精品解析：广东省佛山市顺德区沙滘初级中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学卷

2024学年八年级第二学期三月份学科素养检测数学试卷 八（　　）___________号姓名___________ 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 在下列式子中，属于不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的定义即可求出正确答案． 【详解】解：由题意可知： A. ，不是不等式，故不符合题意； B. ，是不等式，符合题意； C. ，不是不等式，故不符合题意； D. ，不是不等式，故不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查不等式的定义，解题的关键是掌握不等式的定义：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．如， 像这样x≠3用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 2. 如图，中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边对等角求出∠C的度数，再利用三角形内角和定理求出∠A． 【详解】解：∵， ∴∠C=∠B=70°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=40°， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式的解集的方法是解题的关键．先解不等式，根据不等式的解集表示在数轴上即可求解． 【详解】解： 解得： 在数轴上表示不等式的解集，如图，     故选：C． 4. 设△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　　　 ） A. ∠A+∠B=90° B. b2=a2-c2 C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 D. a：b：c=5：12：13 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形，从而分别判定即可． 【详解】解：A. ∵∠A+∠B=90°， ∴=90°，△ABC是直角三角形； B. ∵b2=a2-c2 ∴△ABC是直角三角形； C. ∵∠A：∠B：∠C=3：4：5， ∴△ABC不是直角三角形； D. ∵ a：b：c=5：12：13 ∴，△ABC是直角三角形. 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、直角三角形的判定方法，灵活的应用此定理是解决问题的关键． 5. 如图，中，，的垂直平分线交于点．若，，则的周长为（ ） A. 15 B. 13 C. 11 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，解题的关键在于熟练掌握垂直平分线性质．根据题意得到，利用垂直平分线性质得到，再根据三角形周长公式求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 的垂直平分线交于点． ， ， 的周长为， 故选：D． 6. 在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中(　　) A. 没有锐角 B. 都是直角 C. 最多有一个锐角 D. 有三个锐角 【答案】C 【解析】 【分析】熟记反证法的第一步，根据反证法第一步首先从结论的反面假设结论不成立，即可得出答案． 【详解】用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，应先假设同一三角形中最多有一个锐角， 故选C． 【点睛】本题考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　） A. x＞3 B. x＜3 C. x＞﹣1 D. x＜﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，两直线的交点坐标是（－1，3），在交点的左侧，据此解题． 【详解】解：当x＜－1时，， 所以不等式的解集为x＜﹣1． 故选：D． 【点睛】本题考查两条直线的交点求不等式的解集，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对道题，则他答错或不答的题数为．根据题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 10x−5(20−x)>120， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 9. 用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，，点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ） A. 秒 B. 3秒 C. 秒 D. 秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用；设运动的时间为秒，则有，，从而可求，由，列方程，即可求解；根据等腰三角形的定义得到方程是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为秒，则有 ，， ， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得：； 故选：D． 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_____°时，△ABC是等腰三角形． 【答案】40 【解析】 【分析】直接根据等腰三角形的两底角相等进行解答即可． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°， ∴． 故答案为40． 12. 不等式的解集是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据不等式的性质解不等式即可求解． 【详解】解：移项，得 系数化为1，得， 即不等式的解集为， 故答案为：． 13. 已知a＜b，则－4a＋5______－4b＋5（填＞，＜或＝）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据不等式的性质，有序计算即可． 【详解】∵ a＜b， ∴ -4a＞-4b， ∴ -4a+5＞-4b+5， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了不等式的性质，正确理解性质是解题的关键． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则___________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线得到，再根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知中，，，，等边的一边在直角边上移动，当点与点重合时，点恰好落在边上，若设线段为，在移动过程中，等边与两图形重叠部分的面积为．请你写出与的函数关系式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质、列函数解析式，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键． 先由点D恰好落在边上，利用含角的直角三角形的特征求得等边的边长是2，再利用含角的直角三角形的特征，，进而利用勾股定理求得，则，根据重叠部分面积求解即可． 【详解】解：当E点与点C重合时，点D恰好落在边上，如图所示： ∵是等边三角形， ，，又， ， 在中，， ∴，即等边的边长是2； 过D作于P， ∴，则， ∴； ∵的长为x，则， ∵，， ∴， ∴，， ，， ， ∴在中，， ，， ， ∴重叠部分面积，又在直角边上移动， ∴， ． 故答案为： 三．解答题（共8小题） 16. 解下列不等式． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【小问1详解】 解： 解得：， ∴原不等式的解集为：； 【小问2详解】 解： 解得： ∴原不等式的解集为：． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来， 【答案】， 将解集表示在数轴上，如图： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集，进而将解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为 18. 如图，已知ABC，以A为圆心，AC为半径画弧与BC相交于另一点E． （1）用尺规作图的方法，作出ABC的高AD（垂足为D）． （2）求证：ED＝CD． 【答案】（1）解：如图，AD为所作； （2）证明：由作法得AC＝AE， ∴△ACE为等腰三角形， ∵AD⊥CE， ∴ 又∵ ∴ ∴ED＝CD． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，过A点作BC的垂线； （2）根据等腰三角形的”三线合一“进行证明． 【详解】（1）作法如下： 分别以为圆心，以大于长为半径，作弧，相较于点，连接，并延长，交于点； （2）略 【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的证明，熟练掌握基本作图方法和全等三角形的证明方法是解题的关键． 19. 小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）． （1）猜想此时与的位置关系，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）根据，得出，根据，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的长为． 20. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元． （1）求每副象棋和围棋的价格； （2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？ 【答案】（1）每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元 （2）最多能购买40副围棋 【解析】 【分析】（1）设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买副围棋，则购买副象棋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元． 依题意得， 解得． 答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元． 【小问2详解】 设购买副围棋，则购买副象棋． 依题意得：， 解得． 答：最多能购买40副围棋． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键． 21. 已知：如图，锐角的两条高相交于点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点是否在的角平分线上，并说明由． 【答案】 （1）证明：是的高， ， ， 又是公共边， 即是等腰三角形． （2）解：点在的角平分线上． 理由如下： ， ， ， ， 又， 点在的角平分线上． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角先求出，再证明即可解决问题． （2）先由（1）的全等得到，再得到，即可得到点在角平分线上． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． （1）若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． （2）若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； （3）在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】（1）；；；； （2）； （3）或或或． 【解析】 【分析】（）根据交点坐标及函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出的解析式，再联立函数解析式求出点坐标，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （）设点的坐标为，可得，分点分别为顶点三情况解答即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为， 故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设点的坐标为 ∵， ∴， 当点为顶点时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴点的坐标为； 当点为顶点时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点C的坐标是，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且，过D作于点M． （1）求证：． （2）若点E在延长线上，求证：平分． （3）当A点运动时，的值是否发生变化？若不变化，请求出其值：若变化，请说明理由． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ①； 点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ，， 连接，在中，②； ①②得：， ； （2） 证明：过作于，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， 即平分； （3）不变，2 【解析】 【分析】（1）在中，①；证出，在中，②；由①②即可得出结论； （2）过作于，由证明，得出，，即可得出结论； （3）由全等三角形的性质得出；证出；得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ； 由是的角平分线，得； 又；； ， ， 即的值是定值2． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年八年级第二学期三月份学科素养检测数学试卷 八（　　）___________号姓名___________ 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 在下列式子中，属于不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 设△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　　　 ） A. ∠A+∠B=90° B. b2=a2-c2 C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 D. a：b：c=5：12：13 5. 如图，中，，的垂直平分线交于点．若，，则的周长为（ ） A. 15 B. 13 C. 11 D. 8 6. 在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中(　　) A. 没有锐角 B. 都是直角 C. 最多有一个锐角 D. 有三个锐角 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　） A. x＞3 B. x＜3 C. x＞﹣1 D. x＜﹣1 8. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对道题，则他答错或不答的题数为．根据题意得（ ） A. B. C. D. 9. 用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ） A. 秒 B. 3秒 C. 秒 D. 秒 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_____°时，△ABC是等腰三角形． 12. 不等式的解集是_____ 13. 已知a＜b，则－4a＋5______－4b＋5（填＞，＜或＝）． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则___________． 15. 如图，已知中，，，，等边的一边在直角边上移动，当点与点重合时，点恰好落在边上，若设线段为，在移动过程中，等边与两图形重叠部分的面积为．请你写出与的函数关系式为_____． 三．解答题（共8小题） 16. 解下列不等式． （1）． （2）． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来， 18. 如图，已知ABC，以A为圆心，AC为半径画弧与BC相交于另一点E． （1）用尺规作图的方法，作出ABC的高AD（垂足为D）． （2）求证：ED＝CD． 19. 小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）． （1）猜想此时与的位置关系，并说明理由； （2）求的长． 20. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元． （1）求每副象棋和围棋的价格； （2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？ 21. 已知：如图，锐角的两条高相交于点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点是否在的角平分线上，并说明由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． （1）若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． （2）若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； （3）在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点C的坐标是，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且，过D作于点M． （1）求证：． （2）若点E在延长线上，求证：平分． （3）当A点运动时，的值是否发生变化？若不变化，请求出其值：若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $