暑期巩固提升测试01【范围：第十八章 平行四边形】-2024-2025学年人教版八年级数学下册暑假提升试题

2024-2025学年人教版八年级数学下册暑假单元专题提升测试 第十八章 平行四边形巩固提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，在平行四边形中，平分，，，则的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（本题3分）在菱形中，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据菱形的对边平行可得，再由菱形的对角线平分一组对角可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴． 故选：D． 3．（本题3分）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．24 B．20 C．10 D．40 【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的基本性质，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得，，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长． 【详解】解：如图所示， 菱形中，， ∴， ∴， ∴此菱形的周长是：． 故选：B． 4．（本题3分）如图，在中，，平分，，则的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线和角平分线的性质推出等腰三角形，进而建立线段间的等量关系． 根据平行四边形性质得、由平分得利用推出进而得故设结合及列方程求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴． ∴（等角对等边）． ∵ ∴． 设则． ∵ ∴． 又∵ ∴． 解得． ∴． 故选：B． 5．（本题3分）如图，菱形中，，以为边长的正方形的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及正方形的周长计算，解题的关键是根据菱形的性质和已知角度推出等边三角形，进而确定的长度． 由菱形性质得结合可判定为等边三角形，从而得出再根据正方形边长等于的长度，计算其周长． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴． ∵四边形是正方形 ∴正方形的边长为． ∴正方形的周长． 故选：B． 6．（本题3分）如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，证明，得出，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 7．（本题3分）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B．10 C．15 D．17 【答案】D 【分析】此题重点考查平面展开-最短路径问题，画出圆柱形玻璃杯的侧面展开图并且正确地作出辅助线是解题的关键．将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点E，使，连接交于点F，连接，由垂直平分，得，则，可知蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为线段的长，作于点G，则，求出，，求得，根据勾股定理求出，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点E，使，连接交于点F，连接， ∵垂直平分， ， ∴， ∴， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为线段的长， 作于点G，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为， 故选：D． 8．（本题3分）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，，若，则的长为（　　 ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键在于添加辅助线，构造中位线． 先构造中位线，再根据中位线的性质得出，，从而可求得，再利用勾股定理求的值，由矩形的性质可得，根据求得． 【详解】如图，连接， ∵矩形对角线相交于点O， ∴为的中点，， 又F为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（本题3分）下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．根据推理过程及平行四边形的判定定理即可解答． 【详解】解：A、添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； B、添加后，结合，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； C、添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； D、添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选：B． 10．（本题3分）如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，理解相关知识是解答关键． 连接交于，过作于，过作于，推出得出平行四边形，可判断①②④；无法判断③正确；证明得出可判断⑤正确；根据可判断⑥正确． 【详解】解：连接交于，过作于，过作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ． ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴①正确；②正确；④正确； ∵根据已知不能推出， ∴③错误； ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴⑤正确； ∵， ∴， ∴， ∴⑥正确． 综上，正确的序号为：①②④⑤⑥． 故选：C． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了直角三角形的性质，设斜边的长为，则斜边上的中线长度为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握直角三角形斜边上的中线为斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：设斜边的长为，则斜边上的中线长度为， ∵斜边及其中线之和等于， ∴， ∴， 即斜边长是， 故答案为：． 12．（本题3分）如图，，，分别是各边的中点，是高，如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，根据、、分别是的中点，可知为的中位线，根据的长度可求得的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，即可求解． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∵，且F为的中点， ∴． 故答案为：． 13．（本题3分）如图，在中，对角线，相交于点O，是的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定与性质，先结合平行四边形的性质得，再根据是的中点，即是的中位线，进行作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：6 14．（本题3分）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质，根据矩形的性质可知，根据两直线平行，内错角相等，可知，根据折叠的性质可知． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠可知． 故答案为： ． 15．（本题3分）如图，直线过正方形的顶点C，点B，点D到直线的距离分别是3和4，则的长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，结合正方形性质先证明，得出，即可求出结论． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 作，垂足分别为M、N， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，菱形的顶点在x轴上，连接，若是等边三角形，则菱形的顶点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作于点，利用等边三角形的性质得出，，然后利用菱形的性质即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ，， 由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点位于第二象限， ∴点坐标为， 故答案为：． 17．（本题3分）如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的两条道路（阴影部分），其中，，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，利用平移的性质将绿地部分组成一个矩形是解题关键． 利用平移，先绿化部分矩形的长、宽，再求出绿化的面积． 【详解】解：由题意得： ∵，，道路宽为， ∴绿化的面积为 ， ∴绿化的面积为， 故答案为：． 18．（本题3分）如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握等腰三角形的性质，基本作图是解决问题的关键. 由作图可知是的平分线，再根据得，进而根据勾股定理求出，然后直角三角形斜边中线性质可得出的长. 【详解】解：由作图可知：是的平分线， ∵， ， ∴， ， ∵， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∵， ， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）如图，在平行四边形中，点，分别是，中点，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，结合题意得出，，从而推出四边形为平行四边形，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴； 又点分别是的中点， ， ∴， 四边形为平行四边形 ． 20．（本题8分）已知在中，，，，为边上的高，动点从点出发以速度为在上运动，设运动时间为． (1)求的长； (2)为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算； （2）分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， 即的长为； （2）∵动点从点出发以速度为在上运动，设运动时间为， 由（1）知：，， ∴当点从点运动点时，所需时间：， ∴的取值范围为， ∵为边上的高， ∴， ∵为等腰三角形，分以下三种情况： ①如图1，当时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； ②当时，； ③如图2，当时，过点作于， ∴，即点是的中点， ，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，为等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，三角形的面积等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 21．（本题8分）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理解三角形以及平行四边形的性质和周长计算．熟练掌握全等三角形的证明方法以及判断出四边形是平行四边形是解决本题的关键． （1）由角角边的证明方法证明与全等，通过证明三角形全等即可得出线段相等； （2）先利用勾股定理求出斜边长度，再根据平行四边形的性质求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为E是的中点， 所以． 在和中， ， 所以≌． 所以． 因为是边上的中线， 所以， 所以． （2）解：在中，，，， 根据勾股定理． 因为是边上的中线， 所以． 因为，， 所以四边形是平行四边形． 所以，． 所以四边形的周长为． 22．（本题8分）如图，四边形是平行四边形，平分且交于点，平分且交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段相关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，，，证出，由即可得出，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可． （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，添加即可使得四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，，， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：添加 由（1）知：四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 23．（本题8分）如图，矩形中，对角线交于点O，点F、E分别在边和上，O在线段上，连接，交于点． (1)求证：； (2)若G是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）证明，推出四边形是平行四边形，即可得证； （2）证明是等边三角形，三线合一推出，进而得到，即可得到四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）四边形是菱形， 理由：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24．（本题8分）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．    (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）由，四边形为正方形可证，从而证出； （2）由得，，又，可得，故可证得，即．又因为，可证出成立． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 是延长线上一点， ． 在和中， ， ， ． （2）解：成立，理由如下： ， ． 又， ． ， ． 在和中， ， ， ． 又， ． 25．（本题10分）如图，已知四边形 为矩形， P是边上一动点，M，N，E分别是，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当P在什么位置时，四边形是菱形； (3)如图2，，，当四边形是矩形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)当P在中点时，四边形是菱形 (3)的长为2或8 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，然后证明四边形是平行四边形； （2）先证明，得出，从而得出，即可得出答案； （3）设，则，根据勾股定理得出，求出或，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵M，N，E分别是，，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当P在中点时，四边形是菱形； 则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （3）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：或， ∴当四边形是矩形时，的长为2或8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形中位线的性质，解一元二次方程，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 26．（本题10分）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 第14页，共15页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下册暑假单元专题提升测试 第十八章 平行四边形巩固提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，在平行四边形中，平分，，，则的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．4 2．（本题3分）在菱形中，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 3．（本题3分）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．24 B．20 C．10 D．40 4．（本题3分）如图，在中，，平分，，则的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 5．（本题3分）如图，菱形中，，以为边长的正方形的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 6．（本题3分）如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（本题3分）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B．10 C．15 D．17 8．（本题3分）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，，若，则的长为（　　 ） A．1 B．2 C． D． 9．（本题3分）下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是 ． 12．（本题3分）如图，，，分别是各边的中点，是高，如果，那么的长为 ． 13．（本题3分）如图，在中，对角线，相交于点O，是的中点，若，则的长为 ． 14．（本题3分）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则等于 ． 15．（本题3分）如图，直线过正方形的顶点C，点B，点D到直线的距离分别是3和4，则的长是 ． 16．（本题3分）如图，菱形的顶点在x轴上，连接，若是等边三角形，则菱形的顶点B的坐标为 ． 17．（本题3分）如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的两条道路（阴影部分），其中，，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积为 ． 18．（本题3分）如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若则的长为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）如图，在平行四边形中，点，分别是，中点，连接，．求证：． 20．（本题8分）已知在中，，，，为边上的高，动点从点出发以速度为在上运动，设运动时间为． (1)求的长； (2)为等腰三角形时，求的值． 21．（本题8分）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 22．（本题8分）如图，四边形是平行四边形，平分且交于点，平分且交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段相关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 23．（本题8分）如图，矩形中，对角线交于点O，点F、E分别在边和上，O在线段上，连接，交于点． (1)求证：； (2)若G是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 24．（本题8分）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．    (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ 25．（本题10分）如图，已知四边形 为矩形， P是边上一动点，M，N，E分别是，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当P在什么位置时，四边形是菱形； (3)如图2，，，当四边形是矩形时，求的长． 26．（本题10分）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 第14页，共15页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$