精品解析：广东省江门市新会区名冠实验学校2024-2025学年下学期九年级数学 3月检测试题

江门市新会区名冠实验学校2025年春季学期3月学情检测 九年级数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的定义是关键．根据无理数是无限不循环小数解答即可． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ） A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．关键是确定a与n的值． 【详解】解：50亿光年光年； 故选C． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘除法，根据法则依次判断即可，熟练掌握各计算法则是解题的关键． 【详解】A. 与不是同类项，不能合并，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故正确； 故选：D． 5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 某种饮料每箱有24瓶，其中有4瓶饮料的瓶盖上印有“再来一瓶”的中奖字样，有五名同学去买这种饮料，营业员新搬一整箱饮料出来，依次从中拿五瓶饮料给他们，如果前四名同学都没中奖，那么第五名同学获得“再来一瓶”的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了可能性大小，利用概率等于所求情况数与总情况数之比得出是解题关键． 让4除以剩余的总瓶数即为所求的概率． 【详解】解：根据题意，剩下的饮料还有20瓶，其中有4瓶有奖， 所以第五名同学获得“再来一瓶”的概率是． 故选C． 7. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴时，y随x的增大而减小， ∵C点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 8. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解分式方程的方法和步骤进行求解即可． 【详解】解：去分母，得：， 移项合并，得：， 化系数为1，得：， 经检验，是原分式方程的解． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤． 9. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】图象可知，一次函数经过第一、三、四象限，且过点，y随x的增大而增大，利用图象即可得到答案．此题考查了一次函数的性质，正确理解一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，一次函数经过第一、三、四象限，且过点， ∴y随x的增大而增大， ∴， ∵一次函数图象过点， ∴当时，， ∴当时，， ∴不等式的解集是， 故选：C． 10. 十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用．利用算术平方根的定义分别求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长，继而求得其左边两个小正方形的边长之和，大正方形中左下角和右下角两个正方形的边长，继而求得答案．结合已知条件求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为，和， ∴可得三个正方形的边长分别为，，， ∴最中间的小正方形的边长为， ∴面积为的正方形左下角小正方形的边长为， ∴面积为的正方形的左边两个小正方形的边长之和为， ∴大正方形中左下角的正方形的边长为， ∴大正方形中右下角的正方形的边长为， ∴大正方形的边长为， 故选：C． 二、填空 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值的非负性及完全平方数的非负性是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方数的非负性可得，，解方程即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 13. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知“一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 14. 计算的结果是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的运算法则是解题的关键． 根据分式加减法的运算法则即可得到结论． 【详解】解： 故答案为：． 15. 在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，由轴对称的性质可得，，，表示出的周长，由两点之间线段最短，此时的周长最小，为，过点作，交的延长线于点，则为等腰三角形，结合勾股定理可得，求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，则此时的周长最小， ， 由轴对称的性质可得，，， ∴的周长， ∵两点之间线段最短， ∴此时的周长最小，为， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 三、解答题（16-18题7分、19-21题9分、22题13分、23题14分） 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 18. 如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质及菱形的面积公式，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形中斜边中线等于斜边一半．连接，交于点，易得是的中位线，则，，由斜边的中线为得到，在中利用勾股定理求出，则，由此可求得菱形的面积为120． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵，点为边的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 19. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线： （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等： （1）连接，根据得到，结合得到即可得到，从而得到，即可得到证明； （2）连接，由为直径，得到，进而求出，再求出，则，，证明是等边三角形，得到，最后根据进行求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 20. 八（6）班为从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评.其中，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如下表；另全班50位同学参与民主测评进行投票，结果如下图： A B C D E 甲 89 91 92 94 93 乙 90 86 85 91 94 规定: 演讲得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分. （1）求甲、乙两位选手各自演讲答辩的平均分; （2）民主测评统计图中a= ，b= ； （3）求甲、乙两位选手的民主测评得分； （4）若按演讲答辩得分和民主测评6:4的权重比计算两位选手的综合得分,则应选取哪位选手当班长? 【答案】（1）甲：92；乙：89；（2）7，4；（3）甲：87；乙：88；（4）选取甲选手当班长 【解析】 【分析】（1）根据题意要求去掉最高分，去掉最低分，求平均数即可. （2）利用总人数为50人，即可求得. （3）根据题中所给民主测评得分计算规则计算即可. （4）利用加权平均数公式计算即可. 【详解】（1）去掉最高分94，去掉最低分89，甲演讲答辩平均分：（分） 去掉最高分94，去掉最低分85，乙演讲答辩平均分：（分） （2）40+a+3=50, ∴ a= 7 ； 42+b+4=50，∴b= 4 （3）甲民主测评得分：（分） 乙民主测评得分：（分） （4）选取甲选手当班长.理由如下： 甲综合得分：（分） 乙综合得分：（分） ∵ 90>88.6 ∴选甲 【点睛】本题考查了统计中平均数、加权平均数等知识点，难度较低，熟练掌握相关公式是解题关键. 21. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元，某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求关于的函数关系式； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意准确列出函数解析式是关键． （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元． 22. 如图，在矩形中，，、分别为、边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点落在上，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质得， ， ， ， 过作于，如图1所示： 则，四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ； （2）2 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得到，过作于，证，得，即可得出结论； （2）过作，交的延长线于，由折叠的性质得，，再证出，则，设，则，，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作，交的延长线于，如图2所示： 由折叠的性质得：，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：，即，解得或（舍去）， ，， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）为直线下方的抛物线上一点，过点作轴交于点，垂足为，，垂足为，求出周长的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在点或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）可证，得到，即得周长，过点作直线的平行线，设直线的解析式为，可知当直线与抛物线只有一个交点时，最大，求出即可求解； （）分两种情况，画出图象，根据二次函数与一次函数的交点问题解答即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，周长 ∴， 即周长， ∴当取最大值时，的周长取得最大值， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作直线的平行线，设直线的解析式为，可知当直线与抛物线只有一个交点时，最大， 由得，， ∵两函数图象只有一个交点， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵轴， ∴ ∴，此时取最大值， ∴周长的最大值； 【小问3详解】 解：有两种情况：过点直线于点，交于点，连接并延长，交抛物线于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由得，， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，或， ∴； 过点作，点在抛物线上，则， ∵直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴直线的解析式为， 由得，或， ∴； 综上，存在点或，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市新会区名冠实验学校2025年春季学期3月学情检测 九年级数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. 0 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ） A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某种饮料每箱有24瓶，其中有4瓶饮料的瓶盖上印有“再来一瓶”的中奖字样，有五名同学去买这种饮料，营业员新搬一整箱饮料出来，依次从中拿五瓶饮料给他们，如果前四名同学都没中奖，那么第五名同学获得“再来一瓶”的概率是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 10. 十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 12. 若，则______． 13. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 14. 计算的结果是____． 15. 在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为___________ 三、解答题（16-18题7分、19-21题9分、22题13分、23题14分） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 19. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线： （2）若，，求阴影部分的面积． 20. 八（6）班为从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评.其中，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如下表；另全班50位同学参与民主测评进行投票，结果如下图： A B C D E 甲 89 91 92 94 93 乙 90 86 85 91 94 规定: 演讲得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分. （1）求甲、乙两位选手各自演讲答辩的平均分; （2）民主测评统计图中a= ，b= ； （3）求甲、乙两位选手的民主测评得分； （4）若按演讲答辩得分和民主测评6:4的权重比计算两位选手的综合得分,则应选取哪位选手当班长? 21. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元，某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求关于的函数关系式； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在矩形中，，、分别为、边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点落在上，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 23. 如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）为直线下方的抛物线上一点，过点作轴交于点，垂足为，，垂足为，求出周长的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $