精品解析：吉林道长春市长春高新技术产业开发区慧仁学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

东北师范大学慧仁学校2024-2025学年度下学期八年级大练习数学学科 一、选择题（共8小题） 1. 下列图象表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 春季来临，友谊公园的鲜花盛开，郁金香的花香更浓，某品种郁金香花粉直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格图中，将平移到的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：线段的长可以看作平移的最短距离； 乙：连接，四边形是平行四边形 A. 只有甲的对 B. 只有乙的对 C. 甲、乙的都对 D. 甲、乙的都不对 6. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 7. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 8. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点的坐标为，且垂直于轴于点．函数的图象与边、分列交于点D、点．若是边的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 9. 分式的最简公分母________． 10. 当_____时，分式有意义． 11. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 ____． 12. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 13. 如图，的对角线与相交于点O，其周长为16，且的周长比的周长小2，则边的长为_____． 14. 如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，，，则四边形的周长是______． 三、解答题（共 10题） 15. 计算： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 过年包饺子是中国新年传统习俗之一，在中国，饺子不仅仅是一种食物，它还象征着团圆、和谐和幸福．大年三十当天，小美的爸爸、妈妈一起为全家制作美味的饺子，小美的爸爸擀皮，妈妈包饺子，一共制作了80个饺子，小美发现爸爸每分钟擀皮的个数是妈妈包饺子的4倍，爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，请你根据以上信息，求出爸爸每分钟擀皮的个数和妈妈每分钟包饺子的个数． 18. 如图，的对角线和相交于点O，过点且与边、分别相交于点和点． （1）求证：． （2）若，则的最小值为__________． 19. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个面积为3的． （2）在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 （3）在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示． （1）当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； （2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A、的坐标分别为，，以、为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点． （1）点的坐标为_____； （2）当一次函数的图象将分成面积相等的两部分时，求的值． （3）直接写出一次函数的图象与的边只有两个公共点时的取值范围． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“两个全等的三角形纸片”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用． 【操作发现】将两个全等的三角形纸片一边重合，可以得到两种不同的特殊四边形（现阶段研究的四边形均为凸四边形），即平行四边形和“筝形”．查阅相关资料得知其中一种特殊的四边形的定义为：有两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”． 【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，同学们对“筝形”的性质和判定方法进行研究，根据示例图形，对比表格内容解答问题： 名称 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 是中心对称图形 两组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 筝形 ① 两组邻边分别相等 一组对角相等 ② （1）表格中①、②处应分别填写的内容是： ① ； ② ； （2）证明“筝形”有关对角线的性质（补全结论，并写出完整的证明过程）． 已知：如图1，在“筝形”ABCD中，，对角线和交于点． 求证：_____； 证明： （3）下列条件能够作为四边形是“筝形”的判定方法有_____（将所有正确的序号填在横线上）． ①且；②；③且；④． 【迁移应用】如图2在“筝形”中，，点为上一动点，对角线上存在一点，使取最小值时，直接写出的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．直线CD：y＝－x－1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系； （3）当S＝20时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学慧仁学校2024-2025学年度下学期八年级大练习数学学科 一、选择题（共8小题） 1. 下列图象表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，按照一一对应的原则去判断即可，当任意一个都有唯一的一个与之对应，则称是的函数． 【详解】当任意一个都有唯一的一个与之对应，则称是的函数． 由图象可知：A，B，C选项都不符合题意， D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了函数的图象表示法，正确理解变量之间的一一对应思想是解题的关键． 2. 春季来临，友谊公园的鲜花盛开，郁金香的花香更浓，某品种郁金香花粉直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∵a2⩾0， ∴a2+1⩾1， ∴点P(−3,a2+1)所在的象限是第二象限． 故选B. 4. 反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解题． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴函数图象必在第四象限， ∴， ∴． 故选：A． 5. 如图，在的正方形网格图中，将平移到的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：线段的长可以看作平移的最短距离； 乙：连接，四边形是平行四边形 A. 只有甲的对 B. 只有乙的对 C. 甲、乙的都对 D. 甲、乙的都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定．根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对甲、乙的说法分析判断即可． 【详解】解：平移到的位置， ∴线段的长可以看作平移的最短距离，甲的说法正确； 由平移的性质得，， ∴四边形是平行四边形，乙的说法正确． 故选：C． 6. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 8. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点的坐标为，且垂直于轴于点．函数的图象与边、分列交于点D、点．若是边的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确表示出D、E的坐标，利用等腰三角形的性质求得k的值是解题的关键． 首先得到点D的纵坐标为1，点E的横坐标为2，，然后表示出，，得到，求出，进而求解即可． 【详解】∵是等腰直角三角形，垂直于轴于点 ∴轴 ∵直角顶点的坐标为 ∴点D的纵坐标为1，点E的横坐标为2， ∵函数的图象与边、分列交于点D、点 ∴， ∴， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 二、填空题（共6小题） 9. 分式的最简公分母________． 【答案】 【解析】 【分析】求出两个分式的分母的最简公倍数． 【详解】解：与的最简公倍数是． 故答案是：． 【点睛】本题考查分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的求法． 10. 当_____时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 11. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 ____． 【答案】（－4，3） 【解析】 【详解】解：关于原点对称的点的坐标横、纵坐标均互为相反数， 则点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是（－4，3）． 12. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题． 【详解】解∶将代入得，． 解得． 点P的坐标为． 方程组的解可看成函数与函数图象的交点坐标， 此方程组的解为 13. 如图，的对角线与相交于点O，其周长为16，且的周长比的周长小2，则边的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据题意，易得，进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线与相交于点O，其周长为16， ∴， ∴， ∵的周长比的周长小2， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5 14. 如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，，，则四边形的周长是______． 【答案】16 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，得出，，然后利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证，再利用等腰三角形的判定可得，最后求出四边形的周长即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长是． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 三、解答题（共 10题） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义、二次根式的性质、零指数幂的意义等化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ； 当时，原式． 17. 过年包饺子是中国新年传统习俗之一，在中国，饺子不仅仅是一种食物，它还象征着团圆、和谐和幸福．大年三十当天，小美的爸爸、妈妈一起为全家制作美味的饺子，小美的爸爸擀皮，妈妈包饺子，一共制作了80个饺子，小美发现爸爸每分钟擀皮的个数是妈妈包饺子的4倍，爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，请你根据以上信息，求出爸爸每分钟擀皮的个数和妈妈每分钟包饺子的个数． 【答案】妈妈每分钟包饺子3个，则爸爸每分钟擀皮12个． 【解析】 【分析】此题考查分式方程的应用．设妈妈每分钟包饺子x个，则爸爸每分钟擀皮4x个，根据爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，列出方程求解即可． 【详解】解：设妈妈每分钟包饺子x个，则爸爸每分钟擀皮4x个 由题意知，． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：妈妈每分钟包饺子3个，则爸爸每分钟擀皮12个． 18. 如图，的对角线和相交于点O，过点且与边、分别相交于点和点． （1）求证：． （2）若，则的最小值为__________． 【答案】（1） 证明：∵的两条对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明即得． （2）根据，得到，，结合，得到，利用垂线段最短计算即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵的两条对角线相交于点O， ∴， ∴， 设边上的高为h， ∴， 解得， 根据垂线段最短， 故当为三角形的高时，最小，且最小值为， 故答案为：． 19. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个面积为3的． （2）在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 （3）在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求作； （2） 如图，四边形即为所求作； （3） 如图，四边形即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查网格中作图、平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定是解答的关键． （1）利用网格特点，作一个底是1，高是3的平行四边形即可； （2）利用网格特点，作一个底是3，高是3的平行四边形即可； （3）利用网格特点和平行四边形的判定与性质，结合要求画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为； （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点D的坐标，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在上， ∴， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∴， ∵点A，B在上， ∴， 解得， ∴． 答：一次函数解析式为，反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∴ ． 21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示． （1）当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； （2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解． 【小问1详解】 解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为 将点代入得， 解得：， ∴； 联立 解得： ∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A、的坐标分别为，，以、为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点． （1）点的坐标为_____； （2）当一次函数的图象将分成面积相等的两部分时，求的值． （3）直接写出一次函数的图象与的边只有两个公共点时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质、平行四边形的性质、平移的性质等知识点．熟练掌握平行四边形的性质以及数形结合的思想是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质和平移性质解答即可； （2）根据一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分得到一次函数过原点，进行求解即可； （3）求出一次函数图象经过A点的k值，和一次函数经过C点的k值，再根据一次函数的性质，即可确定k的取值范围． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴可由平移得到， ∵点，点，点， ∴，即． 故答案为：． 【小问2详解】 解：一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B， 将代入，得， ∴， ∴， ∵一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B， ∴当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，图象必过点， ∴，解得：． 【小问3详解】 解：当直线经过A点时，得：，解得； 当直线经过C点时，得：，解得：， ∵一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点， ∴或． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“两个全等的三角形纸片”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用． 【操作发现】将两个全等的三角形纸片一边重合，可以得到两种不同的特殊四边形（现阶段研究的四边形均为凸四边形），即平行四边形和“筝形”．查阅相关资料得知其中一种特殊的四边形的定义为：有两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”． 【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，同学们对“筝形”的性质和判定方法进行研究，根据示例图形，对比表格内容解答问题： 名称 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行四边形 是中心对称图形 两组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 筝形 ① 两组邻边分别相等 一组对角相等 ② （1）表格中①、②处应分别填写的内容是： ① ； ② ； （2）证明“筝形”有关对角线的性质（补全结论，并写出完整的证明过程）． 已知：如图1，在“筝形”ABCD中，，对角线和交于点． 求证：_____； 证明： （3）下列条件能够作为四边形是“筝形”的判定方法有_____（将所有正确的序号填在横线上）． ①且；②；③且；④． 【迁移应用】如图2在“筝形”中，，点为上一动点，对角线上存在一点，使取最小值时，直接写出的最小值． 【答案】（1）轴对称图形，一条对角线垂直且平分另一条对角线； （2）求证：，且平分； 证明：在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， （3）①③； （4）的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了实践应用，新定义四边形问题，筝形的性质，垂直平分线的性质与证明，全等三角形的性质与判定，读懂题意，灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据筝形的性质进行解答即可； （2）结合题中给出的筝形定义，先给出一个结论，再利用筝形的定义证明结论即可； （3）根据筝形的判定进行判定即可； （4）根据筝形的性质，，则，过点作于点，此时最小，进而计算即可． 【详解】解：（1）筝形是轴对称图形， 故①处为既是轴对称图形； 筝形的一条对角线垂直且平分另一条对角线， 故②处填一条对角线垂直且平分另一条对角线； 故答案为：轴对称图形，一条对角线垂直且平分另一条对角线； （2）略 （3）①且； 根据筝形的定义则①正确； ③且； 在于中， ， ， ， 同理可证， 四边形是“筝形”， 故③正确； ②④无法得到四边形是“筝形”； 故答案为：①③； （4）“筝形”， ，， 连接，， 在与中， ， ， ， 则， 当点，，三点共线且过点作的垂线，此时线段最短，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 的最小值为． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．直线CD：y＝－x－1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系； （3）当S＝20时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）分别求出两个函数时，的值，由此即可得出答案； （2）先求出点的坐标，从而可得的面积，再利用的面积与、面积之间的关系即可得； （3）先根据（2）的结论求出点的坐标，再分①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形；③四边形是平行四边形三种情况，利用平行四边形的对角线性质求解即可得． 【详解】解：（1）对于函数， 当时，，即， 对于函数， 当时，，即； （2）， ， 联立，解得，即， ， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在线段上，即时， ， ， ②如图，当点在射线上，且位于点右侧，即时， ， ， 综上，； （3）当时，，解得， 对于函数， 当时，，即， 设点的坐标为， 由题意，分以下三种情况： ①当四边形是平行四边形时，则对角线与互相平分， 因此有，解得， 即此时点的坐标为； ②当四边形是平行四边形时，则对角线与互相平分， 因此有，解得， 即此时点的坐标为； ③当四边形是平行四边形时，则对角线与互相平分， 因此有，解得， 即此时点的坐标为； 综上，存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、平行四边形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $