精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

富裕县第二中学 2024-2025 学年度（下）阶段考试初二数学试卷 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 5，6，7 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 5. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（－4，0），则原点到直线AB的距离是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 6. 若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 7. 如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ） A B. C. D. 8. 已知为实数，的值等于（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 16 9. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、于点 、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线 ，交于点．已知，，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10. 如图，在中，，，平分，于D，与相交于F，则的长是（　　） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 当x________时，有意义． 12. 直角三角形的两条边长分别为3cm，4cm，则这个直角三角形的斜边长为______cm． 13. 若是整数，则正整数n的最小值为______． 14. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为___________. . 15. 把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是___． 16. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=______． 17. 有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. 计算： ． 19. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 20. 如图，在中，AD平分，，，求BC长． 21. 已知，求 的值． 22. 如图，在中，，，，平分交于点．求长． 23. 如图，等腰的底边，面积为，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，求周长的最小值． 24. 某中学初二年级同学在学习了勾股定理后对其产生了学习兴趣．数学活动小组对校园一角开辟的一块四边形的“试验田”进行面积测量．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．求四边形的面积． 25. 如图，平面直角坐标系中，点和，点为坐标平面内一动点． （1）求斜边上的高； （2）若为等腰三角形，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 富裕县第二中学 2024-2025 学年度（下）阶段考试初二数学试卷 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．，无意义，故A一定不是二次根式； B．当时，此时原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，此时原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 2. 下列长度线段中，能组成直角三角形的一组是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵12+（）2＝22，能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、∵22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵42+52≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵52+62≠72，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； B、被开方数含有分母，故不最简二次根式； C、是最简二次根式； D、被开方数含有分母，故不是最简二次根式． 故选：C． 4. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简二次根式，，然后再合并即可得到答案． 【详解】解： = =． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题时要认真审题，仔细解答． 5. 在平面直角坐标系中，点A、B坐标分别是（0，3）、（－4，0），则原点到直线AB的距离是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】在直角坐标系中利用勾股定理求出线段AB的长，然后利用面积相等的方法求得原点到线段AB的距离． 【详解】解：在坐标系中，OA＝3，OB＝4， ∴由勾股定理得：AB＝， 设点O到线段AB的距离为h， ∵S△ABO＝OA•OB＝AB•h， ∴3×4＝5h， 解得h＝2.4． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，利用面积相等求直角三角形的斜边上的高是常用的方法． 6. 若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 7. 如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理求出CD=1，再根据∠ADC是△ABD的外角，证出∠B=∠BAD，从而有BD=AD，即可求出BC的长． 【详解】解：在Rt△ACD中，由勾股定理得： CD= ＝1， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD， ∵∠ADC=2∠B， ∴∠B=∠BAD， ∴BD=AD=， ∴BC=+1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质、等腰三角形的判定等知识，利用外角证出∠B=∠BAD是解题的关键． 8. 已知为实数，的值等于（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，求得x、y的值，然后代入所求求值即可． 【详解】∵x−2⩾0，即x⩾2，① 2-x⩾0，即x⩽2，② 由①②知，x=2； ∴y=4， ∴yx=42=16. 故选D. 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义. 9. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、于点 、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线 ，交于点．已知，，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线、勾股定理、全等三角形；解题的关键是熟练掌握角平分线的定义、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．过点E作交于点D，根据题意得，通过证明，得、；根据勾股定理的性质计算，得；设，结合勾股定理性质，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点D， ∴， ∴， 根据题意得：为的平分线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即． 故选：C． 10. 如图，在中，，，平分，于D，与相交于F，则的长是（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作于点G，由，可得，由平行线的性质可得；在中，由勾股定理求得的值；由判定，由全等三角形的性质可得及的值，进而可判定．设，则，在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为的长． 【详解】解：过点E作于点G，如图： ∵于D， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵平分，， ∴． 在中，，， ∴． 在和中， ， ∴， ， ∴， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得 ∴的长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 当x________时，有意义． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次根式有意义的条件列出不等式求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键． 12. 直角三角形的两条边长分别为3cm，4cm，则这个直角三角形的斜边长为______cm． 【答案】5或4##4或5 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当4cm为直角边时，这个直角三角形的斜边长为cm， 当4cm为斜边时，这个直角三角形的斜边长为4cm， 故答案为：5或4． 【点睛】此题考查了勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，熟记定理是解题的关键． 13. 若是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据n是正整数，则也是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，正整数n的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴正整数n的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，理解是正整数的条件是解题的关键． 14. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为___________. . 【答案】120 cm 【解析】 【分析】设三边的长是，，，根据周长即可求得x的值，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解． 【详解】设三边的长是，，， 则， 解得：， 则三边长是10 cm，24 cm，26 cm． ∵ ∴三角形是直角三角形， ∴三角形的面积是（cm） 故答案为：120 cm 【点睛】考查勾股定理逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 15. 把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】先判断，然后根据二次根式的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由根式可知，； ∴， 故原式＝． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式性质，解题的关键是掌握二次根式的性质． 16. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，由等边三角形的性质可知BD=AB=AD=4，∠ABD=60°，结合题意可求出∠DBC=30°，从而可求出DE=2，，进而可求出，最后根据勾股定理即可求出CD的长． 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=AD=4，∠ABD=60°． ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°． ∵DE⊥BC， ∴DEBD=2． ∴． ∴． ∵DE⊥BC， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 17. 有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2022 【解析】 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质先化简，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 19. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）12；（2）． 【解析】 【分析】先求出 ， ， （1）然后利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴（1）； （2）． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 如图，在中，AD平分，，，求BC的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，BD=CD，利用勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】解：∵AB=AC=3，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∵AD=2， ∴， ∴BC=2BD=2． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 21. 已知，求 的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知可得，，再对代数式化简后代入计算即可求解，正确化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式 ． 22. 如图，在中，，，，平分交于点．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，过点作于，由勾股定理得，即得，由角平分线的性质得，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， 解得． 23. 如图，等腰的底边，面积为，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，求周长的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质可得，即得，可知当共线时最小，最小值为线段的长，此时的周长取最小值，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是线段的垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当共线时最小，最小值为线段的长， ∵的周长，为定值， ∴取最小值时，的周长取最小值， 如图，过点作于， ∵是等腰三角形，底边， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为． 24. 某中学初二年级同学在学习了勾股定理后对其产生了学习兴趣．数学活动小组对校园一角开辟的一块四边形的“试验田”进行面积测量．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理得，进而由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴， 中，∵， ∴是直角三角形，， ∴． 25. 如图，平面直角坐标系中，点和，点为坐标平面内一动点． （1）求斜边上的高； （2）若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的定义，一次函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）根据勾股定理得出，再由，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可分三种情况讨论，利用两边相等建立方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点和， ∴， 设斜边上的高为h， ∵， ∴， 解得：， 即斜边上的高为； 【小问2详解】 解：∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，不成立； 当时， 此时， 解得：或3， ∴点M的坐标为或， 设直线的解析式为，则 ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上，不符合题意，舍去； 当时， 此时， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$