符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为S，共有种情况， 生成的5个数字中有个0，个1， 则， 由题可知．若获得二等奖，则S为3的正整数倍， 故可取的值为．当时，的取值为， 共有种情况；当时，的可能取值为，，， 共有种情况；当时，的取值为，， 共有种情况，由分类加法计数原理得符合条件的有种情况， 且设获得二等奖的概率为，由古典概型概率公式得. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点． （1）求证： 平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，， 又是的中点，所以，且． 因为四边形是矩形，所以且，所以，且． 因为是 的中点，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形，故． 因为平面，平面， 所以 平面． 【小问2详解】 因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）． 设，所以，． 因为，分别为， 的中点， 所以，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 由即 令，则，，所以． 设平面的一个法向量为， 由即 令，则，， 所以． 所以． 由图知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 16. 已知和，直线与椭圆切于点. （1）求的离心率； （2）若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上，可得，再根据直线与椭圆相切，列方程，可得椭圆方程，进而可得离心率； （2）设点，由已知可确定方程与，结合三角形面积可得，再由点在椭圆上，可得方程组，联立方程组即可得解. 【小问1详解】 由已知点在椭圆上，则， 又，，可知，即， 又直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆，得， 即， 化简可得， 联立，解得， 则，即，，， 所以离心率； 【小问2详解】 由（1）得椭圆方程为， 设，由已知，且， 则点到直线的距离， 又的面积， 化简可得， 又点在椭圆上，则， 联立方程，解得，则， 所以，即直线. 17. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．以该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 （1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联? （2）现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为“AI达人”与性别无关； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，再应用卡方公式求卡方值，应用独立检验基本思想得结论； （2）应用分层抽烟的等比例性质确定男女人数，进而有X的所有可能取值为0，1，2，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 列联表如下： AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 零假设：“AI达人”与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此认为成立，因此认为“AI达人”与性别无关． 【小问2详解】 在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人，其中男“AI达人”抽取人，女“AI达人”抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2． 则，，． 所以，X的分布列如下： X 0 1 2 P X的数学期望． 18. 对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. （1）判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； （2）若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； （3）已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】（1）具有性质，理由如下： 令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数 在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 【解析】 【分析】（1），，利用导数判断其单调性后可证函数，与“具有性质”. （2）根据函数具有性质得，令，，利用极值点偏移的方法可证，故可得原不等式成立； （3）令， ，利用导数可证在前者为减函数，后者为增函数，再结合不等式的性质可证函数与“具有性质”. 【小问1详解】 函数，与“具有性质”，理由略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知数列的首项为3，且满足，令. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前 项和； （3）在与之间插入 个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，进而得到，进而得到为等比数列，得出数列的通项公式； （2）由（1）得，分和，两种情况讨论，结合等差数列的求和公式，即可求解； （3）根据题意，求得，假设在数列中存在不相同的3项成等比数列，得到，列出方程求得，与互不相等矛盾，即可得证. 【小问1详解】 解：由数列满足，可得， 因为，可得，即， 又因为，所以数列是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知；数列的通项公式为，可得， 当且时，，当且时，， 所以当时， ； 当时， ， 所以. 【小问3详解】 解：由题意，可得，即，解得， 假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，即，则， 又因为，可得，整理得，则， 这与互不相等矛盾， 所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $