精品解析：山东省日照市东港区海曲中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷

八年级数学核心素养检测 （时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则m取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列四个三角形均为正方形网格图中的格点三角形，其中不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，若添加①；②；③；④平分，平分中任意一个条件能够使，则共有几种添法（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 10. 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）． A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若，则___________． 12. 已知：，，则______． 13. 如图，在的网格中，______． 14. 如图，在中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________ 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，为坐标平面内一动点，且为等腰三角形，则点M的坐标为______． 16. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值．运用此方法，请你解决问题：已知a，b均为正数，且．则的最小值是__________． 第Ⅱ卷 三、解答题（本大题共6小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）． （2）． 18. 已知，化简求值： 19. 如图，已知点E是的边延长线上的一个点，．连接，交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，请判断四边形的形状并说明理由． 20. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简． （2）若．求：①求的值． ②直接写出代数式的值________，________． 21. 如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 22. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，已知在中，，，，且，，满足． （1）求的值； （2）请你从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； （3）如图，是边上的高线，平分且交于点，求的长． 23. 如图，在等边中，边长为，于点D，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点Q由B点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点Q的直线，交于点E，连接，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，？ （2）当点P在线段上时，设四边形的面积为ycm2，求y与t的关系式； （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学核心素养检测 （时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则m取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故选：D． 2. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据勾股定理计算得花圃内一条“路”的长度，从而完成求解． 【详解】根据题意，得：长方形花圃的四个角为 ∴花圃内的一条“路”长 ∴仅仅少走了 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、无意义，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，下列四个三角形均为正方形网格图中的格点三角形，其中不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键． 先根据勾股定理求出边长，再根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、三边长分别为，∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意． B、同理可求三边长分别为，∵， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、同理可求三边长分别为，∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D、同理可求三边长分别为，， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 6. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决． 利用勾股定理可求得铅笔在笔筒内最长的长度，得出铅笔露出笔筒部分的最小长度；求出当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案． 【详解】铅笔在笔筒内最长时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为， 即铅笔在笔筒外面最长不超过， 所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于，不超过． 所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意； 故选：D． 7. 如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，若添加①；②；③；④平分，平分中任意一个条件能够使，则共有几种添法（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵当时，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等角的补角相等）， 在和中， ， ∴， ∴条件①能够使； ∵当时， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴条件②能够使； ∵当时，无法根据全等三角形的判定定理证明， ∴条件③不能够使； ∵当平分，平分时， ∴ 在和中， ， ∴， ∴条件④能够使． ∴有①②④，3种添法． 故选：C． 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ∴由勾股定理得， 、分别为、的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10. 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）． A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键． 根据勾股定理可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积， ∴2次后形成的图形中所有的正方形的面积和， ∴ “生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，绝对值的运算，解题思路是利用二次根式的性质将原式化为绝对值的和，再根据的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项得到结果． 【详解】解： ，， ． 12. 已知：，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，计算出及，再把原式因式分解，代入及即可求解．解题的关键是熟知因式分解的应用． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 13. 如图，在的网格中，______． 【答案】45 【解析】 【分析】连接，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据平行线的性质得出，，根据即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明为等腰直角三角形． 14. 如图，在中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________ 【答案】21 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10, ∵AC+BD=22， ∴OC+BO=11， ∵BC=10， ∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21． 故答案为：21． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，为坐标平面内一动点，且为等腰三角形，则点M的坐标为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，分，三种情况进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴轴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，则：或， 当时，过点作，则：， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 当时，则：， ∴； 综上：或或或； 故答案为：或或或． 16. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值．运用此方法，请你解决问题：已知a，b均为正数，且．则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，再利用勾股定理计算出AB即可． 【详解】解：如图：可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 第Ⅱ卷 三、解答题（本大题共6小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）利用二次根式的乘除混合运算法则即可求解； （2）利用平方差公式，完全平方公式即可求解． 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，化简求值： 【答案】 a-1， 【解析】 【详解】试题分析：先确定a的值的范围，再化简，最后化简所给式子，把a的值代入化简的结果即可求解. 试题解析：因为<1 所以原式= =a-1 19. 如图，已知点E是的边延长线上的一个点，．连接，交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，请判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据四边形是平行四边形得到，，由，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到结论； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 20. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简． （2）若．求：①求的值． ②直接写出代数式的值________，________． 【答案】（1）5 （2）①5②1，3 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，解题的关键是变形各式后利用来求解． （1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将a分母有理化得，移项并平方得到，对①，②的式子进行变形后代入求值． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 ①∵， ∴， ， ， ， ； ②， ， ， ∵， ∴原式； ∵， ， ∴原式． 故答案为：1，3． 21. 如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据直角三角形的性质得，可得答案； 对于（2），先求出，即可得，接下来说明，进而得垂直平分再根据等腰三角形的性质得， 然后根据得出答案． 【小问1详解】 证明：∵为上的中线， ∴， ∴是直角三角形. ∵点F为中点， ∴. ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（ 1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴． 22. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，已知在中，，，，且，，满足． （1）求的值； （2）请你从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； （3）如图，是边上的高线，平分且交于点，求的长． 【答案】（1） （2）选择公式①， （3） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质，可求得，，再代入求解即可； （2）请从①，②中选择一个公式计算即可； （3）过点作于点，根据等腰三角形的性质证明，根据角平分线的性质证明，再根据 列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ，，， 解得，， ； 【小问2详解】 解：选择公式①：由（1）可知，， ，，， ； 选择公式②：根据题意得； 【小问3详解】 解：过点作于点， ， 为等腰三角形， ， 平分，，， . ， ， 整理，得， ， 整理，得． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 23. 如图，在等边中，边长为，于点D，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点Q由B点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点Q的直线，交于点E，连接，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，？ （2）当点P在线段上时，设四边形的面积为ycm2，求y与t的关系式； （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）分别表示出，，由∽，可证，从而可求解； （2）利用等边三角形的性质表示出、，再用勾股定理求出、、，求出和从而可求出； （3）分别对当四边形是平行四边形时及当四边形是平行四边形时进行分类讨论，利用平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形，， ，， 当时，∽， ， ， 由题意得：，， ， 解得：， ∴当t为时，； 【小问2详解】 解：过点P作于M，过点Q作于N，如图1所示： ， 是等边三角形， ， ∴， ，， ，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ∴当点P在线段上时，y与t的关系式为：； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①当四边形是平行四边形时，如图2所示： 则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； ②当四边形是平行四边形时，如图3所示： 则， 同①得：是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上所述，当t为或时，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了以等边三角形为背景的动点问题，主要运用了等边三角形的性质、三角形相似的判定、勾股定理、平行四边形的性质等，掌握动点问题解决方法：“化动为静”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $