精品解析：江苏省连云港市海州区板浦实验中学2024至2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年第二学期第一次阶段测试 七年级数学试卷 （时间：90分钟 满分150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列式子正确的是( ) A. a3+a2＝a5 B. a2∙a3＝a5 C. （﹣a2）3＝a6 D. 2a3∙（﹣a2）＝2a5 2. 下列各式的值最小的是（　　） A. 20 B. |﹣2| C. 2﹣1 D. ﹣（﹣2） 3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平移三角形ABC得到三角形DEF，其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ） A. B. C. D. 6. 用尺规作图作直线的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述： 甲：如图1，在直线上任取一点，以为圆心任意长为半径画弧，与直线相交于点、两点，再分别以、为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线即为所求 乙：如图2在直线上任取两点，作线段的垂直平分线 下面说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 乙对甲不对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对 7. 通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 8. 在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：_________． 10. 已知，则___________． 11. 如图，将沿射线BC方向平移到的位置．若，则的长为___________． 12. 已知，则的值为______． 13. 如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移得到直角三角形DEF，其中AB＝6，BE＝3，DM＝2，则阴影部分的面积是______． 14. 如果多项式是一个完全平方式，则____________． 15. 已知代数式的值是6，则代数式的值是______． 16. 若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（用乘法公式计算）； （6）（用乘法公式计算；） （7）； （8） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的顶点均在网格的格点上(小正方形的顶点即为格点)． （1）将三角形先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，点A，B，C的对应点分别为，，，请在网格图中画出平移后的三角形． （2）求三角形的面积． 20. 若关于x的多项式的展开式中不含项，求的值． 21. 幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： （1）已知：，求的值． （2）已知：，求的值． 22. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空：___________，___________，___________． （2）记．求证：． 23. 探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示) 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为___________． ②计算：． 拓展：（3）计算：． 24. 我们在学习“整式的乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，得到一些代数恒等式．比如从整体来看，图是边长为的正方形，可得图的面积为；从部分来看，图是由个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为因此可以得到完全平方公式 （1）由图可得等式： ； （2）已知， ， 求的值； （3）图中给出了若干个边长为和边长的小正方形纸片，若干个长为，宽为的长方形纸片，请设计一个示意图说明等式 成立． 25. 【阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则__________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第一次阶段测试 七年级数学试卷 （时间：90分钟 满分150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列式子正确的是( ) A. a3+a2＝a5 B. a2∙a3＝a5 C. （﹣a2）3＝a6 D. 2a3∙（﹣a2）＝2a5 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，单项式与单项式相乘对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、a2•a3＝a5，符合题意； C、（-a2）3＝-a6， 选项错误，不符合题意； D、2a3×(-a2)＝-2a5，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，单项式与单项式相乘，解题的关键是熟练的掌握各个运算法则． 2. 下列各式的值最小的是（　　） A. 20 B. |﹣2| C. 2﹣1 D. ﹣（﹣2） 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、相反数分别化简得出答案． 【详解】解：20=1，|-2|=2，2-1=，-（-2）=2， ∵＜1＜2， ∴最小的是2-1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、相反数，正确化简各数是解题关键． 3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键； 本题是绝对值小于的数，然后可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，然后即可求解． 【详解】解：， 故选：D； 4. 如图，平移三角形ABC得到三角形DEF，其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、成立，故此选项不符合题意； B、成立，但与不一定相等，故此选项符合题意； C、成立，故此选项不符合题意； D、成立，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键． 5. 下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， A选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， B选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到， C选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， D选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， 故选：B； 【点睛】本题考查轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称． 6. 用尺规作图作直线的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述： 甲：如图1，在直线上任取一点，以为圆心任意长为半径画弧，与直线相交于点、两点，再分别以、为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线即为所求 乙：如图2在直线上任取两点，作线段的垂直平分线 下面说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 乙对甲不对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的作图方法即可判断． 【详解】甲图先尺规作图得到AC=BC，再得到AD=BD，根据等腰三角形的三线合一可知CD⊥AB，故正确； 乙图为垂直平分线的作图方法，故正确； 故选C． 【点睛】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知垂直平分线的作图方法． 7. 通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题关键．根据条件分别表示出两个阴影图形的面积，然后求和验证即可． 【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为：， 右边图形中阴影部分的面积为：， ∵左右两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：C． 8. 在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算． 设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方．先把原式变形为，再利用积的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，将变形为：，从而得出，再求出x的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：4． 11. 如图，将沿射线BC方向平移到的位置．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，准确找出平移前后的对应点，熟练掌握平移的性质是解题关键．根据平移的性质得出，结合图形，直接求得结果即可． 【详解】解：∵将沿射线方向平移到的位置． ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 12. 已知，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再整体代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 故答案为9． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 13. 如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移得到直角三角形DEF，其中AB＝6，BE＝3，DM＝2，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由平移的性质可得阴影四边形的面积=梯形ABEM的面积，利用梯形的面积公式计算可求解． 【详解】解：由平移可得：DE=AB=6，阴影四边形DMCF的面积=梯形ABEM的面积， ∵DM=2， ∴ME=DE-DM=6-2=4， ∵BE=3， ∴梯形ABEM的面积=（ME+AB）•BE =（4+6）×3 =15． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，梯形的面积公式，掌握平移的性质是解题的关键． 14. 如果多项式是一个完全平方式，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式． 15. 已知代数式的值是6，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是6，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（用乘法公式计算）； （6）（用乘法公式计算；） （7）； （8） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，零次幂，负整数指数幂的含义，乘法公式的应用； （1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并即可； （3）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （4）先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并即可； （5）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可； （6）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （7）先利用积的乘方变形，再利用平方差公式，完全平方公式计算即可； （8）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解：； 【小问6详解】 解：； 【小问7详解】 解： ； 【小问8详解】 解： ； 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的运算，先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项，然后代入计算． 【详解】解： ； 当时， 原式． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的顶点均在网格的格点上(小正方形的顶点即为格点)． （1）将三角形先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，点A，B，C的对应点分别为，，，请在网格图中画出平移后的三角形． （2）求三角形的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，三角形即为所求， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，平移的画图，掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移规则，分别确定A，B，C的对应点，再画出三角形即可； （2）利用三角形面积公式求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 20. 若关于x的多项式的展开式中不含项，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解此题的关键是能根据整式的运算法则进行化简，将多项式展开，合并同类项，根据不含项得到m值，再把化简，再代入计算即可． 【详解】解： 由题意得， ∴， ∴ ． 21. 幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： （1）已知：，求的值． （2）已知：，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 22. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空：___________，___________，___________． （2）记．求证：． 【答案】（1），， （2） 证明：∵， ∴，，； ∵ 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算的含义，同底数幂乘法的应用，零次幂的含义，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律． （1）根据示例要求，直接可求解； （2）根据同底数幂乘法可得，可得，进一步可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，． 【小问2详解】 略 23. 探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示) 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为___________． ②计算：． 拓展：（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 24. 我们在学习“整式的乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，得到一些代数恒等式．比如从整体来看，图是边长为的正方形，可得图的面积为；从部分来看，图是由个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为因此可以得到完全平方公式 （1）由图可得等式： ； （2）已知， ， 求的值； （3）图中给出了若干个边长为和边长的小正方形纸片，若干个长为，宽为的长方形纸片，请设计一个示意图说明等式 成立． 【答案】（1） （2） （3） 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，多项式乘多项式， （1）如图2，由图形面积的两种不同表示方法可得等式； （2）由等式利用代入法即可求解； （3）根据等式，可确定所需卡片的类型与张数，做出相应的图形即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 从整体来看，该图是边长为的正方形，可得图的面积为， 从部分来看，该图是是由个边长为的正方形、个边长为的正方形、个边长为的正方形、个长为，宽为的长方形、个长为，宽为的长方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为， ∴可得等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ， ∴ ， ∴的值为； 【小问3详解】 从整体来看，该图是长为，宽为的长方形，可得该图的面积为， 从部分来看，该图是是由个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为， ∴可得等式． 25. 【阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则__________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和． 【答案】；；拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式的应用．解决本题的关键是利用完全平方公式把代数式进行变形求值． 【理解应用】设，，从而可得，，根据求出结果； 设，，从而可得，，根据完全平方公式进行变形可得，所以可得，从而可求； 【拓展应用】根据已知可知，，根据的面积为，可得，设，，可得、，利用完全平方公式进行变形可得：． 【详解】【理解应用】解：设，， 则，， ， ， 故答案为：； 设，， 则， ， ， ， ， ， 解得：， ； 【拓展应用】解：，，， ，， ， ， ， 设，， 则，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $