精品解析：广东省深圳市龙岗区文理学校2024-2025学年下学期七年级3月月考数学试卷

2024-2025学年第二学期3月学情诊断7年级数学试卷 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共20个小题，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 计算：，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 两直线平行，内错角相等 5. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 6. 将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（   ）． A. B. C. D. 7. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则其补角是______． 10. 如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则________． 11. 已知，，则_____． 12. 对于整数a， b， 我们定义：，．例如： ，，则 的值为_________． 13. 抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为______． 三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 计算： （1）； （2）； 16. 问题：阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）： 例：用简便方法计算195×205 解：195×205 =（200﹣5）（200+5）① =2002﹣52② =39975 （1）例题求解过程中，第②步变形依据是　 （填乘法公式的名称）． （2）用此方法计算：99×101×10001． 17. 阅读下面的问题、分析、解答过程，并填空（理由或数学式），补全演绎推理过程． 问题：如图，已知直线，，求的度数． 分析：题干叙述没有明确已知条件与待解问题之间的关系，所以解题思路探寻的重点在于沟通， 已知、未知之间的联系，寻找、之间的数量关系、位置关系．结合图形，可以观察发现与是一组（ ）（在对顶角、邻补角中选择填空），与是一组（ ）（请在同位角、内错角、同旁内角中选择填空），从而通过中间桥梁将已知条件与待解问题联系了起来．所以，确定如下解题思路：先由确定，再由确定． 通常，我们用符号“∵”“∴”分别表示“因为”“所以”简化书写过程，将上述分析探究过程写成如下演绎推理形式： 解：∵（已知） 又∵（ ） ∴（ ）（ ） ∵（已知） ∴______（ ） ∴（ ）（等式的性质） 18. 在数学活动课上，老师为了让学生理解数学转化思想，设计了下面的问题： 如图，有人想要测量两堵围墙在地面上所形成的的度数，但人又不能进入围墙，只能站在围墙外．请问如何利用七年级第一学期所学习知识中“与角的数量关系有关的数学定理、基本事实等”设计测量方案？ 方案1：学生甲说，我想到了对顶角相等．所以，可以构造对顶角，如图，将测量转化为测量与相等的对顶角． 方案2：学生乙说：我想到了邻补角互补．所以，可以构造邻补角、如图、将测量转化为测量与互补的邻补角或者． 方案3：学生丙说：我想到了平行线的性质定理，可以将需要测量的转化为与有着确定数量关系的其他角，例如内错角、同位角、同旁内角． 请你画出适当的示意图、选择恰当的平行性性质，详细说明方案3的解决办法． 19. 八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 20. 【问题初探】 数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，. （1）若，则______； （2）的余角是______； （3）与的数量关系是______，依据是__________________； （4）图中互余的角有______对，互补的角有______对； 【类比探究】 （5）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 （6）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似.光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕、两点转动的镜面，点是激光发射装置．由点发出的激光照射在点和点处，、是两束反射光线．、处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______°；通过调节的角度，当______°时，反射光线和平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期3月学情诊断7年级数学试卷 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共20个小题，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 计算：，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，掌握以上运算法则是解题的关键． 结合幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘除法则进行求解即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误； 故选：C． 4. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】∵∠DPF=∠BAF， ∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 5. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 6. 将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． 7. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将左边的式子展开，然后与右边的式子进行对比，从而确定和的值．本题主要考查了多项式乘法法则，熟练掌握多项式乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 8. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过顶点作直线支撑平台，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点作直线支撑平台， ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线支撑平台， ∴直线支撑平台工作篮底部， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则其补角是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角，角度四则运算，根据补角的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴其补角是， 故答案为：． 10. 如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】先根据图形折叠的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠， ∴， ． 11. 已知，，则_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算，根据同底数幂相乘的运算法则：底数不变，指数相加，得出，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 对于整数a， b， 我们定义：，．例如： ，，则 的值为_________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，然后合并同类项，即可计算求值． 【详解】解： ， 故答案为：0． 13. 抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为______． 【答案】##96度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，由平行线的性质求，继而得到，根据平行公理的推论得，最后根据两直线平行，同旁内角互补得．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算同底数幂相乘，积的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 15. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简乘方，零次幂，负整数指数幂，再运算加法，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 问题：阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）： 例：用简便方法计算195×205 解：195×205 =（200﹣5）（200+5）① =2002﹣52② =39975 （1）例题求解过程中，第②步变形依据是　 （填乘法公式的名称）． （2）用此方法计算：99×101×10001． 【答案】（1）平方差公式；（2）99999999 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行解答； （2）利用题目所给方法及平方差公式进行求解即可． 【详解】解：（1）平方差公式； 故答案为：平方差公式； （2）99×101×10001=（100﹣1）（100+1）×10001 =（10000﹣1）（10000+1） =100000000﹣1 =99999999． 【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 17. 阅读下面的问题、分析、解答过程，并填空（理由或数学式），补全演绎推理过程． 问题：如图，已知直线，，求的度数． 分析：题干叙述没有明确已知条件与待解问题之间的关系，所以解题思路探寻的重点在于沟通， 已知、未知之间的联系，寻找、之间的数量关系、位置关系．结合图形，可以观察发现与是一组（ ）（在对顶角、邻补角中选择填空），与是一组（ ）（请在同位角、内错角、同旁内角中选择填空），从而通过中间桥梁将已知条件与待解问题联系了起来．所以，确定如下解题思路：先由确定，再由确定． 通常，我们用符号“∵”“∴”分别表示“因为”“所以”简化书写过程，将上述分析探究过程写成如下演绎推理形式： 解：∵（已知） 又∵（ ） ∴（ ）（ ） ∵（已知） ∴______（ ） ∴（ ）（等式的性质） 【答案】对顶角；同旁内角；对顶角相等；；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，对顶角定义，“三线八角”，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据对顶角性质，得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：结合图形，可以观察发现与是一组对顶角，与是一组同旁内角，从而通过中间桥梁将已知条件与待解问题联系了起来． ∵（已知） 又∵（对顶角相等） ∴（等量代换） ∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等式的性质）． 18. 在数学活动课上，老师为了让学生理解数学转化思想，设计了下面的问题： 如图，有人想要测量两堵围墙在地面上所形成的的度数，但人又不能进入围墙，只能站在围墙外．请问如何利用七年级第一学期所学习知识中“与角的数量关系有关的数学定理、基本事实等”设计测量方案？ 方案1：学生甲说，我想到了对顶角相等．所以，可以构造对顶角，如图，将测量转化为测量与相等的对顶角． 方案2：学生乙说：我想到了邻补角互补．所以，可以构造邻补角、如图、将测量转化为测量与互补的邻补角或者． 方案3：学生丙说：我想到了平行线的性质定理，可以将需要测量的转化为与有着确定数量关系的其他角，例如内错角、同位角、同旁内角． 请你画出适当的示意图、选择恰当的平行性性质，详细说明方案3的解决办法． 【答案】 如图，过点D作，测量的度数，即可得出的度数． ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．过点D作，测量的度数，即可得出的度数． 【详解】略 19. 八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 【答案】（1）4；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、规律型：图形的变化、几何体的展开图，找到规律是解题的关键． （1）①根据已知条件即可得出答案；②根据已知条件即可得出答案； （2）当时，，当时，，进而得出答案； （3）先找到规律，再变形，进而得出答案． 【详解】解：（1）①根据已知可得，展开式中的系数是4；     ②根据已知可得，展开式中所有项的系数和为， 的展开式中所有项的系数之和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， ⋯， 则展开式中所有项的系数和为． 故答案为：4；  （2）   ， 当时，， 当时，， ． （3）由题意可得：，，， ， ， ． 20. 【问题初探】 数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，. （1）若，则______； （2）的余角是______； （3）与的数量关系是______，依据是__________________； （4）图中互余的角有______对，互补的角有______对； 【类比探究】 （5）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 （6）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似.光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕、两点转动的镜面，点是激光发射装置．由点发出的激光照射在点和点处，、是两束反射光线．、处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______°；通过调节的角度，当______°时，反射光线和平行． 【答案】（1）30；（2），；（3）相等，等角的补角相等；（4）4，4；（5）40；（6）； 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，理解反射角等于入射角，准确识图，熟练掌握平行线的性质及角度的计算是解决问题的关键． 问题初探：（1）（2）（3）（4）根据余角和补角的概念，结合图形解答即可； 类比探究：（5）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后求出，即可得到的度数； （6）过点作，过点作，依题意得，，，，，则，再由，得，再根据可得，进而得，据此可得的度数；设，则，进而得，则，然后根据得，则，由此解出即可得的度数． 【详解】解：问题初探：由题意得，，，， （1）若，则； 故答案为：30； （2）的余角是：，； 故答案为：，； （3）与的数量关系是相等，依据是等角的补角相等； 故答案为：相等，等角的补角相等； （4）图中互余的角有______对，互补的角有______对. 和、和、和、和互为余角， 和、和、和、和互为补角． ∴图中互余的角有4对，互补的角有4对； 故答案为：4，4； 类比探究：（5）如图，过点作， 由题意可得：， ， ， ， ， ， ． 答：等于40度时，才能保证黑球能直接入袋． 故答案为：40； （6）过点作，过点作，如图所示： 根据反射角等于入射角得：，， 依题意得：，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 设，则， ，， ， ， ， 当时，， ， ． 即． 故答案为：；． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $