03 第一章 专题突破一 运动图像和追及相遇问题-【名师导航】2026年高考物理一轮总复习教师用书（通用版）

专题突破一　运动图像和追及相遇问题 　运动学中的两种典型图像　 1．x-t图像与v-t图像的比较 x-t图像 v-t图像 图像 意义 倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动 特别 之处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移 运动 情况 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动 位移 0～t1时间内甲、乙位移相等 0～t2时间内丁的位移大于丙的位移 平均速度 0～t1时间内甲、乙平均速度相等 0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度 2．三点说明 (1)x-t图像与v-t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。 (2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。 (3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。 　x-t图像 [典例1]　A、B两质点在同一直线上运动的位移—时间(x-t)图像如图所示，A质点的图像为直线，B质点的图像为过原点的抛物线，两图像交点C、D坐标如图所示。下列说法正确的是(　　) A．t1时刻B追上A，t2时刻A追上B B．t1～t2时间段内B质点的平均速度小于A质点的平均速度 C．质点A做直线运动，质点B做曲线运动 D．两物体速度相等的时刻一定在t1～t2时间段内的某时刻 D　[x-t图像的交点表示同一时刻到达同一位置，即相遇，根据x-t图像可知，t1时刻A追上B，t2时刻B追上A，故A错误；t1～t2时间段内A、B的位移相等，时间相等，则平均速度相等，故B错误；x-t图像只能描述直线运动，所以A、B都做直线运动，故C错误；图线切线的斜率表示质点的速度，由x-t图像可知两质点速度相等的时刻一定在t1～t2时间段内的某时刻，故D正确。] 　v-t图像 [典例2]　如图为一质点做直线运动的v-t图像，下列说法正确的是(　　) A．BC段表示质点通过的位移大小为34 m B．在18～22 s时间内，质点的位移为24 m C．整个过程中，BC段的加速度最大 D．整个过程中，E点所对应的时刻离出发点最远 A　[BC段质点的位移大小为x＝×4 m＝34 m，选项A正确；在18～22 s时间内，质点的位移为x＝ m＋ m＝0，选项B错误；由题图看出，CE段图线斜率的绝对值最大，则CE段对应过程的加速度最大，选项C错误；由题图看出，在0～20 s时间内，速度均为正值，质点沿正方向运动，在20～22 s时间内，速度为负值，质点沿负方向运动，所以整个过程中，D点对应时刻离出发点最远，选项D错误。] 　分析图像问题的三环节 [跟进训练] 1．(多选)图a是贵州特有的“独竹漂”表演，此项目已被列入第五批国家级非物质文化遗产名录。某次表演过程中，表演者甲在河中心位置完成表演后沿直线划向岸边，同时表演者乙从另一岸边沿同一直线划向河中心并准备表演，该过程甲、乙运动的位置x与时间t的关系图像如图b所示，则(　　) 图a　 　 　　 　　　图b A．0～t0内甲、乙的运动方向相反 B．0～t0内甲、乙的位移大小相等 C．0～2t0内乙的平均速度等于甲的平均速度 D．0～2t0内乙的速度最大值大于甲的速度最大值 CD　[由题图b可知，0～t0内甲、乙的斜率均为负，所以运动方向相同，A错误；0～t0内乙的位移为－x0，甲的位移大小小于x0，所以0～t0内甲、乙的位移大小不相等，B错误；0～2t0内乙的位移等于甲的位移，时间也相同，所以 内乙的平均速度等于甲的平均速度，C正确；在x-t图像中，图线斜率的大小代表速度的大小，明显题图b乙的最大斜率绝对值大于题图b甲的最大斜率绝对值，所以 内乙的速度最大值大于甲的速度最大值，D正确。] 2．(2023·广东卷)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度。随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是(　　) A　　　　 　 　　B C　　　　 　 　　D D　[铯原子团仅在重力的作用下，加速度g竖直向下，大小恒定，在v-t图像中，斜率为加速度，故斜率不变，所以图像应该是一条倾斜的直线，故选项A、B错误；因为加速度恒定，且方向竖直向下，故为负值，故选项C错误，选项D正确。] 　　运动学中的非常规图像　 1．常见三类非常规图像 (1)a-t图像：由v＝v0＋at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。 (2)-t图像：由x＝v0t＋at2可知＝图像的斜率为a，如图乙所示。 (3)v2-x图像：由v2－＝2ax可知v2＝2ax，图像斜率为2a，如图丙所示。 (4)x-v图像：由v2－＝2ax得图像表达式 x＝，图像是开口向上的抛物线。 2．解题技巧 (1)用函数思想分析图像：图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的意义。 (2)要注意应用解析法和排除法，两者结合会提高选择题图像类题型的解题准确率和解题速度。 [典例3]　利用图像法研究物理量之间的关系是一种常用的数学物理方法。如图所示为物体做直线运动时各物理量之间的关系图像(x、v、a、t分别表示物体的位移、速度、加速度和时间)，则下列说法正确的是(　　) A．图甲中x-t2图像可求出物体的加速度大小为1 m/s2 B．图乙中v2-x图像可求出物体的加速度大小为5 m/s2 C．图丙中-t图像可求出物体的加速度大小为2 m/s2 D．图丁中a-t图像可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为6 m/s B　[根据匀变速运动的位移与时间关系公式x＝v0t＋at2，根据题图甲中x-t2图像为正比关系图线，可求出物体的加速度与斜率关系为a＝k＝ m/s2，解得a＝2 m/s2，A错误；根据匀变速运动的速度与位移关系公式v2－＝2ax，根据题图乙中v2-x图像为正比关系图线，可求出物体的加速度与斜率关系为2a＝k＝ m/s2，解得a＝5 m/s2，B正确；根据匀变速运动的位移与时间关系公式x＝v0t＋at2，整理得＝v0＋at，根据题图丙中-t图像为一次函数关系图线，可求出物体的加速度与斜率关系为a＝k＝ m/s2 m/s2 m/s2C错误；根据微元法可以得到，物理学中a-t图像的图线与坐标轴所围成的面积表示这段时间内物体的速度变化量，则由题图丁中a-t图可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为Δv＝×3×2 m/s＝3 m/s, D错误。] [跟进训练] 1．(2023·湖北卷)(多选)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0～3t0时间内，下列说法正确的是(　　) A．t＝2t0时，P回到原点 B．t＝2t0时，P的运动速度最小 C．t＝t0时，P到原点的距离最远 D．t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同 BD　[在a-t图像中图线与时间轴围成的图形的面积表示速度大小，故利用a-t图像画出v-t图像，如图所示，可知B、D正确；在v-t图像中图线与时间轴围成的图形的面积表示位移大小，可知2t0时刻质点P离原点最远，A、C错误。] 2．2024年8月，我国运动员获得第33届奥运会男子100 m自由泳冠军。比赛所用标准泳池的长度为50 m，则与该运动员实际运动过程最接近的位移—时间(x-t)图像是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D C　[根据题意知标准泳池的长度为50 m，我国运动员获得第33届奥运会男子100 m自由泳冠军，可知运动员最后的位移为0，所以位移先增大后减小，离出发点最远处位移为50 m，故选C。] 　　追及相遇问题　 1．掌握“一个条件和两个关系” (1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 (2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。 2．把握“两种情境” 物体A追物体B，开始二者相距x0，则： (1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。 (2)两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB。 3．应用“三种方法” (1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如，速度小的物体加速追赶速度大的物体，在两物体速度相等时有最大距离；速度大的物体减速追赶速度小的物体，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。 (2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出两物体之间的距离关于t的方程Δx＝f(t)，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。 (3)图像法：①若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图线相交，则说明两物体相遇。②若用速度—时间图像求解，则注意比较速度—时间图线与时间轴包围的面积。 [典例4]　(一题多法)在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件。 思路点拨： 要使两车恰好不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。 解析：方法一：临界法 利用位移公式、速度公式求解 对A车有sA＝v0t＋×(－2a)×t2 vA＝v0＋(－2a)×t 对B车有sB＝at2，vB＝at 对两车有s＝sA－sB 追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB 联立以上各式解得v0＝ 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是。 方法二：函数法 利用判别式求解，由法一可知sA＝s＋sB 即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2 整理得3at2－2v0t＋2s＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。 方法三：图像法 利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示 设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有 vA＝v′＝v0－2at′ 对B车有vB＝v′＝at′ 以上两式联立解得t′＝ 经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知s＝v0·t′＝＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。 答案：v0< [跟进训练] 1．(多选)某同学用甲、乙两个物块来模拟研究汽车相遇规律问题，如图b是他根据运动规律绘制的甲、乙两个物块运动的位移—时间图线。已知物块甲的运动图线为一条顶点为(0，x0)的抛物线，物块乙的运动图线为一过原点的直线。两条图线中其中一个交点坐标为(t1，x1)。则下列说法正确的是(　　) A．t1时刻物块甲速度为 B．物块甲在做匀加速直线运动的加速度为 C．图中甲、乙两个物块再次相遇时刻为t2＝ D．如果两个物块只相遇一次，则必有x1＝2x0 CD　[由题图可知，物块乙为匀速直线运动，其速度v乙＝，第一次相遇时，为乙追上甲的情形，因此此时甲的速度应该小于乙速度，故A错误；由题意可知，甲做初速度为0的匀加速直线运动，根据x＝x0＋，将点坐标(t1，x1)代入可求出a＝，故B错误；两个物块相遇条件为抛物线与直线相交，根据题意有x＝x0＋，代入可知t2＝，故C正确；根据前面的相遇条件可知，当方程x＝x0＋，有一个解时即为相遇一次，即二次方程中Δ＝0，解得x1＝2x0，故D正确。] 2．根据道路交通安全法的相关规定，机动车遇到行人正在通过人行横道时应当停车让行。如图所示，当行人以v1＝1 m/s的速度从A点开始匀速穿过斑马线时，甲车已经在右侧车道停止线前等待，位于左侧车道的乙车以v2＝20 m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为a1(未知)，当行人运动到B点时乙车恰好停在停止线的位置，此时甲车以加速度a2＝2 m/s2做匀加速直线运动，当行人运动到C点时乙车以加速度a1做匀加速直线运动。已知每条车道宽度均为L＝5 m，求： (1)乙车做匀减速直线运动位移的大小； (2)乙车追上甲车前，两车之间沿车道方向的最远距离。 解析：(1)根据题意行人从A点到B点时间t0＝＝5 s，此时乙车恰好停在停止线的位置，即速度刚好为0，故匀减速位移x＝t0＝50 m，该过程乙车加速度大小为a1＝＝＝4 m/s2。 (2)设行人到达B点时开始计时，此时甲车以加速度a2＝2 m/s2做匀加速直线运动，则甲车位移和速度为x甲＝a2t2，v甲＝a2t，分析可知行人从B点运动到C点过程所用时间依然为t0，当行人运动到C点时乙车以加速度a1做匀加速直线运动，则乙车位移和速度为 x乙＝a1(t－5 s)2，v乙＝a1(t－5 s)，分析可知，二者速度相等时，两车之间沿车道方向的距离最远 a1(t－5 s)＝a2t，代入数据解得t＝10 s，故两车之间沿车道方向的最远距离为 Δx＝x甲－x乙＝a2t2－a1(t－5 s)2＝50 m。 答案：(1)50 m　(2)50 m 专题突破练习(一) 1．(2025·南昌模拟)a车和b车在平直公路上行驶，其位移—时间(x-t)图像分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且等于－2 m/s2，t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，则(　　) A．a车做匀速运动且其速度va＝ m/s B．t＝3 s时a车和b车相遇但此时速度不等 C．t＝1 s时b车的速度为10 m/s D．t＝0时a车和b车的距离x0＝9 m D　[x-t图线的斜率表示速度，a车x-t图像的倾斜程度没变，则a车做匀速直线运动，且va＝ m/s＝2 m/s，A项错误；由题图可知，t＝3 s时，a车和b车相遇且速度相等，B项错误；t＝3 s时，b车的速度vb＝va＝2 m/s，设b车的初速度为v0，对b车，有v0＋at＝vb，解得v0＝8 m/s，则t＝1 s时，b车的速度v′b＝6 m/s，C项错误；t＝3 s时，a车的位移xa＝vat＝6 m，b车的位移xb＝t＝15 m，a车和b车到达同一位置，所以t＝0时两车相距x0＝xb－xa＝9 m，D项正确。] 2．汽车中的ABS系统是汽车制动时自动控制制动器的刹车系统，能防止车轮抱死，可以减小刹车距离，增强刹车效果。实验小组通过实验，研究有ABS系统和无ABS系统两种情况下的匀减速制动距离，测试的初速度均为60 km/h。根据图中的图线及数据，可以推断出两种情况下汽车刹车的加速度大小之比a有∶a无等于(　　) A．4∶3 　 B．3∶4 C．3∶2 　 D．2∶3 A　[根据v2＝2ax得a＝，因为初速度相等时，刹车的距离之比为3∶4，则加速度之比a有∶a无＝4∶3。故选A。] 3．(多选)为了测试小车的性能，甲、乙两辆小车同时从M处由静止开始沿平直公路均先做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动直至静止，两车先后停在N处，假设两车在各自匀加速阶段和匀减速阶段的加速度大小相等，甲车、乙车全程经历的时间分别为t0和2t0，甲、乙两车加速度大小分别为a1和a2，最大速度分别为v1和v2，则(　　) A．v1∶v2＝2∶1 B．a1∶a2＝∶1 C．甲车停下时，两车相距最远 D．甲车运动了t0时，两车相距最远 AD　[由题意，作出两小车的v-t图像，如图所示，由两车位移相等有v1t0＝v2·2t0，解得v1∶v2＝2∶1，由图像可得，甲的加速度a1＝，乙的加速度a2＝，整理有a1∶a2＝4∶1，故A正确，B错误；两车速度相等时相距最远，设甲达到最大速度后，再经过Δt时间，两车相距最远，速度相等时有v1－a1Δt＝，对甲车v1＝a1a2＝4∶1, 解得Δt＝t0，甲车运动时间t甲＝＋Δt＝t0时，两车相距最远，故C错误，D正确。] 4．冰壶是冬奥会的传统比赛项目。t＝0时刻，冰壶运动员以v0＝3 m/s的速度沿水平冰面将冰壶掷出，t＝5 s时，队友开始用毛刷在冰壶前方不断地摩擦冰面(如图甲所示)，t＝17.5 s时冰壶停止运动，冰壶运动过程中加速度a的大小随时间t的变化关系如图乙所示。以下判断正确的是(　　) 甲　　　　　　　　　乙 A．t＝5 s时，冰壶的速度大小为1 m/s B．5～17.5 s内，冰壶的加速度大小为0.17 m/s2 C．0～17.5 s内，冰壶运动的位移大小为52.5 m D．与不摩擦冰面相比，摩擦冰面情况下，冰壶多滑行2.5 m才停下 D　[5 s末的速度大小为v＝v0－a1t1＝(3－0.2×5) m/s＝2 m/s，A错误；5～17.5 s内，冰壶的初速度v＝2 m/s，末速度为0，运动时间t2＝12.5 s，故冰壶的加速度大小为a2＝＝ m/s2＝0.16 m/s2，B错误；0～5 s内位移大小为x1＝t1＝12.5 m，5～17.5 s内的位移大小为x2＝t2＝12.5 m，则0～17.5 s内的位移大小为x＝x1＋x2＝25 m，C错误；若不摩擦冰面，冰壶运动的时间为t3＝＝15 s，15 s内位移大小为x3＝t3＝22.5 m，Δx＝x－x3＝2.5 m，D正确。] 5．一位医生需坐车去外地，当他赶到汽车站时，车已经沿平直公路驶离车站，听到呼喊后汽车马上以2 m/s2的加速度匀减速刹车，设医生同时以4 m/s的速度匀速追赶汽车。已知汽车开始刹车时速度为8 m/s，减速前距离医生12 m，则医生追上汽车所需的时间为(　　) A．6 s 　 B．7 s C．8 s 　 D．9 s B　[汽车速度减为0的时间为t1＝＝ s＝4 s，汽车速度减为0的位移为x＝＝ m＝16 m，医生追上汽车的位移x′＝x0＋x＝(12＋16) m＝28 m，医生追上汽车的时间t＝＝ s＝7 s>t1，所以医生追上汽车所需的时间为7 s，故B正确，A、C、D错误。] 6．警车A停在路口，一违章货车B恰好经过A车，A车立即启动加速追赶，它们的 v-t 图像如图所示，则0～4 s时间内，下列说法正确的是(　　) A．A车的加速度为5 m/s2 B．3 s末A车速度为7 m/s C．在2 s末A车追上B车 D．两车相距最远为5 m D　[由题图斜率求出A车的加速度为a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，故A错误；由速度—时间公式可得3 s末A车速度为v3＝at＝2.5×3 m/s＝7.5 m/s，故B错误；2 s末两车速度相同，由“面积”得到B车的位移大于A车的位移，2 s末A车还没有追上B车，故C错误；在2 s前，B车的速度大于A车的速度，两车距离增大，在2 s后A车的速度大于B车的速度，两车的距离减小，因此在2 s末时刻，两车速度相等时，两车的距离最大，由题图中“面积”差求出两车相距最远为5 m，故D正确。] 7．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为(　　) A．s 　 B．2s C．3s 　 D．4s B　[两辆完全相同的汽车，刹车时加速度相同，刹车位移也相同，均为s，设加速度大小为a，前车刹车的时间为t＝，刹车位移为s＝，在此时间内，后车做匀速运动，位移为x＝v0t＝，所以x＝2s，此后，后车刹车，刹车位移也为s，要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为Δx＝x＋s－s＝x＝2s，故B正确，A、C、D错误。] 8．挥杆套马是我国蒙古族传统体育项目，烈马从骑手身边奔驰而过时，骑手持6 m长的套马杆，由静止开始催马追赶，二者的 v-t 图像如图所示，则(　　) A．0～4 s内骑手靠近烈马 B．6 s时刻骑手刚好追上烈马 C．在0～4 s内烈马的平均速度大于骑手的平均速度 D．0～6 s内骑手的加速度大于8～9 s内烈马的加速度 C　[v-t图像图线与坐标轴所围的面积表示位移，骑手与烈马在t＝0时并排运动，通过图线在0～4 s内所围的面积可以看出 4 s 内烈马位移大于骑手位移，所以4 s末烈马与骑手间距离在增大，0～6 s内烈马位移还是大于骑手的位移，说明6 s末烈马仍在前方，故A、B错误；根据＝，结合A选项分析可知在0～4 s内烈马的平均速度大于骑手的平均速度，故C正确；由加速度定义式a＝＝知，8～9 s内烈马的加速度a1＝ m/s2＝5 m/s2，0～6 s内骑手的加速度a2＝ m/s2＝ m/s2，故D错误。] 9．两辆小汽车在平直路面上同向运动，两车从同一地点由静止同时出发，其位移x随速度平方v2变化的关系图像如图所示，图a、b、c表示两车的v-t图像，以下判断正确的是(　　) A．甲、乙两车在x1处再次相遇 B．甲、乙两车的v-t图像为图a C．甲、乙两车的v-t图像为图b D．甲、乙两车的v-t图像为图c B　[根据公式v2－＝2ax，变形可得x＝v2－，由题图可知，v0＝0，则x＝则乙的加速度不变，甲的加速度逐渐增大，所以甲、乙两车的v-t图像为题图a，由题图可知甲、乙两车在x1处速度相同，由题图a(即甲、乙两车的v-t图像)可得，速度相同时，需要的时间不同，则两车在不同时间到达x1，故在x1处未相遇，故A、C、D错误，B正确。] 10．(多选)直线坐标系Ox轴原点处有a、b两质点，t＝0时a、b同时沿x轴正方向做直线运动，其位置坐标x与时间t的比值随时间t变化的关系如图所示，则(　　) A．质点a做匀加速运动的加速度为10 m/s2 B．a、b从原点出发后再次到达同一位置时，a的速度为10 m/s C．a、b从原点出发后再次到达同一位置之前，最远相距1.25 m D．a、b从原点出发后，t＝1 s时再次到达同一位置 ACD　[对质点a，根据数学知识得＝5t＋5(m/s)，则x＝5t2＋5t(m)，与匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2对比得v0＝5 m/s，a＝10 m/s2，所以质点a做匀加速运动的加速度为10 m/s2，A正确；t＝1 s时，相等，则x相等，所以1 s时，质点a、b再次到达同一位置，此时质点a的速度为v1a＝v0＋at＝15 m/s，B错误，D正确；由题图知，对于质点b，有＝10 m/s，所以质点b做速度为10 m/s的匀速直线运动，当质点a、b速度相等时相距最远，则有v0＋at′＝vb，得t′＝0.5 s，xa＝v0t′＋at′2＝3.75 m，xb＝vbt′＝5 m，所以最远相距s＝xb－xa＝1.25 m，C正确。] 11．在足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中。某足球场长90 m、宽60 m，如图所示。攻方前锋在中线处将足球沿边线向前踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s 的匀减速直线运动，加速度大小为 2 m/s2, 试求： (1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移大小； (2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，他的启动过程可以视为初速度为0、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，且能达到的最大速度为8 m/s。该前锋队员距离足球的最远距离是多少？并求出至少经过多长时间他能追上足球？ 解析：(1)设足球做匀减速运动的时间为t0，根据逆向思维可知，足球运动的逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，则t0＝＝6 s 位移为x＝＝36 m。 (2)前锋队员先加速后匀速，足球匀减速，当二者速度相等时，距离最远，设经过t秒速度相等，则v0－a1t＝a2t 解得t＝3 s 此时二者速度均为v＝a2t＝6 m/s 足球向前的位移x1＝v0t－a1t2＝27 m 前锋队员的位移x2＝＝9 m 最远距离Δx＝x1－x2＝18 m 前锋队员从起跑到达到最大速度的时间和位移分别为 t1＝＝4 s x3＝t1＝16 m 之后前锋队员做匀速运动，假设追上足球时，足球已停止，其匀速运动位移x4＝x－x3＝20 m 则做匀速运动的时间t2＝＝2.5 s 前锋队员追上足球的时间 t3＝t2＋t1＝6.5 s＞6 s 假设合理。 答案：(1)36 m　(2)18 m　6.5 s 12．均可视为质点的A、B两物体沿同一直线做同向运动，从0时刻起同时出发，A做匀减速直线运动直至速度为0，整个运动过程中速度平方随位置坐标的变化关系如图甲所示。B做匀加速直线运动，位置坐标随时间的变化关系如图乙所示。已知A、B两物体在同一坐标系中运动，求： (1)B物体追上A物体之前，二者相距最远的时刻t1； (2)B物体追上A物体所用的时间t2。 解析：(1)A做匀减速直线运动，根据图甲和运动学公式得x＝＝576 m2/s2 解得v0＝24 m/s，aA＝ m/s2＝6 m/s2 B做匀加速直线运动，在第1 s内和第2 s内的位移之比为1∶3，可知B做的是初速度为0的匀加速直线运动，1 s时的速度为前2 s的平均速度v＝＝4 m/s，加速度为aB＝＝4 m/s2 当A、B两物体速度相等时，二者相距最远，则 v0－aAt1＝aBt1，解得t1＝2.4 s。 (2)假设A物体停止之前，B物体追上A物体，则xB＝aBt2，xA＝v0t－aAt2， xA＋2 m＝xB，解得t＝4.9 s，而A物体速度减为0需要的时间为t′＝＝4 s<t，说明B追上A时，A已经停止，则B物体追上A物体时，有＋2 m＝，解得t2＝5 s。 答案：(1)2.4 s　(2)5 s 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$